Die - Ikosaeder
Das Ikosaeder 12 weist Ecken 20 Gesichter und 30 Seiten. Es ist eines der interessantesten und nützlichsten aller Polyeder. Buckminster Fuller basiert seine Entwürfe von geodätischen Kuppeln um das Ikosaeder.
OK, kann durch die übliche Analyse gehen und dann auf die interessanten Sachen bekommen!
Das Volumen jeder Pyramide ist 1/3 * Bereich der Basis * Pyramidenhöhe.
Die Fläche der Basis ist die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ADB.
Die Höhe der Pyramide ist OM.
Von Das gleichseitige Dreieck kennen wir die Gegend
Alle Ecken des Ikosaeders (wie bei allen 5 der regulären Feststoffe) liegen auf der Oberfläche einer Kugel, die sie umschließt. Der Radius des circumsphere ist O zu jedem Scheitelpunkt, in diesem Fall,
r = OA = OB = OD = 1.
Die Höhe der Pyramide ist h = OM.
Um h zu finden müssen wir erkennen, dass jede der OMA Dreiecke, OMB, OMD richtig sind.
Dies liegt daran, OM zur Ebene des Dreiecks ABD durch Konstruktion senkrecht ist.
AB = BD = AD = Seite des Ikosaeder = s.
Lets Arbeit mit Dreieck OMD:
FK =. r = d / 2 und r = s.
Jetzt können wir h, die Pyramide Höhe finden.
Gehen wir zurück zu den 5 und 6 können wir schreiben:
hІ = OMІ = rІ - DMІ =
ist die Höhe der Ikosaeders Pyramide.
Es gibt 20 Pyramiden, 1 für jeden so Gesicht
= = 2.181694991sі.
Was ist die Oberfläche des Ikosaeder?
Es ist nur der Bereich von 1 Gesicht * 20 Gesichter. Die Fläche jedes Gesicht ist von oben.
Damit
Wir haben bereits festgestellt, die die Beziehung zwischen dem Radius des umschließenden Kugel und der Seite des Ikosaeder:
r = .951056517s, s = 1.051462224r.
Die Seite oder Kante des Ikosaeders ist etwas größer als der Radius.
Was ist der zentrale Winkel des Ikosaeder?
Der Zentriwinkel, DOB, klar aus Figur 5 ersichtlich ist, und wir Diagramm, in Figur 8 unten.
sin (XOB) =
XOB = = 31.7174744 °. DOB = 2 * XOB.
Wir erkennen Dreieck OXB als unser alter Freund, der Phi rechten Dreieck. Daraus wissen wir, dass OX / XB =.
Zentralwinkel = 63.4349488 °
Flächenwinkel = 60 °
Abstand vom Schwerpunkt bis Mitte face = = 0.755761314s.
Abstand vom Schwerpunkt bis mittlerer Seite = = 0.809016995s.
Abstand vom Schwerpunkt zu einem Eckpunkt = = 0.951056517s.
Vergleicht man Entfernungen, haben wir .755761314s. 809016995s. 951056517s.
Denken Sie daran, dass der Abstand DI = FK = BG usw. ist die Diagonale eines der Rechtecke von der der Ikosa zusammengesetzt ist. Eines dieser Rechtecke ist deutlich sichtbar in Abbildung 12 als BFGK. Wir wissen, dass dies ein Rechteck ist, weil es die Diagonale des Fünfecks ABCEF ist.
In der Tat, wenn man 3 dieser Rechtecke stellen senkrecht zueinander, die 12 Ecken der drei Rechtecke sind die Eckpunkte des Ikosaeder!
Eine interessante Tatsache erscheint hier: FQ = QZ. Dies bedeutet, dass der Abstand von einem Fünfeck Ebene auf den anderen genau der Radius des Kreises ist, der das Fünfeck umschließt!
Was ist OQ?
Es sieht aus wie OQ, dass der QZ nur eine Hälfte ist, oder s. Aber ist es? Lass es uns herausfinden.
Wir wissen, OD = r = von oben.
OQ = OD - DQ =
OQ = s. Wir könnten diese leichter von der Tatsache erhalten, dass
DQ = Ja, OQ ist genau die Hälfte QZ.
Auch OQ / DQ = = 0,951056517
Tabelle der Beziehungen
Abbildung 14. Mittelachse (Durchmesser) Beziehungen Durchmesser = DI
(Erhältlich im Buch).
DZ ist unterteilt in EMR von Q, IQ wird in EMR von Z. geteilt
Alle diese Beziehungen stammen aus dem Fünfeck!
Auf der Außenseite des Ikosaeder, sehen wir gleichseitige Dreiecke. Aber die Eingeweide dieses Polyeder kommt aus Fünfeck Beziehungen. Die gleichseitigen Dreiecken entstehen aus der Aufhebung der pentagonal ‚cap‘ Vertex der pentagonal Ebene ab.
Es ist jetzt keine Frage, dass die Grundlage für den Bau des Ikosaeder ist das Fünfeck.
Die Seiten des gleichseitigen Dreiecks EHB und JGC sind alle Diagonalen von Fünfecke!
EH ist eine Diagonale von Fünfeck FEJIH, EB eine Diagonale von Fünfeck DEJKB ist, und HB ist eine Diagonale von Fünfeck AHIKB.
Icosaahedron Referenztabellen
(Im Buch)
