Wie Binäroperationen zu tun
2.1Definition (Binärbetrieb.) Es sei eine Menge. Eine binäre Operation ist eine Funktion. Binäre Operationen werden in der Regel durch spezielle Symbole gekennzeichnet wie
anstatt von Buchstaben. Wenn eine binäre Operation ist, schreiben wir statt. Durch die Definition der Funktion (1.57), eine binäre Operation ist eine dreifache, aber wie üblich für Funktionen ist, verweisen wir auf `` die binäre Operation „anstelle von` `die binäre Operation“.
2.2Examples. Die üblichen Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation sind binäre Operationen weiter und weiter. Subtraction ist keine binäre Operation auf, da ist nicht in. Division ist keine binäre Operation auf, da die Division durch nicht definiert ist. Allerdings Division ist eine binäre Operation auf.
Lassen Sie die Menge aller Mengen. 2.1 Dann Vereinigung und Schnitt und setzen Differenz sind binäre Operationen auf.
Lassen Sie die Menge aller Sätze sein. Dann und und oder sind binäre Operationen auf. In der mathematischen Logik und ist in der Regel vertreten durch oder und oder durch oder vertreten ist.
2.3Definition (Identitätselement.) Es sei eine binäre Operation auf einem Satz sein. Ein Element ist ein neutrales Element für (oder nur eine Identität für), wenn
2.4Examples. für die Zugabe ist eine Identität auf, und eine Identität für die Multiplikation auf. Es gibt keine Identität für die Subtraktion auf, da für alles, was wir haben
Da (2.5) falsch ist, ist die erste Anweisung auch false; das heißt für alle, ist nicht eine Identität für.
2.6Exercise. Lassen Sie die Menge aller Teilmengen von bezeichnen. Dann Vereinigung und Schnitt sind binäre Operationen auf. Gibt es ein neutrales Element für? Wenn ja, was ist es? Gibt es ein neutrales Element für? Wenn ja, was ist es?
2.7Theorem (Eindeutigkeit von Identitäten.) Es sei eine binäre Operation auf einem Satz sein. Nehmen wir an, sind beide Identitätselemente für. Dann . (Daher wir in der Regel über die Identität für, anstatt eine Identität für sprechen.)
Beweis: Es sei Identitätselement sein. Dann
Es folgt dem .
2.9Definition (Inverse.) Es sei eine binäre Operation auf einem Satz sein, und nehmen wir an, dass es ein Identitätselement für. (Wir wissen, dass diese Identität einzigartig ist.) Es sei ein Element sein. Wir sagen, dass ein Element eine inverse für unter, wenn
Wir sagen, dass ist umkehrbar unter, wenn eine umgekehrte unter.
2.10Examples. Für den Betrieb auf, hat jedes Element eine umgekehrte, nämlich.
Für den Betrieb auf, dass das einzige Element ein inverses hat, ist; seine eigene inverse ist.
Für den Betrieb auf, sind die einzigen invertierbaren Elemente und. Beide Elemente sind gleich ihren eigenen Umkehrungen.
Wenn irgendeine binäre Operation mit Identität, dann ist so immer umkehrbar, und ist gleich seine eigenen invers.
2.11Exercise. Ein Let die Menge aller Teilmengen. In Übung 2.6 Sie haben sollte gezeigt werden, dass sowohl der Operationen und auf Identitätselemente aufweisen.
a, die Teilmengen von Umkehrungen haben für? Was sind diese Umkehrungen? b, welche Untergruppen von Umkehrungen haben für? Was sind diese Umkehrungen?
2.12Entertainment. Sei eine Menge, und sei die Menge aller Teilmengen von sein. Definieren Sie eine binäre Operation auf durch
Somit besteht aus allen Punkten, die in genau einer der Sätze sind. Wir nennen die symmetrische Differenz von und. Zeigen Sie, dass es ein neutrales Element für, und dass jedes Element umkehrbar zu.
2.13Definition (Assoziative Betrieb.) Es sei eine binäre Operation auf einem Satz sein. Wir sagen, dass ist assoziativ, wenn
2.14Examples. Sowohl und sind assoziativ Operationen auf. Subtraction ist kein assoziativer Betrieb auf, da
Beachten Sie, dass zu zeigen, dass eine binäre Operation auf einem Satz nicht assoziativ ist, ist es ausreichend, einen Punkt in so dass zu finden.
Sie sollten sich davon überzeugen, dass beide und assoziative Operationen auf der Menge aller Mengen sind. Wenn sind Sätze, dann
2.15Theorem (Eindeutigkeit von Umkehrungen.) Lassen Sie auf einem Satz eine assoziative Operation sein, und nehmen wir an, dass es eine Identität für. Lassen . Wenn und sind Umkehrungen für, dann.
Beweis: Da und sind Umkehrungen für, haben wir
2.16Definition (Invertible Element.) Es sei eine binäre Operation auf einem Satz sein, ein Identitätselement. Ich werde sagen, dass ein Element umkehrbar ist für, wenn ein inverses hat. Wenn assoziativ ist, dann für jedes invertierbare Element eine eindeutige Inverse hat, die ich für die inverse unter nennen.
2.17Theorem (Doppel inverser Satz.) Es sei auf einem Satz eine assoziative binäre Operation sein, mit Identität und läßt. Wenn für umkehrbar ist, lassen Sie sich für die (einmalige) inverse bezeichnen. Dann ist umkehrbar und.
Beweis: Wenn die Inverse für, dann
Aber das ist genau die Bedingung für die Umkehrung zu sein.
2.18Examples. Als Sonderfälle des Doppel inversen Satz haben wir
Hier wird, wie üblich, bezeichnet die multiplikative Inverse für.
2.19Theorem (Stornorecht.) Es sei eine assoziative binäre Operation auf einem Satz sein, mit Identität, und lassen Sie sich für ein invertierbare Element sein. Dann
2.29Entertainment. Ist es möglich, ganze Zahlen zu finden, so dass die fünf Zahlen (2.24) - (2.28) sind alle verschieden? Wenn ja, findet vier solche Zahlen.
2.30Exercise. Lassen Sie auf einem Satz eine assoziative binäre Operation, und lassen Sie Elemente sein.
a) Zeigen Sie, dass es fünf verschiedene Arten sind vernünftig Klammern im Ausdruck setzen
und dass alle fünf Möglichkeiten, um das gleiche Ergebnis. (Jede Art und Weise werden zwei Sätze von Klammern verwenden, zum Beispiel ist eine Möglichkeit. Wenn Sie die Dinge richtig anordnen, werden Sie nur das assoziative Gesetz viermal anwenden müssen.)
b) Zeigen Sie, dass Elemente von, dann gibt es 14 Möglichkeiten zu setzen Klammern in
und dass alle 14 Wege zum gleichen Ergebnis führen. Hier wird jeder vernünftige Art und Weise des Einsetzens Klammern werden drei Paare beinhalten.
2.31Entertainment. Zeigen, dass es 42 Möglichkeiten zu setzen Klammern in
Dies kann ohne tatsächlich aufzuschreiben alle Arten erfolgen (und es gibt nicht viel Sinn, aufzuschreiben alle Möglichkeiten, weil niemand es lesen würde, wenn Sie getan haben). Wenn Sie einen Teil b tun. von der vorherigen Übung in einer Weise, die wirklich zeigte, dass es nur 14 Möglichkeiten, sollten Sie in der Lage sein, dies zu tun, und dann die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen Produkte mit sieben Faktoren klammern. Es gibt eine einfache (aber schwer zu erraten) Formel für die Anzahl der Möglichkeiten, Klammern in Produkten mit Faktoren zu setzen. Sie können die Formel, zusammen mit einer Ableitung, in [44] finden.
2.32Definition (Commutative Betrieb.) Es sei eine binäre Operation auf einem Satz sein. Wir sagen, dass kommutativ ist, wenn
2.33Examples. Sowohl und sind kommutative Operationen auf. Jedoch ist keine kommutative Operation auf, weil.
Die Operationen und sind beide kommutativen Operationen auf der Menge aller Mengen, und und und oder sind kommutative Operationen auf dem Satz von allen Sätzen. Die eingestellte Differenzoperation ist nicht kommutativ auf, da