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In Kalkül untersuchen wir über Funktionen. Eine Funktion ist eine gut definierte Beziehung, die einige feste Ausgangswerte entsprechend einige Eingangswerte aufweist. Der Eingabewert wird in einem Diagramm als Punkt ausgedrückt. Die Differenz zwischen zwei Eingangswerten ist in der Regel berechnet werden benötigt. Diese Differenz wird durch $ \ delta $ (Delta) bezeichnet. Es wird als die Differenz in der Funktion Ergebnis von zwei Werten bekannt. Diese Differenz wird als Differenzenquotient bezeichnet. Der Unterschied Quotient wird in der Ableitung verwendet wird. Teilungsfunktion Differenz aus der Differenz des Punktes wird als Differenzenquotient genannt. Es ist anders als Newtons Quotient bekannt. In Zahlen ausgedrückt, können wir zwei Arten von Unterschieden verwenden, ist ein gleich Unterschied und der andere ist ungleich Unterschied.
Die Fähigkeit zum Einrichten und Differenzquotienten zu vereinfachen ist eine notwendige Hilfe für Kalkül Studenten. Differenzenquotient ist nützlich in den allgemeinen Formeln von Derivaten in Calculus zu finden. Es ist wichtig für Kalkül. Es hat seinen Namen, weil beteiligt Operationen Subtraktion und Division sind.
Nehmen wir an, dass es ein Eingabewert x ist und eine andere ist x + h, wird die Differenz Quotient von $ \ delta $ h bezeichnet. Differenzenquotient hat seine eigene Bedeutung in der Analysis und anderen Zweigen der Mathematik. Die Formel des Differenzenquotienten ergibt die Steigung der Sekante an einem bestimmten Punkt in der gegebenen Funktion herausgezogen. Auf dieser Seite werden wir mehr im Detail über Differenzenquotienten, seine Formel und ihre verschiedene Anwendungen erfahren.
Differenzenquotient Definition
Der Differenzenquotient ist die Steigung der Tangente an einem Punkt auf der Kurve einer bestimmten Funktion.
Es sei X und Y die zwei verschiedenen Punkte auf dem Graphen der Funktion f sein. Eine Linie, die durch die beiden Punkte X (x, f (x)) und Y ((x + h), f (x + h)), die folgende Formel zu finden ist Differenzenquotient
Dies ist aus dem Differenzenquotienten, dass die Grundformeln für Derivate entwickelt werden.
X und Y sind Punkte auf dem Graphen von f. Eine Linie, den ganzen Weg durch die beiden Punkte verläuft X (x, f (x)) und Y (x + h, f (x + h)) ist eine Sekante genannt.
Geometrische Interpretation des Differenzenquotienten:
Physikalische Interpretation von Differenzenquotienten:
Die durchschnittliche Rate der Änderung im Zusammenhang mit der Bewegung bezieht sich auf die durchschnittliche Geschwindigkeit eines sich bewegenden Partikels.
Sei f (t), um die Position eines sich bewegenden Partikels in der Zeit ‚t‘ darstellt. Wenn T1 und T2 zwei Instanzen der Zeit sind, werden die entsprechenden Positionen der Partikel durch f (t1) und f (t2) gegeben. Daher wird die Differenz f (t2) - f (t1) stellt die Verschiebung des Teilchens in dem Intervall t2 - t1. Somit frac der Differenzenquotient \ $) - f (t _)> - t _> $ stellt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Teilchens in dem Intervall t2 - t1.
Wir wissen, dass die Steigung der Linie, die durch zwei Punkte (x, f (x)) und (x + h, f (x + h)) m = $ \ frac ist - y_> - x _> $
Finden Sie den Differenzenquotient
Differenzenquotient gehört zu den wichtigen Formeln der Analysis. Dies führt zu den Leitgedanke von Derivaten in Differentialrechnung. Es sei y eine Variable sein, die auf eine andere Variable x abhängt. Wir schreiben y als Funktion von x als y f (x) =. Lassen Sie den Wert von x Wechsel von x1 bis x2. dann die Änderung in x, $ $ \ Delta x = x2 - x1 wird das Schrittweite in x genannt. Die entsprechenden Änderungen in y y1 = f (x1) und y2 = f (x2), und das Inkrement & Delta; y in y = y2 - y1.
Der Differenzenquotient vergleicht die Änderung oder Inkrement y in der Änderung oder Zunahme in X.
Formel für Differenzenquotienten
Dies wird alternativ als Differenz Quotienten f bei x0 mit increment ‚h‘ definiert und geschrieben, wie$ \ Frac + h) - f (x _)> $
Diese Formel kann in verschiedenen Quotienten Löser-Programme verwendet werden, wobei f (x). X0 und h als Eingänge.
Differenzenquotient kann somit als die durchschnittliche Rate der Veränderung einer Funktion über das Intervall (X1. X2) oder über das Intervall der Länge ‚h‘ interpretiert werden.
Fermats Formel für Differenzenquotienten für einen allgemeinen Punkt ist $ \ frac $Schritte zum Auffinden des Differenzenquotienten einer Funktion:
- Zunächst identifiziert den Wert der Funktion bei x.
- Stecken Sie in x = x + h in der Funktion f (x + h) zu erhalten
- Finden Sie das Ergebnis der Subtraktion von f (x + h) - f (x)
- Teilen Sie das Subtraktionsergebnis durch h
Das Finden der Tangente an die Kurve y = f (x) bei (x0. Y0) Differenzenquotient Verwendung
Die Tatsache, dass die Steigung der Tangenten ist die Grenze des Differenzenquotienten schlägt ein Verfahren unter Verwendung die Tangentiallinie Differenzenquotienten Formel zu finden.
- Berechnen f (x0) und f (x0 + h)
- Berechnen des Differenzenquotienten.
- Berechnen der Neigung unter Verwendung der Formel, m = $ \ lim_ $ $ \ $ frac
- Wenn der Grenzwert existiert die Tangente mit der Steigung Punkt Formel finden. Wenn die Grenze der Tangente nicht vorhanden ist, durch die vertikale Linie x = x0 gegeben.
gelöst Beispiel
Frage: Finden Sie den Differenzenquotienten auf die Funktion $ f (x) = x ^ bei $ $ x = $ 2. Mit Hilfe der Grenze des Differenzenquotienten, finden Sie die Steigung der Tangente bei $ x = $ 2.
Lösung:
Frage 4: Der Unterschied Quotienten wenn $ f (x) = 3x ^ - 2x + 1 $ und x_1 $ = $ 1, $ x_2 = 1,1 $
Lösung:
Anstecken der angegebenen Werte für $ x_1 $ und $ x_2 $ in der Gleichung, erhalten wir
$ F (x_1) = $ 2 und $ f (x_2) = 2,43 $ und $ x_2 - x_1 = 0,1 $
Daher ist die Differenz Quotient = $ \ frac) - f (t _)> - t _> $ = $ \ frac $ = $ 4.3 $
Symmetrische Differenzenquotient
Die symmetrische Differenzenquotient Formel liefert eine bessere Annäherung an die Ableitung der Funktion als die Differenzenquotienten. Der linke Hand Differenzenquotient einer Funktion $ \ frac $, wo der Bewegungspunkt Q links von dem festen Punkt liegt P. Wenn der Punkt Q P von rechts der rechte Differenz nähert sich Quotient durch den regulären Ausdruck $ \ frac gegeben $.Der symmetrische Differenzenquotient ist die durchschnittliche Geschwindigkeit der Änderung der Funktion in dem Intervall (x - h x + h). Es ist auch bekannt als der zentrierte Differenzenquotient um x. Symmetrische Differenzenquotient um x = $ \ frac $
Es kann überprüft werden. Die symmetrische Differenzenquotient ist der Mittelwert des rechten und des linken Differenzquotienten. Symmetrische Differenzenquotient wird auch als Zent Differenzenquotient bekannt als das Inkrement auf beiden Seiten des Punktes zugelassen wird berücksichtigt, und der Mittelwert genommen wird. Der symmetrische Differenzenquotient ergibt eine bessere Approximation von f‘(x), wenn sie von Fermat Formel verglichen.
Sei f (x) = x 2. Nehmen wir x = 2, um die Differenzquotienten berechnet und für h = 0,01 unter Verwendung von Fermat-Formel und symmetrische Differenzformel.
Differenzenquotient Fermat-Formel ist Frac $ \ - 2 ^)> $ = 4,01
Differenzenquotient symmetrische Differenz Formel ist $ \ frac - 1.99 ^)> $ = 4
Mit der Differenzierung, wir f überprüfen können‘(2) = 4.
Differenzenquotient einer Funktion
Der Unterschied Quotient einer Funktion f an jedem Punkt auf der Kurve wird von $ \ frac $ gegeben. Manchmal können wir Dx für die Änderung in x und Dy für die Änderung in y verwenden, dann haben wir $ \ Dreieck x = h $ und $ \ Dreieck y = f (x + \ Dreieck x) - f (x) $. Daher wird der Unterschied Quotient einer Funktion f $ \ frac $.gelöst Beispiel
Frage: Finden Sie heraus, den Unterschied Quotienten aus der Funktion $ f (x) = 3x ^ + x - 1 $
Lösung:
Grenze des Differenzenquotienten
Daher ist die Ableitung der Grenzwert des Differenzenquotienten. Mit anderen Worten, = die Ableitung der Funktion bei x x0 gegeben ist,f‘(x0) = $ \ lim_ $ $ \ frac + h) - f (x _)> $.
Somit bildet der Differenzenquotient die Grundlage für die Definition des Derivats, das das zentrale Thema der Differentialrechnung ist.
Während der Differenzenquotient die durchschnittliche Veränderungsrate einer Funktion berechnet, gibt die Ableitung die momentane Geschwindigkeit an einem Punkt der Veränderung, wie wir bereits bei der Diskussion der Steigungen der Sekanten und Tangenten sahen. In der gleichen Weise, mit Bezug auf die Position-Funktion, während die Differenzenquotient auf die Durchschnittsgeschwindigkeit der sich bewegenden Partikel in einem gegebenen Zeitintervall bezieht, bezieht sich das Derivat auf die momentane Geschwindigkeit des Teilchens zu einer gegebenen Zeit ‚t‘$ V (t) = f‘(t) $ = $ \ lim_ $ $ \ frac $
Da die Ableitung definiert ist, die Grenze des Differenzenquotienten sein, spielt der Differenzenquotient Formel eine wichtige Regel die Ableitung einer Funktion unter Verwendung von ersten Prinzipien zu finden.