Die Electrophorus, und andere mit variabler Geometrie Kondensatoren
Die Electrophorus,
und andere mit variabler Geometrie Kondensatoren
John Denker
Wir beginnen mit ein paar Warm-up-Übungen, einige Begriffe zu etablieren und eine Basis Verständnis von exotischen Kondensatoren aufzubauen, einschließlich Situationen, in denen sowohl eine gegenseitige Kapazität und eine Eigenkapazität.
* Inhalt
1 # XA0; # XA0; Warm-Up Übung: Frass und Degorgieren einen Kondensator
Wir wenden uns nun Teil B der Figur # XA0; 1. Nach wie vor gibt es eine Gebühr von 4 Einheiten auf der oberen Hemisphäre. aber jetzt gibt es keine Ladung auf der unteren Halbkugel. Wir gehen davon aus der Lücke so klein ist, dass die gegenseitige Kapazität zwischen den Hemisphären sind enorm im Vergleich zur Eigenkapazität. Wir können (durch Symmetrie oder anderweitig) herauszufinden, dass die 4 Ladungseinheiten sich gleichmäßig über den Bereich verteilt. Im Fernfeld, das Feld Exponate (führende Reihenfolge) ein Monopol- Feldmuster, das ist, was wir von vier Ladungseinheiten erwarten. Es wird auch ein Dipol Begriff, aufgrund der Spannungsdifferenz zwischen den beiden Hemisphären, aber im Fernfeld, im Vergleich zu der Monopol Sicht wird der Dipol Begriff vernachlässigbar sein. Das können uns verstehen, wie folgt: Es wird ein signifikantes Feld in der Lücke, sondern weil der Spalt klein ist die gegenseitige Kapazität ist groß, so dass die Spannungsdifferenz zwischen den Hemisphären klein sein wird.
Nun kommen wir zu dem schwierigen Teil. Betrachten Sie den folgenden Kontrast:
- Nehmen wir sagen, dass wir das Objekt C eine Kugel ist, und wir fragen, wie viel Ladung auf der Kugel ist. Die Antwort ist natürlich, Null-Ladung. Um genauer zu sein, können Sie über die Gesamtladung oder die Nettoladung oder die ehrlichen-to-Güte Ladung sprechen. aber es scheint, einfacher und besser es nur Ladung zu nennen.
- Nehmen wir sagen, dass wir das Objekt C ein Kondensator ist, und wir fragen, wie viel #XAB; Ladung # XBB; ist auf dem Kondensator. Die Antwort nach seit langem etablierte Konvention ist, dass der Kondensator aufweist +4 Einheiten von #XAB; Charge # XBB ;. Ich schreibe #XAB; Ladung # XBB; in Schrecken zitiert hier, weil wir ein Problem haben.
Beachten Sie, dass, was wir hier haben, ist nur ein Spezialfall des Dreianschlusskondensators: Die obere Halbkugel, die unteren Hemisphäre, und die weit entfernte Gegenelektrode. Die Terminologie der Ladung und die Schlucht ist nicht besonders gut für den Umgang mit drei Anschlüssen Kondensatoren im Allgemeinen. aber der Fall, dass wir hier in Betracht gezogen haben, ist so außerordentlich verbreitet, dass es wert ist, Spezialwerkzeuge, die für sie handhaben.
2 # XA0; # XA0; Aufwärmübung: Kapazitive In der Nähe einer Wand, oder nicht
2.1 # XA0; # XA0; Die Situation
Betrachten Sie die Situation in Abbildung # XA0; 2. Es gibt einen Raum mit leitenden Wänden (in blau dargestellt). Der Boden des Raumes ist durch X X. Die Höhe des Raumes Y. über die Mitte des Bodens zentriert ist, ist eine dünne Metallplatte mit dem Radius r (in rot abgebildet). Die Scheibe ist in einer Höhe h über dem Boden horizontal. Es gibt eine Ladung Q auf der Platte. und entsprechend eine Ladungs # X2212; Q an den Wänden des Raumes. Die Scheibe ist nicht sehr groß, und das Zimmer ist viel breiter als hoch ist, so dass X # X226B; Y # X226B; r.
Die Scheibe hat einen isolierenden Griff, so dass Sie h beliebig ohne Änderung Q ändern.
Machen Sie, was sinnvoll vereinfachenden Annahmen Sie mögen. (Als Ersatz für die leitenden Wände mit nichtleitenden Wänden wäre nicht sinnvoll betrachtet werden.)
Als ein spezielles numerisches Beispiel, eingestellt
Aufladen der Scheibe auf 1,5 Volt eine Batterie verwendet wird, und dann die Batterie abklemmen. Erhöhen Sie die Scheibe (Q konstant gehalten während der Phase des Prozesses). Was passiert mit der Spannung?
Auch hier ist der Punkt, dass diese Aufwärmübung nach tun Sie eine Chance, herauszufinden, haben sollten, wie ein Elektrophor funktioniert.
2.2 # XA0; # XA0; Zwei-Terminal-Betriebskapazität
Wir gehen davon aus kühn, dass die Unterseite der Platte mit dem Boden verbindet einen Kondensator zu bilden. und dass die Oberseite der Scheibe mit der Decke kombiniert anderen Kondensator zu bilden. Wir haben eine Schaltung mit diesen beiden Kondensatoren parallel.
Lassen Q 1 die Ladung auf dem unteren Kondensator sein und 2 Q die Ladung auf dem oberen Kondensator sein. Lassen Sie die entsprechenden Kapazitäten 2 C 1 und C liegen.
2.4 # XA0; # XA0; Die Kombination der Ergebnisse
Die feste grüne Kurve in Abbildung # XA0; 3 ist eine angenäherte Interpolation zwischen den zwei einfachen Modellen. Diese Interpolation wird durch einfaches Hinzufügen der beiden Kapazitäten erfolgen. Dies ist sicherlich eine Überschätzung der Kapazität und somit eine zu niedrige Schätzung des V / F d.h. eine auf der Spannungsuntergrenze wir durch Manipulieren der Scheibe erreicht werden kann. Die gestrichelten Kurven in Fig # XA0, 3 dienen als eine obere Grenze. Eine allgemeine Diskussion der Kreisscheibe Parallelplattenkondensator, einschließlich Streufelder können in Bezug # XA0 gefunden werden, 3. Es gibt keine einfache geschlossene Lösung für den allgemeinen Fall.
Eine bessere Schätzung wird durch Addieren der zwei Kapazitäten in Quadratur erhalten. Dies wird durch die blaue Kurve in der Abbildung dargestellt. Dies entspricht den Riesz- (oder Lebesgue-) L 2 -Norm zu verwenden. Es sitzt zwischen einfacher Zugabe (die L 1-Norm) und den kleineren der beiden Beiträge nehmen (der L # X221E; Norm).
TODO: Vergleichen Sie diesen ungefähren algebraischen Ansatz, um die tatsächlichen Integrale zu tun, wie in Referenz # XA0; 3.
Dies sagt uns, dass unter einem ziemlich weiten Bereich von Bedingungen, die Höhe des Raumes fast irrelevant ist. Allerdings würden wir nicht wissen, dies ist uns nicht die Berechnung im Abschnitt # XA0 getan hatte, 2.2. Die entsprechenden Längenskalen sind entweder < r and h > oder < r and Y − h >. es sei denn, die Platte ist sehr groß und / oder die Decke ist sehr niedrig. Um die gleiche Sache eine andere Art und Weise zu sagen, konvergiert das Integral über die Streufelder recht schnell.
3 # XA0; # XA0; eine tatsächliche Electrophorus
Es ist wichtig, dass das Dielektrikum auf einem isolierenden Träger, einen goodly Abstand von jedem geerdeten Gegenstand sitzen. Mit anderen Worten, in der Situation in Abbildung # XA0 gezeigt; 4. die Kapazität wird durch die Einzelplatteneigenkapazität dominiert wird. Beachten Sie auch, dass die Ladung auf dem Dielektrikum nicht mobil ist. Die elektrischen Feldlinien (in grün dargestellt) erstrecken sich oberhalb und unterhalb des dielektrischen, off Überschrift # X201C; bis ins Unendliche # x201D; wie sie in jeder Eigenkapazität Situation sollte.
In der Situation, in Abbildung # XA0 gezeigt; 5. es ist eine schwierige Kombination von zwei Dinge geht. Die Hälfte der Geschichte beinhaltet die Behandlung die beiden Platten als Parallelplattenkondensator mit der üblichen Art der gegenseitigen Kapazität. Jede Platte dieses Kondensators kostet # XB1; 4 Einheiten. Die andere Hälfte der Geschichte bezieht die Behandlung von zwei Platten zusammen, als ob sie eine einzige leicht dickere-Platte wurden, der eine Eigenkapazität aufweist. Dieses kombinierte Objekt kostet # X2212; 8 Einheiten.
Figure # XA0; 6 zeigt die Situation, nachdem die beweglichen Platte wird geerdet worden ist, und nach dem Erdungsdraht entfernt wurde. Die Situation wird durch die Zweiplatten gegenseitige Kapazität völlig dominiert. Das Dielektrikum ist in einer geringen Spannung relativ zur Erde, aber da der Kondensatorspalt klein ist und die Kapazität ist enorm, diese Spannung ist ziemlich klein.
Sobald das Dielektrikum worden aufgeladen ist, kann es unter bestimmten Bedingungen immer und immer wieder verwendet wird, Ladung auf der beweglichen Platte zu induzieren.
4 # XA0; # XA0; Eigenkapazität einer Kugel und eine Scheibe
4.1 # XA0; # XA0; Sphere
Wir beginnen mit der Eigenkapazität einer Kugel unter Berücksichtigung
Das heißt, wir betrachten die Kugel können analog zu einem parallelen Plattenkondensator zu sein, mit einem geeigneten Bereich und Gap:
Die Fläche der einen Platte
Die gesamte Fläche der Kugel
(Nicht mitgerechnet die andere Platte).
(Nicht mitgerechnet die ferne Gegenelektrode).
Der tatsächliche Abstand zwischen den Platten.
Ein # X201c; Nutzspalt # x201D;
gleich der Kugel mit dem Radius.
Dies kann eine Gedächtnisstütze für die Erinnerung an die Formel für die Kapazität einer Kugel in Betracht gezogen werden. Es produziert die genau richtige Formel.
4.2 # XA0; # XA0; Datenträger
Der üblicher Weg, um die Kapazität einer dünnen Scheibe zu berechnen, ist mit einer Kugel zu starten und es dann in ein Ellipsoid mit geeigneten orthogonalen Koordinaten zu transformieren. Dies kann eine konforme Transformation in Betracht gezogen werden. Siehe Referenz # XA0; 2.
Aber im Geist der qualitativen Argumentation, können wir eine ziemlich gute Schätzung der Kapazität der Platte unter Verwendung einer einfachere Transformation erhalten. Dies ist in gewissem Sinne ein Skalierungs Argument. Wir schrumpfen die Kugel in der Richtung Z, aber nicht in der X- oder Y-Richtung.
Ein anderer Weg, um das gleiche Ergebnis zu interpretieren ist zu sagen, dass die Ladung auf der Platte stärker konzentriert ist (nicht so gleichmäßig verteilt) im Vergleich zu der Kugel, so dass die effektive Lücke ist kleiner als Sie vielleicht schon erraten haben, kleiner um einen Faktor # X3C0; / 4.
Beachten Sie, dass der entsprechende Bereich auf beiden Seiten der Platte enthält.
5 # XA0; # XA0; Asymmetric Kondensator. Disk + Platte
Insbesondere sei die Situation betrachtet in Abbildung # XA0 gezeigt; 9. Wir haben einen asymmetrischen Kondensator, bestehend aus einer mittelgroßen flachen Scheibe irgendwo in der Nähe von einer riesigen Flachdecke.
Schritt 1: My Physik Intuition sagt, dass, wenn der Datenträger sehr nahe an der Platte ist, die Kapazität die gleiche ist, wie es für einen einfachen symmetrischen Zweiplattenparallelplattenkondensator wäre.
In diesem Fall "in der Nähe" bedeutet, g sehr klein ist im Vergleich zu (# X3C0; / 8) r. wobei g die Kondensatorlücke und r der Radius der Scheibe.
Schritt 2: Wenn die Scheibe weit weg von der Platte ist, muss die Kapazität der Einrichtung als Ganze das gleiche sein wie die Eigenkapazität der Platte.
Begründung: Für Kapazitäten in Serie, sollten wir in der Lage sein, die elastances hinzuzufügen (das heißt inverse Kapazitäten). Dies ist analog zu der Regel für die Widerstände in Serie hinzufügen. Die Platte hat null elastance (unendliche Kapazität), so dass die elastance der Gesamtsituation wird durch die elastance der Scheibe dominiert.
Der Faktor 2 ergibt sich für einen prosaischen Grund, nämlich, dass wir jetzt die Spannung von der unteren Platte in der oberen Scheibe, sondern von Platte zu Platte zu messen. Doppelt so viel V pro Einheit Q bedeutet doppelt so viel Elastanz.
Durch Symmetrie und / oder durch das Verfahren von Bildern, das muss das gleiche sein wie
Im großen Spaltgrenze ist die elastance hier nur die Reihenkombination der Selbst elastance von zwei Festplatten. nämlich Daraus erhalten wir das endgültige Ergebnis, daß die Kapazität der ursprünglichen asymmetrischen Situation (Platte zuzüglich Bramme) sollte das Doppelte die Kapazität der entsprechenden symmetrischen Situation / mit einem Doppelspalt /.
In dem kleinen Spalt Fall sind die beiden Faktoren von zwei aufheben, so dass Platten + Bramme die gleiche Kapazität wie Scheibe + Scheibe (mit dem gleichen Zwischenraum) hat, wie erwartet. Da die Lücke größer wird, beginnt der asymmetrische Fall den großen Spalt Asymptote doppelt so schnell zu nähern, wie Sie von naivem Blick auf der symmetrischen Formel erraten haben könnten.
Schritt 5: Es ist ein Stück der Intuition, dass in all den vorangegangenen Schritten implizit ist. Betrachten wir die extreme große Lückengrenze. Zoom Ihre Sicht, so dass die Scheibe im Wesentlichen ein einziger Punkt wird. Sie wissen, wie das elektrische Feld einer Punktladung mit Abstand abfällt. Sie wissen, dass die Poyinting Feldenergie wie der Platz des Feldes geht. Wenn Sie diese Energie über den gesamten Raum zu integrieren, beginnen einige nicht allzu geringen Abstand R von der Platte entfernt, dann das Integral konvergiert. So ist die Intuition ist, dass alles, was im Fernfeld vor sich geht nie sehr wichtig ist für Elektrostatik Probleme.
Für mehr über die Physik der Kapazität, einschließlich ungerader förmigen Kondensatoren, siehe Referenz # XA0; 5