Eine Einführung in der Fourier-Reihen Darstellungen von periodischen Signalen
Hier sind einige der Ziele für diese Lektion ein Signal als Funktion der Zeit gegeben, der Lage sein, die Frequenzkomponenten des Signals zu berechnen.
Die Lage sein, vorherzusagen, wie das Signal mit linearen Systemen interagieren und Schaltungen unter Verwendung von Frequenzgang Methoden. Das erste Ziel ist wirklich ein periodisches Signal in Frequenzgang Sprache ausdrücken zu können. Das zweite Ziel ist es, in der Lage eine Frequenzdarstellung eines Signals zu nehmen und diese Darstellung verwenden, um vorherzusagen, wie das Signal mit Systemen interagieren.
Warum verwenden Sie Frequency Repräsentationen Wenn wir können jede Signal mit Zeitfunktionen vertreten?
Ziele: Was sind Sie in dieser Lektion zu tun versuchen? ein Signal als Funktion der Zeit gegeben, die Lage sein, die Frequenzkomponenten des Signals zu berechnen.
Die Lage sein, vorherzusagen, wie das Signal mit Linearsystemen interagieren und Schaltungen unter Verwendung von Frequenzgang Methoden. Die Fourier-Reihen
Vor einiger Zeit, Fourier, tut Wärmeübertragung Arbeit gezeigt, dass jedes periodisches Signal kann als eine lineare Zusammensetzung von Sinuswellen betrachtet werden. Ermöglicht bei einer periodischen Welle aussehen. Hier ist ein Beispiel Plot eines Signals, das jede Sekunde wiederholt. Offensichtlich ist dieses Signal keine Sinuskurve - und es sieht aus, als ob es keine Beziehung zu sinusförmigen Signalen hat. Doch vor über ein Jahrhundert, zeigte Fourier, dass ein periodisches Signal kann immer als Summe von Sinuskurven (Sinus und Cosinus oder Sinus mit Winkeln) dargestellt werden. Diese Darstellung wird nun eine Fourier-Reihen in seiner Ehre genannt.
Fourier nicht nur gezeigt, dass es möglich war, ein periodisches Signal mit Sinuskurven darstellen, zeigte er, wie es zu tun. Unter der Annahme, dieses Signal alle T Sekunden Wiederholungen, dann können wir es als eine Summe von Sinuskurven beschreiben. Hier ist die Form der Summe. Fourier gab eine explizite Weise die Koeffizienten in einer Fourier-Reihen zu bekommen, und wir müssen an, dass in einer Weile zu suchen. Zuerst werden wir auf, wie ein Signal aussehen kann aus einer Summe von Sinuskurven gebaut werden.
Hier ist wieder das Signal. Ist dieses Signal eine Summe von Sinuskurven? Wir werden diese Frage untersuchen hier nun mit einem einzigen Sinussignal zu starten. Hier ist ein einziges Sinussignal. Der Ausdruck für dieses Signal ist nur:
Sig (t) = 1 * sin (2 p t / T) und T = 1 Sekunde.
Jetzt werden wir eine andere Sinus zu unserem ursprünglichen Sinussignal hinzuzufügen. Der Sinus wir hinzufügen, wird mit dem dreifachen Frequenz der ursprünglichen und es wird ein Drittel so groß sein. Sig (t) = 1 * sin (2 p t / T) + (1/3) * sin (6 p t / T)
Das sieht ein wenig anders. Weiter um ein weiteres Sinussignal Zugabe - auf das Fünffache der ursprünglichen Frequenz und ein Fünftel der ursprünglichen Größe.
Sig (t) = 1 * sin (2 p t / T) + (1/3) * sin (6 p t / T) + (1/5) * sin (10 p t / T)
Dies ist immer interessant. Wir fügen nur in Bezug auf ungeraden Vielfachen der ursprünglichen Frequenz. Hier ist, was das Signal wie bei den Laufzeiten bis zum 11. mehrere aussieht. Dies sieht aus wie eine ziemlich lausige Rechteckwelle. Lassen Sie uns noch viel mehr Begriffe hinzufügen und sehen, was passiert.
Hier ist das Signal mit Laufzeiten bis zum 49th mehrere.
An dieser Stelle ist scheint, dass dieser Prozess uns ein Signal zu geben, die zu einem Rechtecksignal näher und näher erhalten. Allerdings sieht es wie eine ziemlich lausige Rechteckwelle. Lassen Sie uns noch viel mehr Begriffe hinzufügen und sehen, was passiert.
Hier ist das Signal mit ungeraden Terme bis zur 79th mehrere. Jetzt sind immer wir ein ziemlich klaren Anzeichen für eine Rechteckwelle mit einer Amplitude etwas unter 0,8. In der Tat sind mit der Art, wie wir dieses Signal bauen wir Fourier Ergebnisse. Wir wissen, dass die Formel für die Serie, die auf eine Rechteckwelle konvergiert.
In der Tat sind mit der Art, wie wir dieses Signal bauen wir Fourier Ergebnisse. Wir wissen, dass die Formel für die Serie, die auf eine Rechteckwelle konvergiert. Hier ist die Formel. Für eine vollkommen genaue Darstellung, lassen N bis ins Unendliche gehen.
Jetzt werden wir Ihnen eine Chance zu geben, diese Art zu tun, um sich von experimentieren. Unten ist eine interaktive Demo, das die Anzahl der Terme in der Summe über steuern lassen. In der Demo können Sie auch die Frequenz steuern.
E2 In der Demo oben wie folgt vor.- Beginnen Sie mit einem einzigen Begriff in der Serie und zeichnen Sie die Antwort. Ein einzelner Begriff sollten Sie ein Sinuswellensignal mit einer Amplitude von 1,0.
- Erhöhen Sie langsam die Anzahl von Begriffen, so dass Sie den dritten Harmonische (zwei Begriffe) umfassen, das fünfte Harmonische (drei Begriffe) usw.
- Ist die Funktion einer Rechteckwelle nähern.
- Gibt es alles, was Sie über die Annäherung bemerken, vor allem in der Nähe der Diskontinuität?
Die Berechnung der Fourier-Reihen-Koeffizienten An dieser Stelle gibt es ein paar Fragen, die wir in Angriff nehmen müssen. Hier sind einige Fragen, die beantwortet werden müssen.
- Welche Art von Funktionen kann über diese Art von Serie dargestellt werden?
- Tatsächlich können die meisten periodischen Signale mit einer Reihe dargestellt werden, die aus Sinus- und Kosinusfunktionen. Auch Diskontinuitäten (wie in der Rechteckfunktion oder die Sägezahn-Funktion in den Simulationen) wird kein unüberwindbares Problem dar, obwohl man erwarten könnte (aus den Simulationsergebnissen), dass es einige Phänomene sind wir direkt an den Diskontinuitäten berücksichtigen müssen.
- Wie Sie herausfinden, was die Serie für eine gegebene Funktion ist?
- Das ist eine interessante Frage, und das werden wir bald besprechen. Es gibt einige mathematische Ergebnisse, die wir benötigen, aber Sie sollten darauf vorbereitet sein.
- Gibt es praktische Auswirkungen auf das alles?
- Da Funktionen bei verschiedenen Frequenzen, bei Kosinus von Sinus- als, und da verschiedene lineare Systeme sinusförmigen Signale in einer Art und Weise zusammengesetzt werden kann, verarbeiten, die frequenzabhängig ist gedacht, diese beiden bedeuten Tatsachen, daß die Antwort eines Systems mit einem periodischen Eingangsvorhergesagt werden kann, Verwendung Frequenzgang Methoden.
- Viele Signale werden nun unter Verwendung von Frequenzkomponente Konzepte analysiert. Spezielle Berechnungstechniken (insbesondere die FFT oder Fast-Fourier-Transformation) wurden Frequenzkomponenten zu berechnen, entwickelt schnell für verschiedene Signale. Signale, die analysiert wurden, umfassen Tonsignalen in Erdbeben, Brückenschwingungen bei dynamischer Belastung (sowie Stress Vibrationen in vielen verschiedenen Strukturen von hohen Gebäuden für Luftfahrzeuge Vibrationen) und Kommunikationssignale (einschließlich der Signale selbst sowie das Rauschen, das mit der stört Signale).
Im Allgemeinen kann ein periodisches Signal als Summe beider Sinus und Kosinus dargestellt werden. Da auch Sinus- und Kosinus haben keine durchschnittliche Laufzeit, periodische Signale, die einen nicht-Null Durchschnitt haben eine konstante Komponente. Insgesamt wird die Serie der unten gezeigten. Diese Reihe kann verwendet werden, um viele periodischen Funktionen darzustellen. Die Funktion f (t), wird angenommen, periodisch zu sein.
Die Koeffizienten, an und bn. sind, was Sie das Signal zu erzeugen wissen müssen.
Zur Berechnung der Koeffizienten nutzen wir einige Eigenschaften von sinusförmigen Signalen nehmen. Der Ausgangspunkt ist ein Produkt von f (t) mit einem der sinusförmigen Komponenten zu integrieren, wie unten gezeigt.
Wenn wir nun, dass die Funktion f (t) annehmen, kann durch die Reihe oben dargestellt werden, können wir f (t) mit der Serie im Integral ersetzen.
Hier stellen wir die folgenden:- f = 1 / T,
- w o = 2 p f.
Wenn wir also die Integration der Funktion f (t) zu tun, durch eine Sinus- oder Cosinus-Funktion multipliziert, sie fast alle Nullen sein trainieren. Die einzige, die Null ist nicht klappt ist die, worin n und m gleich sind.
Die Realisierung all dies können wir schließen:
Das gibt uns einen Weg eine der bs in den Fourier-Reihen zu berechnen.
An dieser Stelle haben wir die Hälfte unseres Problem gelöst, weil wir die bs berechnen kann, aber wir müssen noch die a berechnen. Allerdings können wir das gleiche tun für die ein, dass wir für die bs taten (und wir werden Sie tun, dass Sie sich), und wir die folgenden Ausdrücke für die Koeffizienten erhalten.
und diese Ausdrücke sind gut für n> 0 und m> 0. Der einzige Koeffizient nicht abgedeckt ist ua die gegeben ist durch:
So, jetzt haben wir einen Weg, alle Koeffizienten in einer Fourier-Reihenentwicklung zu finden. Lassen Sie uns anwenden, was wir auf ein Beispiel kennen. Beispiel / Experiment
E3 Wir werden die Fourier-Reihen eines allgemeinen Impuls berechnen, die wiederholt. Die Impulssequenz ist unten gezeigt. Das Pulssignal variiert zwischen Null Volt und einem Volt.
Nun, um die Koeffizienten zu bewerten, tun wir die Integrationen oben angegeben. Wir haben die folgenden.
Jetzt können wir einige der Koeffizienten für einen bestimmten Fall berechnen. Wir werden die Situation untersuchen, wo der Impuls für ein Viertel der Periode, das heißt, wenn Tp = T / 4 hoch ist. In dieser Situation haben wir:
Beachten Sie, dass die a (die Cosinus-Koeffizienten) wird für noch Ns alle Null sein, während die B (die Sinuskoeffizienten) Null für jeden vierten n sein wird. Davon abgesehen, haben wir die Koeffizienten berechnet werden, die in der Tabelle unten angegeben. Für diese Tabelle haben wir eine Periode von 4 Sekunden angenommen. Wir werden zeigen, dass später in einem Echtzeit-Simulator.
Jetzt können wir prüfen, ob diese Koeffizienten tatsächlich einen Impuls erzeugen. Hier ist ein Echtzeit-Simulator, die Sie, dass der Check lassen. Es wurde wir oben zu erzeugen, einen Impuls berechnet mit den Koeffizienten vorbelastet. da wir nur sind jedoch Harmonischen bis zur 10. Harmonischen verwendet wird, wird es keine exakte Darstellung sein.
Führen Sie den Simulator zu überprüfen, ob wir in der Nähe sind. Dann gehen Sie wie folgt.
Fragen / Probleme
Mit Hilfe des Simulators, die folgenden Fragen beantworten
Q1 Ist die Wellenform mit 10 Harmonischen aussehen - mit mehr Harmonischen - es auf den Impuls konvergieren werden wir begannen mit?
Bestimmen P1 der Mittelwert (d.h. DC-Komponente) des Signals.
E4 Als nächstes werden wir die Fourier-Reihe einer Dreieckswelle berechnen, wie unten abgebildet.