Was ist ein Derivat in der Infinitesimalrechnung, StudyPug
Definition für Derivative und Common Derivate
Was ist ein Derivat?
Das Derivat ist im Grunde die Steigung. So ist die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Funktion für einen gegebenen Punkt. Wir bezeichnen auch die Ableitung d als d x y \ frac d x d y. Natürlich können einige Funktionen nicht für einen bestimmten Punkt unterschieden werden. Nehmen wir das Beispiel des Derivats von 1 x \ frac x 1. Wenn x = 0 x = 0 x = 0 wir wissen, dass die Funktion nicht definiert ist. Daher wissen wir auch, dass das Derivat auch nicht definiert.
Wie die Ableitung zu finden?
Es gibt zwei Möglichkeiten, um die Ableitung zu finden:
1. Mit der Definition des Derivats
2. Verwenden Sie das Derivat-Chart und die Ableitung Regeln
Wir werden in beiden Richtungen erklären.
Definition von Derivative
Daran erinnern, dass wir die Ableitung durch Verwendung der Definition des Derivats weiter unten finden:
Lassen Sie uns für die Verwendung der Definition der Ableitung einige Beispiele an.
Zuerst findet die Ableitung eines konstant. Es sei f (x) = c f (x) = c f (x) = c. wobei c c c eine Konstante ist. die Definition von Derivats wird uns:
Daher wird die Ableitung eines konstanten immer 0 0 0 sein.
Was ist mit dem Derivat der Quadratwurzel? f (x) = x f (x) = \ sqrt f (x) = √ x lassen. Dann mit der Definition der Ableitung uns geben wird:
Dies ist ein wenig schwierig, weil wir die Gleichung ein wenig manipulieren müssen. Was würde zu tun, etwas, das ein Konjugat genannt. Wir gehen von (x + h) + x \ sqrt + \ sqrt √ (x + h) + √ x beiden Zähler und Nenner multiplizieren. Mit anderen Worten,
Vereinfachen wird uns:
Beachten Sie, dass die h h h ‚s im Zähler und Nenner kann aufgehoben werden, so dass uns
Jetzt können wir endlich die Grenze nehmen und stecken in h = 0 h = 0 h = 0, die uns gibt:
Daher ist die obige Gleichung die Ableitung der Quadratwurzel von x x x.
Lassen Sie uns nun etwas ähnliches und die Ableitung eines absoluten value.Let f '(x) = versuchen | x | f # x27; (x) = | x | f '(x) = | x |. Was wir brauchen, hier zu bemerken ist, dass | x | | x | | X | kann auch als x 2 \ sqrt> √ x 2 geschrieben werden. Daher gibt die Definition von Derivat mit uns
Auch hier werden wir das Konjugat tun. Damit
den Zähler Vereinfachen wird uns:
Abbrechen der h h h ‚s ergibt
Jetzt die Grenze nehmen (Satz h = 0 h = 0 h = 0), und vereinfacht wird uns:
Multipliziert man die Zähler und Nenner von x 2 \ sqrt> √ x 2 uns geben wird:
Da wir wissen, von Anfang an, dass | x | = x 2 | x | = \ Sqrt> | x | = √ x 2. dann sagen wir schließlich, dass
Nun, warum nicht wir versuchen, etwas härter und die Ableitung einer Exponentialfunktion nehmen? Es sei f (x) = e x f (x) = e ^ f (x) = e x. Dann mit der Definition der Ableitung gibt uns:
Beachten Sie, dass e (x + h) = e x e h e ^ = E ^ e ^ e (x + h) = e x e h. Daher können wir unsere Gleichung umschreiben zuJetzt können wir e x e ^ e x ausklammern und ziehen Sie sie aus der Grenze, was uns:
Jetzt ist hier der schwierige Teil dieser Grenze nimmt. Um von hier aus weiter, müssen wir bei der Definition von e suchen. Beachte das
Unter beiden Seiten der Macht h h h wird uns:
Wir werden diese e h e ^ e h in die ursprüngliche Gleichung ersetzen wir früher hatten, die uns gibt:ein wenig Algebra tun wird uns geben, dass
und so können wir schließen, dass
Wenn Sie härter Probleme versuchen wollen, nehmen Sie die Ableitung des natürlichen Logarithmus. Mit anderen Worten, findet die Ableitung von ln x \ ln x ln x. Wenn Sie die Lösung wollen, dann schauen Sie auf den Link unten.
derivative Übersicht
Hier ist eine Tabelle von gemeinsamen Derivate unten
Diese können verwendet werden, wenn die Ableitung Regeln anwenden.
derivative Regeln
Nun Derivat Regeln sind sehr nützlich, wenn wir versuchen, die Ableitung von ungewöhnlichen Funktionen zu übernehmen. Zum Beispiel wissen wir, dass die Ableitung von e x e ^ e x e x e ^ e x. aber was ist mit der Ableitung von e - x e ^ e - x. Was ist mit der Ableitung von e 2 x e ^ e 2 x. Dies ist, wo wir die Kettenregel einzuführen. Die Kettenregel sagt der folgende:
Lassen Sie uns dies verwenden, um die Ableitung von e aufzunehmen - x e ^ e - x. Es sei g (x) = - x g (x) = x g (x) = - x. und f (x) = e x f (x) = e ^ f (x) = e x. Dann können wir sagen, f '(x) = e x f # x27; (x) = e ^ f' (x) = e x. und so f '[g (x)] = e - x f # x27; [g (x)] = e ^ f' [g (x)] = e - x. Anwendung der Kettenregel wird uns:
Daher ist die Ableitung von e - x e ^ e - x - e - x e ^ e - x.
Nun wollen wir die Ableitung von e 2 x e ^ e 2 x nehmen. Wenn g (x) = x 2 g (x) = 2x g (x) = 2 x. und f (x) = e x f (x) = e ^ f (x) = e x. Dann können wir f sagen '(x) = e ^ und so f' [g (x)] = e 2 xf # x27; [g (x)] = e ^ f '[g (x)] = e 2 x der Kettenregel Mit geben Sie uns:
Nun gibt es eine weitere Derivat Regel, die wir die Ableitung einer Fraktion läßt nehmen. Wir nennen dies die Quotientenregel. Die Quotientenregel sagt der folgende:
Zum Beispiel h (x) = 2 x x 3 h (x) = \ frac >> h (x) = x 3 2 x lassen. Wir setzten f (x) = 2 xf (x) = 2 ^ f (x) = x 2 und g (x) = x 3 g (x) = x ^ g (x) = x 3 . Weiß aus Derivates Diagramm daß f '(x) = 2 x ln 2 f # x27; (x) = 2 ^ \ ln 2 f' (x) = 2 x ln 2 und g '(x ) = 3 x 2 g # x27; (x) = 3x ^ g '(x) = 3 x 2. Daher wird der Quotient Regel geben Sie die folgenden:
Es gibt auch andere derivative Regeln wie die Produktregel und Leistungsregel. Also, wenn Sie wollen auch über diejenigen lernen, empfehlen wir Ihnen diese Links zu klicken.
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Definition von derivativen
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