Factoring Zahlen, Purplemath
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„Faktoren“ sind die Zahlen, die Sie multiplizieren, um eine andere Nummer. Zum Beispiel Faktoren von 15 sind 3 und 5, da 3 x 5 = 15. Einige Zahlen haben mehr als eine Faktorisierung (mehr als eine Art von einkalkuliert werden). Zum Beispiel 12 kann als 1 × 12, 2 × 6 berücksichtigt werden. oder 3 x 4. Eine Zahl, die nur als 1-mal einkalkuliert werden selbst ist „prime“ genannt. Die ersten Primzahlen sind 2. 3. 5. 7. 11. und 13. Die Nummer 1 wird nicht als Primzahl betrachtet und ist in der Regel nicht in Faktorisierungen enthalten, da 1 in alles geht. (Die Nummer 1 ist ein bisschen in diesem Zusammenhang langweilig, so es wird ignoriert.)
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Sie mögen am häufigsten die „Primfaktorzerlegung“ eine Zahl zu finden: die Liste aller Primzahlfaktoren einer bestimmten Zahl. Die Primfaktorzerlegung nicht enthalten 1. sondern tut jede Kopie eines jeden Primfaktor enthalten. Zum Beispiel ist die prime Faktorisierung von 8 2 × 2 × 2. nicht nur „2“. Ja, 2 ist der einzige Faktor, aber Sie müssen drei Kopien davon bis 8 multiplizieren zurück, so dass die Primfaktorzerlegung alle drei Kopien enthält.
Auf der anderen Seite umfasst die Primfaktorzerlegung nur die Primfaktoren, keine Produkte dieser Faktoren. Zum Beispiel, obwohl 2 × 2 = 4 ist und obwohl 4 ein Teiler von 8, 4 nicht in der Primfaktorzerlegung von 8. Das liegt daran, dass 8 nicht gleich 2 × 2 × 2 × 4. Diese versehentliche über Vervielfältigung von Faktoren ist ein weiterer Grund, warum die Primfaktorzerlegung ist oft am besten: es vermeidet jeden Faktor zu oft zu zählen. Nehmen wir an, dass Sie die Primfaktorzerlegung von 24 finden müssen Manchmal wird ein Student nur eine Liste aller Teiler von 24. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Dann wird der Schüler etwas tun, wie machen die Produkt alle diese Divisoren: 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 12 × 24. Aber das ist gleich 331776. nicht 24. So ist es am besten auf die Primfaktorzerlegung bleiben, auch wenn das Problem nicht, es erfordert, um einen Faktor zu vermeiden, entweder weggelassen oder sonst über Duplizieren ein.
Im Fall von 24. Sie die Primfaktorzerlegung es 24, indem sie und dividiert durch die kleinste Primzahl, die in 24 von 24 ÷ 2 = 12. (Eigentlich finden kann, ist nicht so wichtig, das „kleinste“ Teil geht als „prime "Teil, das‚ kleinsten‘Teil meist ist Ihre Arbeit leichter zu machen, denn durch kleinere Zahlen Dividieren einfacher ist) nun die kleinste Zahl dividieren aus, die die kleinste Zahl geht teilen hinaus in 12. 12 ÷ 2 = 6. Nun, das geht in 6 6 ÷ 2 = 3. Da 3 eine Primzahl ist, sind Sie Factoring getan, und die Primfaktorzerlegung ist 2 × 2 × 2 × 3.
Eine einfache Möglichkeit, den Überblick über die Faktorisierung zu halten ist upside-down Teilung zu tun. Es sieht aus wie das:
(Die obige Grafik wird auf der „Live“ -Seite animiert.)
Das Schöne an diesem upside-down Teilung ist, dass, wenn Sie fertig sind, die Primfaktorzerlegung das Produkt aller Zahlen um die Außenseite ist. Die Faktoren werden in rot oben eingekreist. By the way, diese upside-down Division ist etwas, das wahrscheinlich auf Kratzer-Papier getan werden soll, und nicht als Teil der Hausaufgaben abgegeben.
Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 1050.
Ich werde die Upside-Down-Abteilung tun:
(Die obige Grafik wird auf der „Live“ -Seite animiert.)
Dann ist meine Antwort: 1050 = 2 × 3 × 5 × 5 × 7
Einige Texte bevorzugen, dass die Antworten wie diese exponentielle Notation geschrieben werden, wobei in diesem Fall die endgültige Antwort würde als 2 × 3 × 5 2 × 7 geschrieben werden.
Sie können die wiederholte Teilung „die rechte Seite nach oben“, auch tun, wenn Sie es vorziehen. Der Prozess funktioniert auf die gleiche Art und Weise, aber die Division in der Orientierung umgekehrt. Das obige Problem wäre wie folgt ausgearbeitet:
Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 1092.
Ich werde die wiederholte Teilung tun:
1092 = 2 × 2 × 3 × 7 × 13
Diese Antwort kann auch als 2 2 × 3 × 7 × 13 geschrieben werden.
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By the way, gibt es einige Regeln, die Teilbarkeit Sie die Zahlen von teilen helfen können, zu finden. Es gibt viele Teilbarkeitsregeln. aber die einfachste zu verwenden, ist diese:
Wenn die Zahl gerade ist, dann ist es durch 2 teilbar.
Wenn die Ziffern der Zahl auf eine Zahl Summe, die durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 3 teilbar ist.
Wenn die Zahl mit einem 0 oder 5 endet, dann ist es durch 5 teilbar.
Natürlich, wenn die Zahl durch 2 teilbar doppelt so groß ist, dann ist es durch 4 teilbar; wenn es durch 2 teilbar und 3. dann ist es durch 6 teilbar; und wenn es teilbar ist zweimal von 3 (oder wenn die Summe der Ziffern ist durch 9 teilbar), dann ist es teilbar durch 9. Aber da Sie die Primfaktorzerlegung sind zu finden, Sie nicht wirklich kümmern uns um diese nicht-prime Teilbarkeitsregeln . Es gibt eine Regel für Teilbarkeit durch 7 aber es ist kompliziert genug, dass es wahrscheinlich einfacher, nur die Aufteilung auf Ihrem Rechner und sehen, ob es aus selbst kommt.
Wenn Sie aus kleinen Primzahlen laufen und Sie sind nicht Factoring getan, dann halten immer größere Primzahlen versuchen (11, 13, 17, 19, 23 usw.), bis Sie etwas finden, das funktioniert - oder bis Sie erreichen Primzahlen, deren Quadrate größer als das, was Sie Aufteilung in. Warum? Wenn Ihr prime nicht in nicht teilt, dann ist die einzigen möglichen Teilern sind größer Primzahlen. Da das Quadrat der Primzahl größer als die Zahl ist, dann muss eine größere Primzahl als Rest eine kleinere Zahl als Ihre Primzahl. Die einzige kleinere Zahl links, da alle kleineren Primzahlen eliminiert wurden, ist 1. die müssen also Zahl links sein Primzahl ist, und du bist fertig.
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