Koch s Borromäischen Ring Verbindungen
Ein Satz And A Conjecture
Theorem: Borromean Ringe können nicht in 3-D unter Verwendung von kreisförmigen Ringen verwirklicht werden.
Beweis # 2:
(Dies ist eine 3D-isierung von mir dem obigen Beweis)
Gegeben eine beliebige Anordnung von Kreisen in 3-D, können Sie ständig die Bereiche der Kreise, ohne dass die Kreise schrumpfen jemals berühren einander, bis jeder Kreis auf einen Punkt reduziert wird (also nichts „ging durch“ es), worauf können Sie entfernen sie den Kreis von den anderen (daher nicht in irgendeiner Weise etwas verbunden war).
(Dies kann leicht vollständig rigorose gemacht werden, wenn wir festlegen, dass die Kreise so schrumpfen sollen, dass jeder bleibt in einer konstanten Ebene mit einem konstanten Zentrum, und die Menge der Fläche von jedem Kreis verloren soll mir die Zeit T gleich, die bisher bestanden hat. wenn die durch zwei Ringe begrenzt Scheiben schneiden sich nicht, dann eindeutig die Ringe nicht berühren, wie sie schrumpfen, so dass der einzige interessante Fall ist, wenn die Scheiben schneiden sich. wenn die Scheiben in der gleichen Ebene liegen, dann ist man innerhalb der andere, und sein Radius schneller schrumpft, so dass sie nicht gerecht werden. Wenn die Scheiben nicht in der gleichen Ebene liegen, dann an der Schnittlinie suchen, lesen kann man leicht, dass ein auf dieser Linie zwei Punkte schrumpf Kreis schrumpfen gerade als ob sie sich der Durchmesser eines schrumpf Kreis, so dass dieser Fall kann auf diese Weise auf eine logische Folge des Falles, in dem die Kreise in der gleichen Ebene liegen umgewandelt werden.)
Proof # 3:
(Von Conway und ich)
Die Scheibe von jedem Ring (A) begrenzt muss eine andere (B) schneiden (da sonst könnte es, ohne auf die andere zu einem Punkt geschrumpft werden), und daher ist es zweimal schneiden muß. Ich werde sagen A schluckt B. dann offensichtlich B kann auch ein nicht schlucken, so schluckt B C und C schluckt A. Die Ebenen der Ringe A und B in einer Linie L schneiden, - wenn dies parallel zur Ebene der der C-Ring, suchen, dann entlang es sehen wir ein Bild:
in dem wir (das untere Ende des C-Rings zum Beispiel), so dass das Objekt nicht deutlich Borromean ist. sehen kann, dass ein „Ende“ jeden Rings sein „geschrumpft“, bis es nicht mehr „verschluckt“
Das gleiche Argument funktioniert, wenn L die Ebene C in einem Punkt außerhalb der Scheibe C trifft -. Wir nur Projekt von diesem Punkt (die nur der Schnittpunkt der Ebenen aller drei Ringe ist der einzige Fall verließ deshalb ist die, in der die drei Scheiben haben einen gemeinsamen Punkt. Nennen sie es P. die Kraft des Punktes P (das Produkt der beiden Abstände zu einem gegebenen Kreis auf jeder Linie durch P und der Kreis) wird immer größer sein, in Bezug auf die swallower als in Bezug auf die swallowee, da P innerhalb der beiden Scheiben ist. Verfolgen diese Ungleichheit um die drei Kreise gibt einen Widerspruch, so ist es unmöglich, drei (oder mehr) Scheiben einen gemeinsamen Punkt zu teilen, wenn jeder der nächste schluckt. so einem solchen Fall in der Tat kann nicht auftreten, so sind wir fertig.
Ich vermute, dass auch die Umkehrung gilt: Rings das einzige, was Sie nicht Borromäischen Ringe aus machen kann.
Das heißt, da alle drei einfache unverknoteten geschlossene Kurven in 3-D, können sie immer in einer Borromean Anordnung angeordnet werden, wenn sie allcircles sind.
Zum Beispiel versuchen, eine Borromäischen Anordnung macht mit:- in einem mittelgroßen Kreis, ein sehr kleiner Kreis, und ein sehr großer Platz
- drei kongruente Kreise aber einer von ihnen gestreckt wird sehr leicht in eine Ellipse
- drei „Tennisball-Naht“ -Formen