Einführung in die Symmetrie (Science U)
Für die meisten Menschen beschwört die Idee der Symmetrie auf Gedanken von Kunst und Natur, sowie Mathematik. Unsere Vorstellungen von Schönheit sind eng mit Symmetrie und Prinzipien der Symmetrie manifestieren sich auf subtile Weise in der gesamten Natur gebunden. Bücher wie Design und Farbe in der islamischen Architektur. Acht Jahrhunderte des Tile-Maker Art und Struktur in der Natur ist, eine Strategie für Gestaltung dieser Verbindungen näher verfolgen.
Was ist Symmetrie?
Auch wenn wir alles Symmetrie intuitiv verstehen und erkennen, ist es ein wenig schwieriger, nur zu sagen, was es ist. Doch in der Ebene, die Grundidee ist klar: Eine Figur in der Ebene symmetrisch ist, wenn Sie eine Kopie davon abholen konnte, ihn herum bewegen an eine neue Position irgendwie, und es wieder auf die ursprüngliche Zahl gesetzt, so dass sie paßt genau wieder auf.
Die Animationen unten veranschaulichen diese Definition der Symmetrie im Falle einer schachbrett Verfliesung. Auf der linken Seite wird die Kacheln nur verschoben wird, oder übersetzt ist so eine Art und Weise, dass sie wieder mit sich selbst zusammenpasst. Auf der rechten Seite wird die Kacheln um eine Vierteldrehung gedreht, um es wieder machen lassen.
Die Schachbrettfliesen ist eine sehr symmetrische Pflasterungen. Es gibt viele, viele Möglichkeiten, es auf sich selbst zu bewegen, so dass sie wieder zusammenpasst zusätzlich zu den beiden oben gezeigt. Mathematicians sagen, dass eine andere Art und Weise auf sich selbst tiling des Bewegens eines „Symmetrie der Kacheln“ ist. Wie viele Symmetrien können denken Sie über die Schachbrettfliesen?
Kinds of Symmetry
Eines der ersten Dinge, über Symmetrie zu bemerken ist, dass es verschiedene Arten gibt. Dies liegt daran, es gibt verschiedene Möglichkeiten, etwas in der Ebene zu bewegen. Ein Weg ist, um es einfach zu übersetzen ein wenig. Ein weiterer Grund ist es zu drehen. Noch eine andere ist es zu übergeben. Als Folge gibt es verschiedene Arten von Symmetrie.
Betrachten Sie die oben genannten Abbildungen. Die auf der linken Seite zeigt eine Rotationssymmetrie. Man könnte es abholen, dreht sie ein Drittel eines Kreises, und setzt es wieder nach unten, so dass es genau würde passen. Die Figur auf der rechten Seite hat Spiegelsymmetrie. In diesem Fall könnten Sie es abholen, schalten Sie es entlang der Achse der gepunkteten Linie über, und es nach unten auf sich selbst zurückwerfen.
Es gibt tatsächlich vier verschiedene Arten von Symmetrie, auf vier grundlegende Möglichkeiten entsprechender eine Kachel um in der Ebene bewegen, nach rechts dargestellt. In der Sprache der Mathematik, diese unterschiedlichen Arten der Dinge in der Ebene bewegt werden Isometrien genannt.
Um eine schnelle Vorstellung darüber, wie Isometrien arbeiten, können Sie bei einigen Animationen Übersetzungen suchen. Rotationen. Reflexionen. und Gleitspiegelung. oder Sie können über Isometrien in mehr Tiefe in Einführung in den Isometrien in der Wissenschaft U Bibliothek.
Symmetry Gruppen
Diese erfreuliche Tatsache macht es viel einfacher für eine Tiling über die Symmetriegruppe zu denken. Die Symmetriegruppe eines Kacheln ist nur die Sammlung aller Symmetrien. Wenn wir von den Schachbrettfliesen weiterhin auf immer in alle Richtungen zu denken, ist es klar, dass es unendlich viele Symmetrien hat. Für den Anfang, könnten wir jede gerade Anzahl von Plätzen in der x-Richtung oder y-Richtung tranlate und die Fliesen würden noch zusammenpassen. Dies gilt nicht einmal alle Drehungen und andere Isometrien zählen, die es auf sich selbst zurücknehmen.
Im Allgemeinen ist die symmetrischere Pflasterung ist, desto größer ist seine Symmetriegruppe. Tatsächlich ist, wie unser Check Beispiel zeigt, Symmetriegruppen können große, unendliche Dinge sein. Da wir jedoch Symmetrien komponieren können andere Symmetrien zu bekommen, statt über alle Symmetrien zu denken, müssen wir denken nur über ein paar grundlegende diejenigen, die wir miteinander zusammenstellen können den ganzen Rest zu bekommen!
Im Falle des Schachbrettfliesen, zum Beispiel, statt über alle möglichen Denkweisen davon zurück auf sich selbst zu übersetzen, können wir uns auf zwei grundlegende Übersetzungen, eine in der x-Richtung und eine in y-Richtung konzentrieren, als Erscheinen oben auf der linken Seite. Wir können jede andere Translationssymmetrie erhalten nur durch diese beiden oft genug zu tun. Zum Beispiel ist die diagonale Übersetzung auf der rechten Seite der gleiche wie der Nettoeffekt der zwei vertikale und eine horizontale Grund Übersetzungen in der Mitte gezeigt.
Mathematicians eine solche Sammlung von Grundsymmetrien die Generatoren der Symmetriegruppe nennen. Wie Sie sehen werden, die Generatoren eine wichtige Rolle spielen verschiedene Arten von Symmetriegruppen bei der Klassifizierung.