Differenzierung (Finding Derivate)
Differenzierung ist über die Veränderungsraten einer Menge im Vergleich zu einem anderen zu finden. Wir brauchen Differenzierung, wenn die Änderungsrate nicht konstant ist.
Was bedeutet das?
Constant Rate of Change
Nehmen wir ein Beispiel eines Autos nehmen bei konstant 60 km / h. Das Weg-Zeit-Diagramm würde wie folgt aussehen:
Wir bemerken, dass der Abstand von dem Ausgangspunkt steigt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 km pro Stunde, so nach 5 Stunden wir 300 km zurückgelegt haben. Wir bemerken, dass die Steigung (Gradient) immer 300/5 = 60 für das gesamte Graphen. Es gibt eine konstante Rate der Änderung des Abstands im Vergleich zu der Zeit. Die Steigung positiv ist den ganzen Weg (der Graph nach oben geht, wie Sie entlang des Graphen nach rechts nach links.)
Lesen Sie weiter unten # 8681;
Rate of Change, die nicht konstant ist
Lassen Sie uns nun einen Ball gerade nach oben in die Luft werfen. Da die Schwerkraft auf die Kugel wirkt es verlangsamt, dann kehrt er die Richtung und beginnt zu fallen. Die ganze Zeit während dieser Bewegung die Geschwindigkeit ändert. Es geht von positiv (wenn der Ball geht nach oben), verlangsamt sich auf Null, wird dann negativ (wie der Ball nach unten kommt). Während der „up“ -Phase hat der Ball negative Beschleunigung und wie es fällt, ist die Beschleunigung positiv.
Nun schauen wir uns die grafische Darstellung der Höhe betrachten (in Metern) gegen die Zeit (in Sekunden).
Beachten Sie diese Zeit, dass die Steigung des Graphen wird während der Bewegung zu ändern. Am Anfang hat es eine steile positive Steigung (die die große Geschwindigkeit wir es geben, wenn wir sie werfen). Dann wird, wie es verlangsamt, wird die Steigung immer weniger, bis er zu 0 wird (wenn der Ball am höchsten Punkt ist, und die Geschwindigkeit ist Null). Dann beginnt die Kugel zu fallen, und die Steigung negativ wird (in der negativen Geschwindigkeit entspricht) und die Steigung steiler wird (wenn die Geschwindigkeit steigt in der negativen Richtung).
Die Steigung einer Kurve an einem Punkt sagt uns die Rate der Änderung der Menge an diesem Punkt.
Wichtige Concept - Annäherungen des Slope
Nun lassen Sie uns Zoom auf dem Abschnitt des Graphen in der Nähe von t = 1 (wobei ich das Rechteck in dem Diagramm oben haben). Wir schauen auf die Bit zwischen t = 0,9 s und t = 1,1 s. Es sieht aus wie das:
Beobachten Sie die Grafik sehen wir, dass es durch (0,9, 36,2) und (1,1, 42). So ist die Steigung der Tangente bei t = 1 etwa:
Die Geräte sind m / s, da dies eine Geschwindigkeit ist. Wir haben die Änderungsrate durch einen Blick auf den Hang gefunden.
Klar, wenn wir näher heran waren, unsere Kurve würde sich noch gerade und wir konnten eine noch bessere Näherung für die Steigung der Kurve bekommen.
Diese Idee der „Zoom-in“ auf dem Graphen und immer näher eine bessere Annäherung für die Neigung der Kurve zu erhalten (also uns die Veränderungsrate gibt) war der Durchbruch, der zur Entwicklung der Differenzierung geführt.
Entwicklung der Differentialrechnung
Bis zum Zeitpunkt der Newton und Leibniz, gab es keine zuverlässige Möglichkeit, diese sich ständig ändernden Geschwindigkeit zu beschreiben oder vorherzusagen. Es war ein echtes Bedürfnis zu verstehen, wie ständig wechselnde Mengen analysiert und vorhergesagt werden können. Deshalb sind sie Differentialrechnung entwickelt. was wir über in den nächsten Kapiteln lernen.
Gründer von Calculus
Warum Studie Differenzierung?
Es gibt viele Anwendungen von Differenzierung in Wissenschaft und Technik. Sie können einige davon in Anwendungen der Differenzierung sehen.
Differenzierung ist auch bei der Analyse von Finanz- und Wirtschafts verwendet.
Eine wichtige Anwendung der Differenzierung ist im Bereich der Optimierung. das heißt, die Bedingung für ein Maximum zu finden (oder Minimum) auftreten. Dies ist wichtig im Geschäft (Kostensenkung, Gewinnsteigerung) und Engineering (maximale Festigkeit, minimal Kosten.)
Optimierung Beispiel
Eine Schachtel mit quadratischem Grundfläche ist nach oben hin offen. Wenn 64 cm 2 von Material verwendet wird, was ist die maximale Lautstärke möglich, dass die Box?
Wir werden auf dieses Problem später zurückkehren und sehen, wie es Differenzierungs Kapitel in den Anwendungen zu tun.
Der Ansatz verwenden wir
Der Ansatz, den wir hier folgen, ist das gleiche wie die historisch entdeckt:
Der Rest des Kapitels wird erläutert, wie Derivate von komplexen Ausdrücke zu finden.
Siehe auch die Einführung in Calculus. wo es eine kurze Geschichte der Infinitesimalrechnung.
Wir beginnen mit einem gewissen Hintergrund, wie und warum Differenzierung Werken, in: