Abteilung für Faktorielle Definition & Concept - Video & Lektion Transcript
Nach Ablauf dieser Lektion werden Sie wissen, wie die Fakultäts-Funktion und Fakultäts Notation verwenden. Sie werden auch in der Lage factorials bei der Problemlösung zu verwenden, die oft die Aufteilung des factorials erfordert.
Notation und Funktion für Faktorielle
Die Fakultätsfunktion verwendet ein spezielles Symbol. und ist in der Regel wie folgt dargestellt, n. Die Domäne von n ist die Menge der natürlichen Zahlen. Mit anderen Worten, kann n eine beliebige natürliche Zahl.
Die Fakultätsfunktion n! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. In Symbolen, können wir die Funktion als n zeigen. = N * (n - 1) * (n - 2) *. 2 * 1. Es wird in der Regel in auf- oder absteigender Reihenfolge geschrieben, aber diese Lektion wird in der Regel die Faktoren eines faktoriellen schreibt in absteigender Reihenfolge.
Betrachten wir ein Beispiel.
Null wird in der Regel nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten, aber 0! könnte in einigen Probleme auftreten. 0! definiert wird einfach wie folgt:
Abteilung für Faktorielle
Die Aufteilung der factorials ist genau das, was es heißt. Es ist ein Geschäftsbereich Problem mit factorials im Zähler und / oder Nenner. Zum Beispiel ist der folgende Ausdruck eine Abteilung von factorials:
Wir werden dieses Problem in einem Beispiel lösen, die später in dieser Lektion kommt. Lassen Sie uns zunächst für die Verwendung von factorials auf einem gemeinsamen Weg suchen.
Mit Hilfe der Fakultäts-Funktion
Factorial Funktionen sind nützlich, um zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten, wie ein Satz von Objekten angeordnet werden kann. Die Reihenfolge der eine festgelegte Anzahl von Objekten wird eine Permutation genannt. Lassen Sie uns sagen, dass wir 6 verschiedene Bücher und wollen, um zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten, wie wir diese Bücher in einem Regal arrangieren.
Es gibt 6 Optionen für die erste Stelle. Für den zweiten Platz, bleiben fünf Entscheidungen. Daher ist jedes Buch, das in der ersten Stelle sein könnte, kann durch eine der fünf Bücher folgen, die bleiben oder 6 * 5. Dann gibt es vier Möglichkeiten für die dritte Stelle, so 6 * 5 * 4. Dieses Muster, bis die ganzen weiter Bücher angeordnet sind. Es gibt 5 * 6 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 Möglichkeiten, die 6 verschiedene Bücher zu arrangieren.
Anordnung von sechs Büchern
Dieses Beispiel gibt uns eine Erklärung dafür, warum 0! = 1. Wie viele Möglichkeiten gibt es keine Objekte zu ordnen? Es gibt einen Weg, der die leere Menge ist. Denken Sie an ein leeres Bücherregal. Das wäre, wie viele Möglichkeiten wir Null Bücher organisieren können.
Factorial Abteilung in Permutationen
Lassen Sie uns wieder auf das Buch Beispiel. Was passiert, wenn wir nur 2 der 6 Bücher auf dem Regal arrangieren wollten? Die typische Formel für die Anordnung k Objekte aus einer Gruppe von n unterschiedlichen Objekten wird nun in der Figur auf dem Bildschirm angezeigt:
Lassen Sie sich diese Formel für unser Beispiel. Wir haben 6 verschiedene Bücher, so n = 6. Wir haben leider nur 2 der Bücher ordnen, so k = 2. Lassen Sie uns diese Werte in unsere Formel-Stecker:
Wenn wir alle Faktoren eines jeden faktoriellen schreiben, erhalten wir folgendes:
(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1)
Wir können 4 * 3 * 2 * 1 vom Zähler und Nenner aufheben und links mit 6 * 5, so dass unsere endgültige Antwort ist 30. Mit anderen Worten, wir es eine andere Art und Weise 4. Sehen wir uns auslöschen. Wir wollen nur zwei Bücher ordnen, also müssen wir 4 beseitigen, die die Platzierung der vier übrigen Bücher darstellt. Es sollte nun klar sein, dass die Fakultät einer natürlichen Zahl eine Untergruppe einer faktoriellen jeder größere natürliche Zahl ist.
Gehen wir zurück zu unserem ersten Beispiel, in dem wir alle 6 Bücher angeordnet. Wenn wir unsere Formel in Abbildung 1 zu verwenden, erhalten wir folgendes:
6! / (6 - 6)! = 6! / 0! = 720/1 = 720
Dies zeigt, warum ist es praktisch für 0! gleich zu 1.
Faktoriellen Kombination in Kombinationen
Factorial Funktionen sind auch nützlich, um eine bestimmte Anzahl von Objekten in der Gruppierung, wenn die Anordnung oder Reihenfolge ist nicht wichtig. Diese ungeordneten Gruppierungen genannt Kombinationen.
Lassen Sie sich eine Pizza Beispiel für dieses Thema verwenden. Wir möchten, dass eine Pizza von einem lokalen Pizzeria bestellen, die 9 verschiedene Beläge bietet. Wir beginnen fragen, wie viele Kombinationen möglich sind, wenn wir 3 des Toppings wählen. Offensichtlich ist die Reihenfolge der drei Toppings keine Rolle spielt, weil der Belag wird nur überall auf der Pizza verteilt wird (zum Beispiel Pilze, Oliven, Paprika die gleichen wie Oliven sind, Champignons, Paprika).
Die typische Formel für die Identifizierung die Anzahl von Kombinationen von k-Objekten aus einer Gruppe von n unterschiedlichen Objekten wird nun in der Figur auf dem Bildschirm angezeigt:
Es gibt 9 verschiedene Toppings, so n = 9. Wir 3 des Belags für unsere Pizza wählen, so k = 3. die dies in unsere Formel Let Stecker:
9! / ((9 -! 3) * 3) = 9! / (6! * 3!)
Wenn wir die Faktoren schreiben, erhalten wir folgendes:
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(9 * 8 * 7 * 6!) / (6! * 3 * 2 * 1)
Beachten Sie, dass es keine Notwendigkeit gibt, die Faktoren von 6 zu schreiben! weil sie einander aufheben. Wir können das Problem wie folgt umschreiben:
(9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)
Wenn wir die Multiplikation der übrigen Faktoren vervollständigen wir 504/6 = 84 erhalten.
Sehen Sie, warum wir sind k brauchen. im Nenner? Jede mögliche Gruppe von 3 lassen sich 3 angeordnet sein! Wegen. Wenn wir teilen sich nicht um 3! in unserem Pizza Beispiel wird jede mögliche Gruppe von drei Elementen 3 angeordnet werden! Wegen. Wir wollen nur einen Weg, denn um in diesem Fall keine Rolle.
Lassen Sie sich auf der Pizza Problem erweitern. Lassen Sie uns sagen, dass wir auch unter drei verschiedenen Käsesorten wählen könnte (vorausgesetzt, dass Käse ist getrennt von den 9 Topping Auswahl), und wir wollen zwei Käsesorten wählen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen ist wie folgt:
3! / ((3 -! 2) * 2) = 3! / (1! * 2!) = 6/2 = 3
Schließlich, mit der möglichen Kombination von zwei Käsesorten die möglichen Kombinationen von drei Toppings multiplizieren, um eine endgültige Antwort von 84 * 3 = 252. Von der Auswahl drei Spitzen zu bekommen und zwei Käsesorten gibt es 252 verschiedene Arten von Pizza können wir bestellen!
Lassen Sie uns überprüfen, was wir gelernt haben. Lassen Sie uns zunächst, dass n erinnern! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, und daß die Teilung des factorials mit factorials im Zähler und / oder eine Division Nenner Problem. Es ist oft eine Frage der Beseitigung von gemeinsamen Faktoren zwischen dem Zähler und Nenner eines Bruchs. Gemeinsame factorials können auf die gleiche Weise wie andere gemeinsame Faktoren wie ganze Zahlen beseitigt werden. Die Aufteilung der factorials ist eine gemeinsame Operation, wenn Probleme wie Permutationen zu lösen. die beinhalten die Bestellung einer bestimmten Anzahl von Objekten; und Kombinationen. die beinhalten, eine bestimmte Anzahl von Objekten, die Gruppierung, wenn die Anordnung oder Reihenfolge ist nicht wichtig.
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