Wie zu tun Beweis durch Erschöpfung
Beratung für Studenten für das Lernen PROOFS
Proofs sind so konstruiert, durch Definitionen, Sätze und Tatsachen verwendet. Also, um der Lage sein, Beweise zu tun Sie die entsprechenden Definitionen haben müssen, Theoreme und Fakten auswendig gelernt. Wenn ein neues Thema erste Regel eingeführt wird, Beweise verwenden nur Definitionen und grundlegende mathematische Ideen, wie Eigenschaften der Zahlen. Nachdem Sie einige Sätze über ein Thema gelernt haben, können Sie sie auf Beweise mehr Sätze verwenden.
Um zu erfahren, wie Beweise zu tun mehr Aussagen herausgreifen mit einfachen Beweisen, die im Lehrbuch gegeben. Notieren Sie sich die Aussagen nach unten, aber nicht die Beweise. Dann sehen, wenn man sich nachweisen kann. Studenten oft versuchen, eine Aussage zu beweisen, ohne die gesamte Hypothese zu verwenden. Beachten Sie, dass Sie die Hypothese verwenden. Wenn Sie die Anweisung nicht beweisen können, Blick auf der ersten Zeile des Beweises im Text. Das könnte ausreichen, um Sie, um loszulegen. Wenn dies nicht der Fall, dann schauen Sie in der nächsten Zeile und so weiter. Üben Sie die Aussagen beweisen Sie ausgewählt, bis Sie die Beweise tun können, um den Text, ohne hinzusehen. Man Sie haben Ihre ursprüngliche Auswahl holen ein paar neue gemeistert und üben diese. Es gibt eine direkte Beziehung zwischen Ihrem Verständnis des Themas und Ihrer Fähigkeit, Beweise zu tun. Proofs testen Sie Ihr Verständnis. Sie prüfen auch Ihre Kreativität.
WIE MAN ANFÄNGT
Beginnen Sie einen Beweis durch Umschreiben, was Sie gegeben und was Sie in eine bequemere Form zu beweisen, werden gebeten. Oft handelt es sich dabei Wort Symbole Umwandlung und die Definitionen der Begriffe in den Anweisungen verwendet verwendet. Ein Beispiel dafür ist „Beweisen Sie, dass das Produkt von zwei Nicht-Null-reellen Zahlen von null verschieden ist.“ Dieser wandelt in „Wenn a und b von Null verschiedenen reellen Zahlen beweisen, dass ab ≠ 0.“ Beginnen Sie den Beweis mit "Es sei angenommen, dass a ≠ 0 und b ≠ 0. Beweisen Sie, dass ab ≠ 0." (Wir bieten einen Beweis für diese Aussage im Abschnitt über die Widerspruchsbeweis.) Es ist wichtig, durch Umschreiben sowohl die Annahmen und die Schlussfolgerungen zu beginnen, da dies betont, dass die ehemaligen ist, was Sie, mit zu arbeiten und diese ist Ihr Ziel.
Beispiele für Wörter zu Symbole Umwandlung sind:
n eine gerade ganze Zahl umwandelt n = 2t t für einige
n eine ungerade ganze Zahl umwandelt n = 2t + 1 für einige t
n ist eine rationale Zahl umwandelt n = a / b, wobei a und b ganze Zahlen sind,
n ein Teiler von m zu m = nt umwandelt für eine ganze Zahl t
n ist ein Quadrat umwandelt n = t 2 t für eine ganze Zahl.
In einem direkten Beweis werden Sie eine oder mehr Bedingungen gegeben und werden gebeten, zu einem Schluß zu beweisen. Für Beweise in der abstrakten Algebra Sie die gegebenen Bedingungen sowie Axiome, Definitionen und Standard Fakten über reelle Zahlen, komplexe Zahlen, High-School-Algebra und lineare Algebra ohne Ausarbeitung nutzen dürfen. In einem direkten Beweis einer Aussage der A Form B schon sagt, beginnen Sie Ihren Beweis, indem angenommen wird, dass A wahr ist und durchläuft eine Reihe von Schritten mit B. Endung
Als Beispiel betrachten wir die Aussage „Die Summe von zwei rationalen Zahlen ist rational.“ Um dies zu beweisen wir die Definition einer rationalen Zahl verwenden und die Worte, um Ausdrücke zu konvertieren, indem die Anweisung zur Neufassung als „Wenn a, b, c und d ganze Zahlen sind und b ≠ 0 und d ≠ 0 nicht 0 ist, dann a / b + c / d hat die Form m / n, wobei m und n ganze Zahlen sind.“ Um diese Aussage zu beweisen, dass wir beobachten, dass da a / b + c / d = (ad + bc) / bd und ad + bc eine ganze Zahl und bd ≠ 0 der Beweis abgeschlossen ist.
NACHWEIS VON CONTRADICTION
Beweis durch Widerspruch ist eine natürliche Art und Weise zu gehen, wenn negiert den Abschluss Ihnen etwas Konkretes gibt zu manipulieren. Um zu beweisen, die Erklärung Widerspruch „A B impliziert“, beginnt mit der Annahme, dass A wahr und B ist nicht wahr, und das Ende von irgend Widerspruch ankommen (möglicherweise Aussage A im Widerspruch). Zum Beispiel kann eine Aussage wie „Beweisen Sie, dass log2 3 ist irrational“ ist eine offensichtliche Wahl für den Nachweis von Widerspruch, da diese log2 Annahme 3 rational können Sie log2 3 = m / n, wobei m und n ganze Zahlen schreiben. Daraus haben wir 3 = 2 m / n und somit 3 n = 2 m. Da die rechte Seite selbst ist und die linke Seite ungerade haben wir eine grundlegende Tatsache über ganze Zahlen widerlegen. Wenn Sie mit dem Widerspruch argumentieren, beende es nicht mit den Worten „ein Widerspruch.“ Sie müssen angeben, was Sie im Widerspruch zu (in der Regel wird dies die Hypothese, ein Satz oder eine Tatsache sein).
Hier ist ein Beispiel, wo wir die ursprüngliche Annahme widersprechen. Um die Aussage „Die Summe einer rationalen Zahl und eine irrationale Zahl ist irrational“ durch Widerspruch zu beweisen, ließen wir eine rationale Zahl sein und b eine irrationale Zahl und geht davon aus, dass a + b ist rational. Aber dann (a + b) + (-a) = b ist rational. Dies ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass b irrational ist.
AN DEN NACHWEIS "OR" STATEMENT
Wenn Sie gefragt werden, eine „oder“ Anweisung wie zu beweisen „Aussage A oder B Aussage beweisen“, beginnen Sie mit einem von A unter der Annahme oder B ist falsch und verwenden, dass die andere Aussage zu beweisen, wahr ist. Es spielt keine Rolle, welche der Aussagen A oder B Sie davon ausgehen, falsch zu sein. Wenn Sie davon ausgehen, A falsch ist und nicht in der Lage zu beweisen, B wahr ist, dann übernehmen B falsch ist, und versuchen Sie, dass A zu beweisen, wahr ist. Proving eine dieser beiden Möglichkeiten ist ein kompletter Beweis. Es besteht keine Notwendigkeit, beides zu tun.
Eine weitere Möglichkeit, eine „A oder B“ Aussage zu beweisen, ist sowohl Aussage A und B Erklärung anzunehmen, sind falsch und einen Widerspruch zu erhalten. Die Aussage „Wenn a und b von Null verschiedene reelle Zahlen sind, beweisen, dass ab ungleich Null“ ist ein perfekter Kandidat für Widerspruchsbeweis seit der Annahme, dass ab = 0 können Sie die Vorteile einer speziellen Eigenschaft von 0. nehmen Um zu beweisen, ab ≠ 0 wir gehen davon aus, dass a ≠ 0, b ≠ 0 und ab = 0. Da b ≠ 0. wir b wissen -1 existiert. Dann a = a (bb -1) = (ab) b -1 = 0, die die a ≠ 0 die Annahme widerspricht.
Beweis durch Case-Analyse
Ein üblicher Weg, einen direkten Beweis zu konstruieren ist, alle möglichen Fälle zu untersuchen. Betrachten Sie die Aussage „Wenn das Produkt zweier ganzer Zahlen ungerade ist, dann beide ungerade sind.“ Wir beginnen damit, durch Bezeichnen der zwei ganzen Zahlen von m Worte Symbole Umwandlung und n und vier Fälle betrachten
CASE 1 m und n selbst. In diesem Fall können wir m = 2s und n = 2t für einige s und t schreiben. Dann mn = 2s2t = 2 (2ST) und mn ist sogar.
Fall 2: m und n ungerade ist. In diesem Fall können wir m = 2s + 1 und n = 2t 1 für einige s und t schreiben. Dann mn = (2s + 1) (2t + 1) = 4st + 2s + 2t + 1 = 2 (2ST + t + s) + 1 und Mn ist ungerade.
CASE 3. m gerade ist, und n ungerade ist. In diesem Fall können wir m = 2s und n = 2t + 1 für einige s und t schreiben. Dann mn = 2s (2t + 1) = 4st + 2s = 2 (2ST + s) und Mn gerade ist.
CASE 4. m ist ungerade und n gerade ist. Dieser Fall ist der gleiche wie Fall 3, da m und n sind austauschbar.
Zur Vervollständigung des Beweises, den wir beobachten, dass der einzige Fall, der keine selbst hergestellte Ware nicht nachgeben wird, wenn sowohl m und n ungerade ist.
NACHWEIS VON EXPERIMENT
Auch wenn Sie nicht im allgemeinen Aussagen experimentell nachweisen können, kann viele Beweise mit Hilfe von Experimenten durchgeführt werden. Man sieht in der Regel in einfachen Fällen Einblick zu gewinnen und diese Erkenntnis führt zu einem Beweis.
Betrachten Sie die Aussage „Jede ungerade Zahl ist die Summe von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.“ Der Versuch, ein paar kleine Fälle haben wir
3 = 1 + 2
5 = 2 + 3
7 = 3 + 4.
Es scheint, dass ein allgemeines Muster 2n + 1 = n + (n + 1) und in der Tat das gibt uns einen Beweis.
Hier ist ein weiteres Beispiel. Betrachten wir die Aussage „Beweisen, dass jede positive ungerade ganze Zahl ist, die Differenz von zwei Quadraten“. Da die Aussage des Problems sagt uns, dass wir auf Unterschiede von zwei Quadraten aussehen müssen, beginnen wir durch die kleinen Quadrate Auflistung und einige Unterschiede nehmen, um zu sehen, ob wir ein Muster erkennen kann. Die ersten sechs Plätze sind:
0 2 = 0
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25.
Unter Differenzen von aufeinanderfolgenden Quadrate haben wir:
1 2-0 2 = 1
2. Februar - 1. Februar = 3
3. Februar-2. Februar = 5
4. Februar - 3. Februar = 7
5. Februar-4. Februar = 9.
Obwohl, dass es scheint, dass durch die Differenz von aufeinanderfolgenden Plätzen nehmen wir jede ungerade positive ganze Zahl erhalten wir noch beweisen muss, dass dies der Fall ist. daß Beobachten (n + 1) 2 - n 2 =
n 2 + 2n + 1 - n 2 = 2n + 1 ist der gesamte Beweis. Darüber hinaus ist dieser Beweis für alle ungeraden Zahlen gültig, nicht nur die positiven Chancen.
Wenn und nur wenn PROOFS
Beim Versuch, eine zu beweisen „wenn und nur wenn“ statement es höchst keine Verwendung empfohlen wird „wenn und nur wenn“ Argument. Sie sind schwierig für Anfänger richtig zu bekommen. Stattdessen, wenn Sie, dass A werden gebeten, zu beweisen, ist wahr, wenn und nur wenn B wahr ist, erstens, dass A annehmen wahr ist und diese Annahme verwenden zu beweisen, B wahr ist. Dann beginnt überall durch, dass B unter der Annahme stimmt, und verwendet zu beweisen A wahr ist. Dieser Ansatz erfordert zwei unabhängige Beweise.
PROVING ZWEI SETS SIND GLEICH
Jedes Mal, wenn Sie gefragt werden, eine Menge A zu beweisen, zu einem Satz B gleich ist, geht durch die Annahme, ein Element x zu A gehört und die definierende Eigenschaft von A verwenden zu zeigen, dass x B. gehört dann ein Element x annehmen, gehört zu B und Verwendung die definierende Eigenschaft von B, daß x zu beweisen, gehört zu A.
Hier ist ein Beispiel. Um zu beweisen, dass (n + 1) 2 - n 2 | wobei n eine ganze Zahl> die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen ist, lassen wir (n + 1) 2 - n 2 jedes Mitglied der linken Seite. Da (n + 1) 2 n 2 = n 2 + 2n + 1 - n 2 = 2n + 1 haben wir gezeigt, dass (n + 1) 2 n 2 ist ein Mitglied der rechten Seite. Nun lassen Sie k jedes Mitglied der rechten Seite. Da k ungerade ist, kann es in der Form 2n + 1 für eine ganze Zahl n, und da 2n + 1 = (n + 1) 2 -n 2 haben wir, dass K ein Element ist, von der linken Seite gezeigt, geschrieben werden.
Obwohl „proof Beispiel vorangehen“ nicht legitim ist, können Sie Aussagen über ein einziges Beispiel zu widerlegen. Betrachten Sie die Aussage „Die Summe von zwei irrationalen Zahlen ist irrational.“ Um diese Aussage zu widerlegen wir einfach beobachten √2 und -√2 sind irrational, aber √2 + -√2 = 0 ist rational.
Um ein Objekt zu beweisen, ist einzigartig davon aus, dass a und b sind zwei Objekte mit der gewünschten Eigenschaft und zeigen diese Eigenschaft zusammen mit anderen bekannten Informationen zu zeigen, dass a = b. Zur Veranschaulichung betrachte man die Aussage „Für jede reelle Zahl r die Gleichung x 3 = r eine eindeutige reelle Zahl Lösung.“ Um zu beweisen, diese Aussage, dass a und b annimmt, sind beide Lösungen von x 3 = r und verwenden Algebra und Eigenschaften von reellen Zahlen, dass a = b zu beweisen.
Nachdem Sie einen Beweis abgeschlossen haben, zurückblicken, um zu sehen, ob Sie die Voraussetzungen alle verwendet. Auch sicher sein, dass Sie Gründe für die einzelnen Schritte zur Verfügung gestellt haben.
Seien Sie vorsichtig mit Negationen. Die Negation „für alle“ ist, „mindestens ein“ ist und umgekehrt. Zum Beispiel ist die Negation der Aussage „Für jede reelle Zahl x, x 2> 0“ „Es gibt mindestens eine reelle Zahl x, für die 2 x ≤ 0.“ Umgekehrt „Es existiert mindestens eine reelle Zahl x, für welche 2 x ≤ 0“ die Negation ist „Für jede reelle Zahl x, x 2> 0.“ Diese sind leicht mit dem Gedanken, eine Erklärung zu erinnern, wie „jeder die Prüfung bestanden.“ Die Negation ist „Mindestens eine Person, die die Prüfung nicht bestanden.“ Die Negation „Mindestens eine Person konnte die Prüfung“ ist „Jeder die Prüfung bestanden.“
Ein FUNCTION PROVING wird auf
Proving eine Funktion „auf“ führt zu Verwirrung bei vielen Studenten. Wenn Sie, dass einige Funktion f von A nach B beweisen möchte, ist auf, lassen Sie b ein beliebiges Element von B. bezeichnen Sie müssen einige x in A, so dass f (x) = b (b denken als gegeben und x als unbekannt ). Um dies zu tun ersetzen f (x) durch die tatsächliche Formel für f (x) und dann für x in Bezug auf b lösen. Sie müssen überprüfen, um zu sehen, ob die Lösung, die Sie ist in der Serie A erhalten Hier ist ein Beispiel. Sagen Sie gefragt wird, dass f (x) = x 2 von den positiven reellen Zahlen zu den positiven reellen Zahlen zu beweisen, auf. Wir lassen b eine positive real sein. Dann müssen wir die Gleichung x 2 = b für x lösen. Feststellung, dass x = √ b eine positive reelle Lösung ist, beweist, dass f auf ist. Im Gegensatz dazu, wenn wir die gleiche Funktion von dem positiven rationals zu den positiven rationals haben, ist die Funktion auf nicht, da es keine rationale Lösung der Gleichung x 2 = 2.