Beweis durch Erschöpfung aller positiven Potenzen von zwei Enden in 2, 4, 6 oder 8 - Mathematik Stapel
Während über die verschiedenen Formen der mathematischen Beweisen zu lernen, stellte mein Lehrer ein Beispiel Frage geeignet für den Nachweis durch Erschöpfung:
Beweisen, dass alle $ 2 ^ n $ Ende in 2, 4, 6 oder 8 ($ n \ in \ mathbb, n> 0 $)
Ich habe einen Versuch zu beweisen, dies gemacht, aber ich kann nicht den Beweis abzuschließen, ohne Annahmen, die die Strenge der Antwort zu reduzieren.
Alle positiven Potenzen von zwei kann als einer der vier Fälle ($ k \ in \ mathbb, k> 0 $, das gleiche für $ y $) dargestellt werden:
Die Verfahren zum Nachweis der vier oben genannten Fälle waren ähnlich; hier ist die letzte:
Mit Binomialentwicklung,
Alle der Summenterme, wo ein \ neq0 $ end in Null $, da sie ein Vielfaches von $ 10 ^ k $ sind und daher ein Vielfaches von 10. Die Summenterm, wo a $ = $ 0 $ 6 ^ k $ ist, weil $ = 10 ^ 0 = 1 $. Daher endet das Ergebnis der Summation in sechs.
Unter der Annahme, dass alle positiven Potenzen von sechs Enden in sechs und acht von einem beliebigen Anzahl multipliziert in sechs Enden in acht enden, alle Potenzen von zwei der Form 2 $ ^ $ in acht zu beenden.
Dieses Ergebnis ist nicht sehr gut erscheinen, weil die beiden Annahmen ich mache. Kann ich davon ausgehen, sie als wahr, oder muss ich sie explizit beweisen? Wenn ich sie beweisen müssen, wie kann ich das tun?
Hinweis $ \ $ mod $ 10, \: $ der Kräfte von $ \: 2 \: $ repeat in einem Zyklus der Länge $ 4, \: $ mit $ 2 starten, \: $ seit
$$ \ rm = 2 ^ 2 ^ K (1 + 15) = 2 ^ K + 30 \ cdot2 ^ \ equiv \: 2 ^ K \ \ (mod \ 10) \ quad für \ quad K \ ge 1 $$
Jetzt genügt es, durch Induktion zu beweisen, dass, wenn $ \ rm \: f: \ mathbb N \ to \ mathbb N = \\: $ dann
Informell: einmal eine zyklische Wiederholung in einer Schleife beginnt, bleiben alle nachfolgenden Werte in der Schleife.
Gleichermaßen sei angenommen, es sind ganze Zahlen $ \ rm \: a, b, \: $ so dass $ \ rm \: f (n + 2) \ = \: a \: f (n + 1) + b \: f ( n) \: für alle $ \ rm \ $: n \ ge 1 \:. $ zeigen Sie, dass \ $ rm \: f (n) \: $ teilbar durch $ \ rm \: ggT (f (1), f (2)) \: $ für $ \ rm \: n \ ge $ 1.