Mathematik, die Anwendbarkeit von, Internet Encyclopedia of Philosophy
Als Philosophen sollte unser erstes Ziel sein, die verschiedene Probleme mit der Anwendbarkeit der Mathematik verbunden zu klären. Dieser Artikel zeigt einige mögliche Lösungen für diese Probleme. Abschnitt 1 hält eine Version des Problems der Anwendbarkeit gebunden zu dem, was oft als „Freges Constraint“ genannt wird, die der Ansicht ist, dass eine angemessene Berücksichtigung einer mathematischen Domäne die Anwendbarkeit dieser Domäne außerhalb der Mathematik erklären muss. Abschnitt 2 betrachtet die Rolle der Mathematik in der Formulierung und Entdeckung neuer Theorien. Dies läßt verschiedene mögliche Beiträge aus, die Mathematik für die Wissenschaft wie Vereinigung, Erklärung und Bestätigung machen könnte. Diese werden in Abschnitt 3, wo es wird vorgeschlagen, dass ein fragmentarischer Ansatz zum Verständnis der Anwendbarkeit der Mathematik ist die vielversprechendste Strategie für Philosophen zu verfolgen.
Inhaltsverzeichnis
1. Reasoning
Gottlob Frege (1848-1925) bleibt einer der einflussreichsten Philosophen der Mathematik und wird gedacht, von vielen als der erste Philosoph in der analytischen Tradition. Freges Hauptziel war es für ein logizistische Konto der Arithmetik zu argumentieren. Dies ist die Ansicht, dass alle arithmetischen Konzepte können in ganz logisch und dass alle arithmetischen Wahrheiten nur logische Ressourcen nachgewiesen werden können definiert werden. Während diese Charakterisierung von logicism keinen Link auf die Anwendbarkeit der Arithmetik macht, beibehalten Frege, dass das richtige Konto der natürlichen Zahlen ihre Rolle transparent zu zählen, machen müssen. Es ist schwer, ein Argument für diese Anforderung in Freges Schriften zu finden, obwohl, oder zu verstehen, was trifft sie gerade benötigt. einige mögliche Interpretationen von Freges Nachfrage hält dieser Abschnitt strukturalistischen Interpretationen der Mathematik Nach Vermessung der Freges Ansatz ablehnen.
In diesem Sinne ist der „Anwendbarkeit“, ist es ziemlich unumstritten, dass die Mathematik anwendbar ist; und wir können gewähren, dass jede tragfähige Philosophie der Mathematik muss einen Gegenstand für mathematische Ansprüche liefern. Aber beachten Sie, dass Freges Argument gegen den Formalismus nicht ein zweistufiges Ansicht der Anwendbarkeit nicht auszuschließen. Diese Ansicht wird vorgeschlagen, dass mathematische Behauptungen über eine ausschließlich mathematische Domäne sind, und dass diese Ansprüche eine Rolle in der wissenschaftlichen Argumenten spielen nur, weil es Räumlichkeiten, die die mathematische Domäne verknüpfen, was auch immer nicht-mathematische Domäne des Abschluss des Arguments geht. Im Gegensatz dazu besteht eine einstufige Ansatz der Frege, dass der Gegenstand der Mathematik bezieht sich direkt auf, was auch immer die Mathematik angewendet wird. Angesichts dieser Unterscheidung müssen wir untersuchen, wie Frege für seinen Ein-Stufen-Ansatz argumentieren könnte. Einfach auf die Rolle in der wissenschaftlichen Argumenten der mathematischen Ansprüche ansprechend ist nicht ausreichend, um einen zweistufigen Ansatz auszuschließen.
Eine andere Ansicht, die Frege Ziele ist John Stuart Mill ‚s Empirismus über Arithmetik. Dies ist die Ansicht, dass der Gegenstand der Arithmetik ist physikalische Gesetzmäßigkeit wie die Ergebnisse miteinander kombiniert werden physikalische Objekte größere Aggregate zu bilden. Frege besteht darauf, dass Empirismus nicht in der Lage ist für den breiten Umfang der Anwendbarkeit der Mathematik zu berücksichtigen:
Die Grundlage der Arithmetik liegt tiefer, so scheint es, als die irgendein der empirischen Wissenschaften und sogar als die der Geometrie. Die Wahrheiten der Arithmetik regeln alles, was zählbar. Dies ist die größte Domäne von allen; für gehört es nicht nur die tatsächlichen, nicht nur die anschauliche, aber alles Denkbaren. Sollten nicht die Gesetze der Zahl, dann, mit den Gesetzen des Denkens sehr eng miteinander verbunden werden? (Frege 1884 § 14)
Zum Beispiel können wir die Zahlen oder Formen der gültigen aristotelischen Syllogismen zählen. Unter der Annahme, diese Zahlen sind nicht physische Objekte, die Empiriker ohne eine Erklärung der Anwendbarkeit Zahlen der Verwendung dieser Objekte zu zählen. Freges eigener Vorschlag im Zusammenhang die Anwendbarkeit von Zahlen auf die Anwendbarkeit eines Begriffs in Zählen: „Der Inhalt einer Mitteilung der Nummer ist eine Aussage über ein Konzept“ (Frege 1884, §46). Als Konzepte alle Arten von Objekten unter sie fallen, einschließlich nicht-physischen Objekten wie die Figuren des Schlusses wird der breite Umfang der Anwendbarkeit der Arithmetik entfielen.
Freges Verbindung zwischen Zahlen, Zählen und Konzepte nicht von selbst eine zufriedenstellende Charakterisierung ergeben, was die Zahlen sind. Später in Foundations. Frege stellt Humes Prinzip als eine mögliche Definition dessen, was die Zahlen sind. Dieses Prinzip ist, dass die Anzahl von Fs auf die Anzahl der Gs identisch ist, wenn und nur wenn die Objekte unter dem Begriff F fallen, können in einer Eins-Eins-Entsprechung mit den Objekten unter dem Begriff G. Beachten Sie, dass Humes Prinzip a würde fallen gestellt werden direkte Erklärung des breiten Umfang der Anwendbarkeit der Arithmetik für sie zu zählen, macht die Identität der Zahlen zu Fragen wenden in Bezug auf welche Konzepte diese Zahlen angewendet werden. Mit Humes Prinzip könnte ein Agent identifizieren dann jede Zahl unter Verwendung eines solchen Konzept und gehen über sie zur Vernunft effektiv.
2. Formulierung und Discovery
3. Vereinheitlichung, Erläuterung und Bestätigung
In der Philosophie der Wissenschaft, versuchen viele, eine Theorie der wissenschaftlichen Erklärung zu schaffen, eine Vorstellung der Vereinigung verwenden, so ist es nicht verwunderlich, dass die Macht der Mathematik Entails für einige zu vereinen, die Mathematik auch physikalische Phänomene erklären kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Erklärung, warum es unmöglich ist, diese Anordnung von Brücken genau einmal zu überqueren:
