Student - s t-Verteilung, STAT 414
Im übrigen wurde die t-Verteilung zuerst von einem Mann entdeckt namens W. S. Gosset. Er entdeckte die Verteilung, wenn für eine irische Brauerei arbeiten. Weil er unter dem Pseudonym Student veröffentlicht wird, ist die t-Verteilung oft Students t-Verteilung genannt.
Geschichte beiseite lässt, ist die obige Definition wohl nicht besonders aufschlussreich. Lassen Sie uns versuchen, ein Gefühl für die t-Verteilung mittels Simulation zu erhalten. Lassen Sie sich zufällig 1.000 Standardnormalwert (Z) und 1000 Chi-Quadrat (3) Werte (U) erzeugen. Dann sagt die obige Definition uns, dass, wenn wir diese zufällig generierten Werte annehmen, berechnen:
und erstellen Sie ein Histogramm der 1000 resultierenden T-Werte, sollten wir ein Histogramm erhalten, die mit 3 Freiheitsgraden wie eine t-Verteilung aussieht. Nun, hier ist eine Teilmenge der resultierenden Werte von einer solchen Simulation:
Beachten Sie, zum Beispiel, in der ersten Reihe:
Hier ist, was das resultierende Histogramm der 1000 zufällig generierten T (3) Werte aussieht, mit einem Standard-N (0,1) Kurve überlagert:
Hmmm. Die t -Verteilung scheint die Standardnormalverteilung sehr ähnlich zu sein. Mit Hilfe der Formel oben für die p.d.f. gegeben von T. können wir die Dichtekurve verschiedenen t Zufallsvariablen plotten, sagen, wenn r = 1, r = 4 und r = 7, zu sehen, dass das in der Tat der Fall ist:
(1) Der Träger zu sein scheint -∞ < t < ∞. (It is!)
(2) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung erscheint etwa t symmetrisch = 0 zu sein (es ist!)
(3) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung erscheint glockenförmig ausgebildet ist. (Es ist!)
(4) Die Dichte Kurve sieht aus wie eine Standard-Normalverteilungskurve, aber der Schwanz des t -Verteilung ist „schwerer“ als der Schwanz der Normalverteilung. Das heißt, wir sind eher extremen t -Werten als extremer z -Werte zu erhalten.
(5) Da der Freiheitsgrade r ansteigt, wird das t -Verteilung der Standardnormal z -Verteilung zu nähern. (Es tut!)
Wie Sie bald sehen, müssen wir t -Werten sehen, sowie Wahrscheinlichkeiten über T Zufallsvariablen, sehr oft in Stat 415. Deshalb haben wir besser sicherstellen, dass wir wissen, wie eine T-Tabelle zu lesen.
Die t Tabelle
Wenn Sie einen Blick auf Tabelle VI in der Rückseite Ihres Textbuch nehmen, werden Sie feststellen, was wie eine typische t Tabelle aussieht. Hier ist, was die Spitze der Tabelle VI sieht aus wie (gut, minus die Schattierung, die ich habe hinzugefügt):
Die t -table ist ähnlich die Chi-Quadrat-Tabelle, dass die Innenseite der T -Tabelle (in violett schattiert) enthält die t-Werte für verschiedene kumulative Wahrscheinlichkeiten (in rot schattiert), wie etwa 0,60, 0,75, 0,90, 0,95 , 0,975, 0,99 und 0,995, und für verschiedene Verteilungen t mit r Freiheitsgrade (in blau schattiert). Die Zeile in grün schattierte zeigt die obere α Wahrscheinlichkeit, die die 1-α kumulativen Wahrscheinlichkeit entspricht. Zum Beispiel, wenn Sie entweder in einer kumulativen Wahrscheinlichkeit von 0,60 oder einer oberen Wahrscheinlichkeit von 0,40 interessiert sind, sollen Sie für den t-Wert in der ersten Spalte suchen.
Lassen Sie uns die t verwenden -Tabelle ein paar Wahrscheinlichkeiten und t-Werte aus der Tabelle zu lesen:
Schauen wir uns ein paar Beispiele anschauen.
Es sei T eine t -Verteilung mit r = 8 df folgen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Absolutwert von T weniger als 2.306?
Lösung. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ganz ähnlich wie eine Berechnung wir für eine normale Zufallsvariable machen müssten. Zunächst wird die Wahrscheinlichkeit in Bezug auf T anstelle des absoluten Werts von T. Umschreiben erhalten wir:
Dann müssen wir die Wahrscheinlichkeit in Bezug auf den kumulativen Wahrscheinlichkeiten neu schreiben, die wir tatsächlich finden können, das heißt:
Bildlich, sieht die Wahrscheinlichkeit wir suchen etwas wie folgt aus:
Aber die t -Tabelle enthält keine negativen t -Werten, so dass wir die Vorteile der Symmetrie der T Verteilung nehmen. Das ist:
Können Sie die notwendigen t -Werten auf dem T -Tabelle finden?
Die t -table sagt uns, dass P (T < 2.306) = 0.975 and P (T > 2,306) = 0,025. Deswegen:
Lösung. Der Wert t0.05 (8) ist der Wert t0.05, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable mit T 8 Freiheitsgraden größer ist als der Wert t0.05 0,05 ist. Das ist:
Können Sie den Wert t0.05 auf dem T -Tabelle finden?
Wir haben, dass die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass ein T Zufallsvariable mit 8 Freiheitsgraden größer ist als der Wert 1,860 0,05 ist.
Warum werden wir ein T Zufallsvariable begegnen?
Gegeben X1 eine Stichprobe. X2. Xn aus einer Normalverteilung, wissen wir, dass:
Früher in dieser Lektion haben wir gelernt, dass:
folgt eine Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Wir haben auch gelernt, dass Z und U unabhängig sind. Daher die Definition eines T Zufallsvariable verwenden, erhalten wir:
Es ist die sich ergebende Menge, das heißt:
die uns helfen werden, in Stat 415, einen Mittelwert aus einer Stichprobe zu verwenden, das ist \ (\ bar \), zu lernen, mit Zuversicht, etwas über die Bevölkerung bedeutet μ.