Eine praktische Verwendung Für Logarithmen, Teil 2 Wie wir Multipliziert große Zahlen vor 40 Jahren, und wie

(Klicken Sie hier für Teil 1)

Ein gemeinsames Argument für den Einsatz von Technologie ist, dass es Studenten zu tun, langweilig, langweilig Berechnungen befreit, und sie können Aufmerksamkeit auf weitere interessanten und anregenden konzeptionellen Fragen. Das ist falsch. „Langweilig“ Berechnungen Mastering häufig geht Hand in Hand mit einer tiefen Verbindung mit wichtigen mathematischen Ideen. Und das ist es, was die Mathematik geht, ist es nicht?

Der Wunsch, frei Studenten aus langweiligen technischen Fragen ist eine falsche Dichotomie: Mastering-Technik und tief konzeptionelles Verständnis Hand in Hand gehen, und es gibt absolut keinen Grund, warum man nicht auf beide im Tandem arbeiten kann. Dies ist, was Musikstudenten tun: Um zu lernen, ein Musikinstrument zu spielen, muss man eine gewisse Zeit jeden Tag jeden Tag auf Theorie und Technik, und eine bestimmte Menge an Zeit damit verbringen, Musikstücke zu üben, die Entwicklung von Musikalität, und so weiter. eine Abkürzung zu nehmen versuchen, indem sie nicht Waage jeden Tag tun, ist für einen Musikstudenten tödlich; kann nicht sehen wir, dass die gleiche Art von Kurzschnitt für eine Mathematikstudent tödlich ist, auch?

Also nehmen Sie sich zurück, zurück, zurück, ... zurück zu einer Zeit, als wenig mich und meine kleine Mitschülern keine Hand Rechner hatte. Lassen Sie mich Ihnen die Technik zeigen wir große Zahlen multiplizieren gelernt, und dann werden wir eine Verbindung mit der höheren Mathematik machen.

Die Technik hängt von einer Eigenschaft von Logarithmen:

Das Lesen aus der Tabelle für die Zahlen der Nähe von A:

Wenn wir nun linear zwischen diesen beiden Figuren interpoliert, um eine höhere Genauigkeit, so erhalten wir die Angleichung

Das Lesen aus der Tabelle für die Zahlen der Nähe von B:

Wenn wir nun linear zwischen diesen beiden Figuren interpoliert, um eine höhere Genauigkeit, so erhalten wir die Angleichung

Als nächstes benutzen wir die Eigenschaft der genannten Logarithmen früher den Logarithmus von AB zu schätzen:

Das Hinzufügen von Logarithmen ist sehr einfach. und dies ist der Punkt des Verfahrens. Wir haben ein relativ kompliziertes Problem (Multiplikation zweier Zahlen, die viele Ziffern haben) aufgenommen und konvertiert es zu einem viel leichter Problem (das Hinzufügen von zwei Zahlen, die viele Ziffern haben). Jetzt müssen wir das Ergebnis wieder in den Bereich des Ausgangsproblems umwandeln.

Als nächstes wandeln wir exponentielle Form:

Mit Hilfe einer Tabelle von „anti-Logarithmen“, wie sie zurückgerufen wurden dann (das heißt eine Tabelle der Potenzen von 10) lesen wir, dass:

Interpolations-wieder, erhalten wir die Näherung

Mit einem Hand-Rechner, ist das Ergebnis

so dass die Annäherung Logarithmen mit korrekt auf vier signifikante Zahlen.

Der einzige Weg, zu schätzen weiß wirklich, wie viel Arbeit Logarithmen gespeichert wird, ist eigentlich A und B mit der Hand zu multiplizieren.

Neben dem Wert in eine kleine Reise in der Vergangenheit nehmen (die für Studenten immer nützlich, sie darüber zu informieren, wie die Dinge in der Vergangenheit getan hat), gibt es eine allgemeine Lehre, die man aus diesen kleinen Berechnungsverfahren erfolgen kann.

IDEA: Wenn Sie Schwierigkeiten haben, eine Mathematik Problem zu lösen, zu sehen, ob es möglich ist, das Problem in einen anderen Bereich zu übertragen, wo es leichter ist, ein ähnliches Problem zu lösen, und dann überträgt das Ergebnis wieder in den Ausgang Bereich um die Lösung zu erhalten auf das ursprüngliche Problem.

Dies ist eine wertvolle Problemlösungsidee. Ein weiteres Beispiel dieser Idee ist die Verwendung von Laplace-Transformation in bestimmten Differentialgleichungen zu lösen. Die Idee ist es, eine Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung zu konvertieren, lösen die algebraische Gleichung (was einfacher ist als die Differentialgleichung direkt der Lösung) und dann eine inverse Transformation verwenden, um die resultierenden algebraischen Ausdrucks zurück in den Bereich des ursprünglichen Problems zu konvertieren.

Pädagogisch, ist es sehr nützlich, um den Logarithmus Beispiel für diesen Beitrag in der Gesäßtasche haben, bevor Sie Laplace begegnen verwandelt; Sobald Sie merken, dass sie beiden Instanzen derselben Grundidee sind, hilft es Ihnen, das große Bild zu verstehen, in der Laplace-Transformation ist geschrieben, und es hilft Ihnen, den Dreh der Laplace zu bekommen Verfahren zu transformieren.

Man trifft auch die gleiche Idee in einer Technik für störende reale uneigentliche Integrale zu lösen: Ein wechselt in dem komplexen Bereich, wertet ein verwandtes Kontur Integral der Techniken der komplexen Analyse. schaltet dann auf die durchgezogene Linie die realen Integral auszuwerten zurück.

Zurück zur Technik in diesem Beitrag beschrieben. Die gleiche Idee kann auch Zahlen verwendet werden, mit vielen Ziffern zu teilen, und eine Reihe an einem anderen Nummer zu erhöhen; verwendet man nur die entsprechenden Eigenschaften von Logarithmen. Versuchen Sie selbst und sehen, wenn Sie diese Arbeit machen kann!

Danke für die netten Worte!

Alle besten Wünsche!

Sehr informativ Post Professor, vielleicht ein Einblick in Ihre Kindheit für us.I erarbeitet ein paar Probleme des Protokoll und anti-Protokolltabellen (nie gehört), und ich stimme mit Ihnen auf langwierige Berechnungen machen die Kraft der Logarithmen zu schätzen wissen. ich habe in diesem Sommer einen Kurs in der linearen Algebra und ich fand Vervielfachungs Matrizen mit einer Länge von 5 x 5 oder 7 x 7 die jordan kanonischen Form zu umständlich zu finden und stellte mir die Frage, ob ich diese wieder verwenden werden, aber es hat meine sicherlich verbessert Aufwertung von Ahorn / matlab.Is dort etwas interessantes aus Ihrer Kindheit mit, die Matrizen, die wir heute nicht verwendet beinhaltet?

Gute Frage, Mathew. Ich habe nicht über Matrizen bis zu meinem letzten Jahr in der High School lernen, und ich kann alle Themen nicht erinnern, dann gelernt, die heute nicht mehr gelernt werden.

Ich denke, man etwas über Logarithmen und eine lineare Interpolation in dem Prozess lernen.

Conrad Wolfram hat noch eine zweite Aufnahme auf dem Computer zu Lehre Mathe passen:

Egal, danke für diese Illustration. Dieses praktische Beispiel der Logarithmen ging ein langer Weg, mein Verständnis bei der Förderung.

Gut, dass Sie die Post, Matt!

Ich bin auch froh, das Wolfram Vortrag gesehen zu haben, was interessant ist, auch wenn ich in einigen Aspekten mit ihm nicht einverstanden ist. Danke für den Link.

Beeindruckend! Ich wünschte, ich auf diesem Blog gestolpert war, während ich in der Schule dong Laplace Transformationen war. Wirklich gut erklärt und informativ!

Grüße aus Finnland!

Guter Eintrag! Vielen Dank für die Zeit nehmen, diese zu schreiben. Das erste, was ich dachte, war, wie ähnlich diese Idee war es, die integrale Techniken zu verwandeln, so ist es toll Sie sie nennen, um zu sehen.

Große Post, Prof. Dank!

Ich die Log-Tabelle auch für 2 Jahre in der High School verwendet (1971), dann in under Jahren ‚Erweitert‘ auf ‚Rechenschieber‘, von der Zeit, die ich als Ingenieur absolvierte, schalteten die jüngeren Schüler von 1980 bis Taschenrechner ...

P. S. Spotted kleine Tippfehler bei der Anti-log
Abschnitt, sollte 10 sein ^ 0,12 und 10 ^ 0.13
Sie tippte 0,012 und 0,013.

Vielen Dank auch für den Hinweis auf, dass es ein Druckfehler ist; Ich habe doppelt geprüft und die Fehler erscheint eine Anzeige früher als die, die Sie erwähnt; Ich sollte 10 ^ 0,01261 ​​anstelle von 10 ^ 0,1261 eingegeben haben. Ich habe diese Korrektur jetzt gemacht.