Lassen Sie uns - s Klassik-Gerät, Wicked Physik Problem

Hier ist klassisch (und schwer) Physik Problem, das eine interessante Frage aufwirft:

Nehmen Sie zwei Punkte im Raum, Punkt 1 und Punkt 2. Was ist der Weg von Punkt 1 bis 2, dass ein reibungs Objekt in der geringstenen Menge an Zeit gleiten könnte? Nehmen wir ein konstantes Gravitationsfeld.

Hier sind zwei Punkte mit unterschiedlichen Pfaden. Man könnte schneller sein, aber welche schnellst wäre? Die Lösung für dieses Problem ist traditionell die Brachistochrone genannt.

Diese schwierige und interessante Frage hat historische Bedeutung. Die Brachistochrone Lösung trug zur Schaffung der Variationsrechnung. Ich gewann # x27; t ins Detail gehen, aber ich werde Sie feststellen, dass Lagrange-Formalismus erinnern basiert auf der Variationsrechnung.

Der traditionelle Lehrbuch Ansatz hier ist es, zunächst für die Zeit zu lösen eine Kurve nach unten zu rutschen. Da eine Kurve isn # x27; t gerade, müssen Sie dies einrichten als integrales, in dem Sie die Zeit berechnen für viele kleine „gerade“ Segmente erforderlich, und fügen Sie sie auf. Das # x27; s nicht allzu schwierig. Der schwierige Teil ist das Finden der Funktion (Kurve), die den Minimalwert nach der Integration gibt. Es # x27; s wie ein Max-Min-Problem in der Infinitesimalrechnung, aber viel härter.

I # x27; ve über die Ableitung der Variationsrechnung gegangen, als ich die klassische Mechanik lehren, aber ich # x27; ve nie zufrieden. Ich fühle es # x27 immer; s Art eines magischen und geheimnisvollen Schritt, um diese Funktion zu finden, die das Integral minimiert, und ich folge nur viel mit dem Lehrbuch zusammen, wie ich mein Telefon # x27 nur folgen, Richtungen s bei dem Versuch, einen neuen zu finden Lage.

Aber mit jedem großen Problem, es gibt mehr als ein Weg, dies zu lösen. Was ist eine Art von numerischer Lösung? Ja, die # x27; s, was ich # x27; ll tun, zumindest für eine der Lösungen.

menschliche Intuition

Ich habe eine Idee für ein Spiel. Ein Physik-Spiel mit komplizierten Problemen. Der Benutzer (Spieler) versucht, an Lösungen zu erraten, ohne tatsächlich die Probleme zu lösen. Natürlich sind solche Spiele schon Basketball und Baseball Deal mit Wurfbewegung EXIST, auch wenn niemand für diese Bahnen tatsächlich löst. Aber was ist die Energieniveaus für einige Quantenobjekt zu raten? Oder die Geschwindigkeit für eine stabile Planetenbahn? Das könnte ein lustiges Spiel sein.

Aber hier ist ein echtes Beispiel: Können Sie den Pfad schätzen, die einen Wulst nach unten rutschen einen Draht in kürzester Zeit lassen würden? Nun, ich zusammen einige Python-Code, # x27 lassen; s Sie Ihre Intuition testen. Hier # x27; s, wie zu spielen:

• Passen Sie die graue Kugeln den Pfad der Kurve von Punkt 1 zu ändern 2. Hinweis Punkt: Sie können durch Klicken und Ziehen in einem Pfad, und es sollte die Punkte bewegen, wie Sie über sie passieren.
• Klicken Sie auf „Ausführen“ und die Perle Dia beobachten. Der Timer wird die Gesamtdauer der Folie zeigen.
• Sie können erneut versuchen. Klicken Sie einfach auf „Pause“ und „Reset“ und Sie sollten gut zu gehen.

Hier ist das Programm.

Wenn Sie wirklich auf dem Code aussehen wollen, hier ist es. I # x27; ll ehrlich gesagt, habe ich noch # x27 don t vollständig auf die Schaltflächen oder Maus-Interaktionen verstehen, aber ich habe es zu arbeiten.

numerische Lösung

Der Schlüssel zu einer numerischen Lösung ist ein kompliziertes Problem zu nehmen und es in einen Haufen von einfacheren Problemen zu brechen. Was ist, wenn es nur ein beweglicher Punkt zwischen zwei Fixpunkten war?

Hier kann ich die mittlere Position nach oben und unten (mit einer Variablen y) und berechnen Sie die Zeit, die von Position 1 bis 2. Lassen Sie mich das etwas anders machen zu gehen, dauert als das ursprüngliche Problem. In diesem Fall werde ich die Perle beginnt an Position 1 mit einiger Startgeschwindigkeit lassen. Der Wulst wird beschleunigt, wie es zum Mittelpunkt bewegt (vorausgesetzt, ich bewege sie niedriger als der Ausgangspunkt).

die Zeit der Berechnung der Mittelpunkt isn # x27 zu erreichen; t schwer, aber es ist ein bisschen langweilig. Zunächst wird I um die Geschwindigkeit des Wulstes am Mittelpunkt zu berechnen. Hier kann ich das Arbeits-Energy-Prinzip verwenden. Mit potentieller Energie und eine Änderung der kinetischen Energie, die ich erhalte:

Für die Fahrzeit, ich brauche die durchschnittliche Geschwindigkeit und den Abstand. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Summe der Start- und Endgeschwindigkeit, geteilt durch zwei (da die Beschleunigung konstant ist). Ich werde die Variable s den Abstand für diesen Teilpfad nennen. Es wird den folgenden Wert hat.

Vielleicht bemerken, dass ich „down“ die positive y-Richtung nenne. Ich hoffe, dass didn # x27; t Chaos Ihnen. Jetzt kann ich die durchschnittliche Geschwindigkeit zusammen mit dem Abstand die Rutsche Zeit zu bekommen. Denken Sie daran, die Perle am Draht bleiben muss, damit es # x27; ein eindimensionales Problem s.

Ja, beide v 2 und s ist abhängig von der vertikalen Positionierung y. Aber warte! Wir sind leider immer noch # x27; t abgeschlossen. Jetzt muss ich für den Weg, die gleiche Sache tun von dem Mittelpunkt zwei 2. Denken Sie daran, wichtige Dinge zu Punkt. Zuerst wird die Endgeschwindigkeit für den ersten Teil ist die Startgeschwindigkeit für den zweiten Teil. Zweitens ist es # x27; s sehr gut möglich, dass die Beschleunigung für den Wulst negativ ist (wenn der Draht nach oben geht).

Allerdings ist der Punkt, dass es # x27; s durchaus möglich, einen Ausdruck für die Wulst-Zeit in Bezug auf dem Variable y erhalten. Mit diesem Ausdruck, könnte diese Dinge in ein klassisches Max-Min Problem gedreht werden. Es könnte getan werden, aber es wäre chaotisch. Anstatt also, ich # x27; würde etwas anderes tun.

Was passiert, wenn ich nur den Mittelpunkt stellen zu einem bestimmten Wert von y und dann die Gesamtzeit berechnen. Als nächstes werde ich die y-Position wieder die Gesamtzeit bewegen und berechnen. Damit konnte ich ein Grundstück von Dia-Zeit vs. y-Position machen. Es wäre so einfach sein, dass ich es jetzt tun könnte.

Nun diese Berechnung etwas nützlicher zu setzen. Ich brauche nur die gleiche Berechnung für jeden Punkt in meiner Kurve laufen. Ja, so kann dieser sich langsam, aber es funktioniert. Hier # x27; s, wie das aussieht. Klicken Sie auf „Play“ um es zu starten.

Ich denke, dass # x27; s ziemlich genial. Ehrlich gesagt, das hat mich ziemlich viel länger zusammen zu stellen, als ich erwartet hatte. Am Ende sieht es ziemlich nett. Oh, Sie sagen, es ist # x27; s nicht die schnellste Lösung? Nun, haben Sie schon einmal versucht, dieses Problem auf dem Papier zu lösen? Es # x27; s ziemlich hart.

Variationsrechnung

Aber wie meine Lösung für die traditionelle Lehrbuch Antwort vergleichen? By the way, wenn Sie über die Ableitung gehen wollen, schlage ich vor, auf der Suche Andy Rundquist # x27; s Beitrag zu diesem Thema.

Ich gewann # x27; t die Details der Lösung außer Deckung des kürzesten Weg zeitlich zu sagen, dass von einer Zykloide ist. Aber ich war überrascht, dass es # x27 wasn; t so trivial, eine Zykloidenbahn zu finden, begann und endete an den richtigen Stellen. Ich hatte eine andere numerische Berechnung machen eines der finden Koeffizienten, aber ich gewann # x27; t in dem gehen.

Am Ende konnte ich mein Programm ändern, um eine Zykloide zusammen mit meiner numerischen Optimierung einzubeziehen. Hier ist sie-Play drücken, um sie auszuführen. Die gelbe Kurve ist die analytische Lösung.

I # x27; ist ziemlich glücklich.

Don # x27; t vergessen, Ihre Hausaufgaben.

Update (1/16/17). In einem E-Mail Gespräch mit Bruce Sherwood, wurde ich von einem alten (aber berühmt) Physik-Programm namens Graphen und Tracks erinnert. Die Grundidee für dieses Programm war für einen Student, um eine Spur zu justieren, dass ein Ball so rollen kann, dass der Graph der Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung eine vorgegebene Idee abgestimmt. Es war ziemlich genial und ziemlich ähnlich den Code, den ich oben geführt habe.

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