Eine sanfte Einführung in Ler Calculus BetterExplained
Ich habe eine Liebe / Hass-Beziehung mit Kalkül: es die Schönheit der Mathematik und die Qual der mathematischen Bildung demonstriert.
Calculus betrifft Themen in einer eleganten, kniffligen Weise. Meine engsten Analogie ist Darwins Theorie der Evolution: einmal verstanden, starten Sie die Natur in Bezug auf das Überleben zu sehen. Sie verstehen, warum Medikamente resistente Keime (survival of the fittest) führen. Sie wissen, warum Zucker und Fett süß schmecken (Verbrauch von kalorienreichen Lebensmitteln in Zeiten der Knappheit fördern). Es passt alles zusammen.
Calculus ist ähnlich aufschlussreich. Nicht diese Formeln scheinen in irgendeiner Weise zu tun?
Sie sind. Aber die meisten von uns diese Formeln unabhängig voneinander lernen. Calculus läßt uns beginnen mit „Umfang = 2 * pi * r“ und herauszufinden, die andere aus - die Griechen hätten dies sehr geschätzt.
Leider kann Kalkül verkörpern, was mit mathematischer Bildung falsch ist. Die meisten Lektionen verfügen über erfundene Beispiele, obskur Beweise und Auswendiglernen, dass Körper unsere Intuition Slam - Begeisterung.
Es sollte wirklich nicht so sein.
Mathe, Kunst und Ideen
Ich habe etwas von der Schule gelernt: Mathe ist nicht der schwierige Teil der Mathematik; Motivation ist. Insbesondere bleiben ermutigt trotz
- Lehrer, sich auf dem Verlag / umkommen als Lehre
- Sich selbst erfüllende Prophezeiungen, dass Mathematik ist schwierig, langweilig, unpopulär oder „Ihr Thema nicht“
- Lehrbücher und Lehrpläne mehr mit Gewinnen und Testergebnisse als Einsicht
„... wenn ich der Zerstörung eines Kindes natürliche Neugier und Liebe Muster-machen, einen Mechanismus für den ausdrücklichen Zweck zu entwerfen hatte, konnte ich vielleicht nicht so gut, einen Job tun, wie sie derzeit getan wird - ich würde einfach nicht die Phantasie mit der Art von sinnlose, Seele-Brech-Ideen zu entwickeln, die zeitgenössischen Mathematikunterricht bilden.“
Die Poesie ist ähnlich. Stellen Sie sich vor dem Studium dieses Zitat (Formel):
„Dies vor allem eines: zu dir selbst wahr sein, und es muss folgen, wie die Nacht des Tag, kann ich dann nicht falsch sein gegen irgendwen.“ -William Shakespeare, Hamlet
Es ist eine elegante Art und Weise „sein, sich“ zu sagen (und wenn das bedeutet, respektlos über Mathematik schreiben, soll es so sein). Aber wenn diese Mathematik Klasse sind, würden wir die Silben werden zu zählen, die jambischen Pentameter zu analysieren und das Thema abbildet, Verb und Objekt.
Mathematik und Poesie sind die Finger auf den Mond zeigt. Sie nicht mit dem Finger auf den Mond verwirren. Formeln sind ein Mittel zum Zweck. ein Weg, um eine mathematische Wahrheit auszudrücken.
Wir haben vergessen, dass Mathematik über Ideen, nicht robotically die Formeln zu manipulieren, die sie auszudrücken.
Ok bub, was ist Ihre große Idee?
Stattdessen wollen sie den Kern Einsichten Kalkül teilen. Die Gleichungen sind nicht genug - ich will die „aha!“ Momente, die alles Klick machen.
Formal mathematische Sprache ist eine nur eine Möglichkeit, zu kommunizieren. Grafiken, Animationen und einfach nur Talkin’ können oft mehr Einsicht als eine volle Beweis Seite zur Verfügung stellen.
Aber Kalkül ist hart!
Ich denke, dass jemand die Kernideen der Infinitesimalrechnung zu schätzen wissen. Wir brauchen keine Schriftsteller zu sein, Shakespeare zu genießen.
Es ist in Ihrer Reichweite, wenn Sie Algebra und haben ein allgemeines Interesse an Mathematik kennen. Vor nicht langer Zeit, Lesen und Schreiben waren die Arbeit von ausgebildeten Schreiber. Doch heute, die durch eine 10-jährige behandelt werden. Warum?
Da wir erwarten, dass es. Die Erwartungen spielen eine große Rolle in dem, was möglich ist. So erwartet, dass Kalkül nur ein anderes Thema ist. Manche Menschen bekommen in die winzigsten (die Autoren / Mathematiker). Aber der Rest von uns kann immer noch bewundern, was passiert, und unser Gehirn auf dem Weg zu erweitern.
Es geht darum, wie weit Sie gehen wollen. Ich würde gerne für alle die grundlegenden Konzepte des Analysis zu verstehen und sagen: „whoa“.
Also, was ist über Kalkül?
Einige definieren Kalkül als „der Zweig der Mathematik, die mit Grenzen und der Differenzierung und Integration von Funktionen von einem oder mehreren Variablen beschäftigt“. Es ist richtig, aber nicht hilfreich für Anfänger.
Hier ist mein nehmen: Calculus tut Algebra, welche Algebra Arithmetik tat.
Arithmetik ist über die Manipulation Zahlen (Addition, Multiplikation, etc.).
Algebra findet Muster zwischen den Zahlen. a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ist eine bekannte Beziehung, die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks beschreiben. Algebra ganze Sätze von Zahlen findet - wenn Sie a und b kennen, können Sie c finden.
Calculus findet Muster zwischen den Gleichungen. man kann sehen, wie man Gleichung (Umfang = 2 * pi * R) bezieht sich auf ein ähnliches (Fläche = pi * r ^ 2).
Mit Kalkül, können wir alle möglichen Fragen stellen:
- Wie wächst eine Gleichung und schrumpfen? Akkumuliert im Laufe der Zeit?
- Wann gibt es den höchsten / niedrigsten Punkt erreichen?
- Wie verwenden wir Variablen, die sich ständig verändern? (Wärme, Bewegung, Populationen, ...).
- Und vieles, vieles mehr!
Algebra - Kalkül ist ein Problemlösungs Duo: Kalkül neue Gleichungen findet, und Algebra löst sie. Wie Evolution erweitert Kalkül Ihr Verständnis, wie die Natur funktioniert.
Ein Beispiel, bitte
Lassen Sie uns die zu Fuß gehen. Angenommen, wir kennen die Gleichung für Umfang (2 * pi * r) und wollen Bereich. Was ist zu tun?
Erkennen, dass eine ausgefüllte in Scheibe wie eine Reihe von russischen Puppen ist.
Hier sind zwei Möglichkeiten, um eine Scheibe zu ziehen:
Die Menge des „Raumes“ (Fläche) soll gleich in jedem Fall sein, nicht wahr? Und wie viel Platz verwenden ein Ring?
Nun, der allergrößten Ring hat Radius „r“ und einen Umfang 2 * pi * r. Da die Ringe kleiner werden ihr Umfang schrumpft, aber es hält das Muster von 2 * pi * aktuelle Radius. Der letzte Ring ist mehr wie ein Pinpoint, mit überhaupt keinen Umfang.
Jetzt ist hier, wo die Dinge flippige bekommen. Lassen Sie uns diese Ringe entrollen und legen Sie sie auf. Was geschieht?
- Wir bekommen eine Reihe von Linien, ein gezacktes Dreieck zu machen. Aber wenn wir dünnere Ringe nehmen, wird das Dreieck weniger gezackt (mehr dazu in zukünftigen Artikeln).
- Die eine Seite hat den kleinsten Ring (0), und die andere Seite hat den größten Ring (2 * pi * r)
- Wir haben Ringe von Radius 0 bis bis zu „r“ geht. Für jeden möglichen Radius (0 bis r), legen wir einfach den entrollten Ring an dieser Stelle.
- Die Gesamtfläche des „ring-Dreiecks“ = 1/2 base * height = 1/2 * R * (2 * pi * r) = pi * r ^ 2, die die Formel für die Fläche ist!
Yowza! Der kombinierte Bereich der Ringe = die Fläche des Dreiecks = Fläche des Kreises!
Das war ein kurzes Beispiel, aber hast du den Schlüssel Idee zu fangen? Wir nahmen eine Scheibe, teilen Sie es auf und legte die Segmente zusammen in einer anderen Weise. Calculus hat uns gezeigt, dass eine Scheibe und Ring sind eng verbunden: eine Scheibe ist wirklich nur ein paar Ringe.
Dies ist ein wiederkehrendes Thema in dem Analysis: Große Dinge werden aus kleinen Dingen gemacht. Und manchmal die kleinen Dinge sind einfacher zu handhaben.
Ein Hinweis auf Beispiele
Viele Kalkül Beispiele sind auf Physik. Das ist toll, aber es kann schwierig sein, zu beziehen: ehrlich, wie oft wissen Sie die Gleichung für die Geschwindigkeit für ein Objekt? Weniger als einmal pro Woche, wenn überhaupt.
Ich ziehe es beginnend mit körperlichen, visuellen Beispielen, weil es ist, wie unser Geist arbeitet. Dieser Ring / Kreis, was wir gemacht? Man könnte es bauen mehrere Pfeifenreiniger aus, trennen Sie sie und wirft sie in ein rohes Dreieck begradigen, um zu sehen, ob die Mathematik wirklich funktioniert. Das geschieht nicht nur mit Geschwindigkeitsgleichung.
Ein Hinweis auf Strenge (für den Mathe-Aussenseiter)
Ich kann die Mathematik Pedanten fühlen ihre Tastaturen Anheizen. Nur ein paar Worte auf „Strenge“.
Wusstest du, wir nicht lernen Kalkül den Weg Newton und Leibniz entdeckt? Sie benutzten intuitive Vorstellungen von „fluxions“ und „infinitesimals“, die mit Grenzen ersetzt wurden, weil „Sicher, es in der Praxis funktioniert. Aber ist es in der Theorie funktionieren?“.
Wir haben komplexe mechanische Konstruktionen geschaffen Kalkül „rigoros“ beweisen, sondern haben unsere Intuition in dem Prozess verloren.
Wir suchen auf der Süße von Zucker aus der Ebene der Gehirnchemie, statt es als Weise der Natur erkennen zu sagen: „Diese viel Energie hat. ISS es."
Ich will nicht (und kann) eine Analyse Kurs oder Zug Forscher lehren. Wäre es so schlimm, wenn jedes Kalkül versteht das „nicht-strengen“ Niveau, das Newton tat? Dass es verändert, wie sie die Welt sah, wie es für ihn getan hat?
Ein vorzeitiger Fokus auf Strenge schreckt Studenten und macht Mathe schwer zu lernen. Typischer Fall: e wird technisch durch eine Grenze definiert, aber die Intuition des Wachstums ist, wie es entdeckt wurde. Das natürliche Protokoll kann als integraler zu sehen ist, oder die Zeit zum Wachsen benötigt. Welche Erklärungen helfen Anfänger mehr?
Lassen Sie uns ein wenig Fingerfarben, und auf dem Weg in die Chemie bekommen. Glückliche Mathe.
(PS: Eine Art Leser hat eine animierte Powerpoint-Präsentation erstellt, die diese Idee mehr visuell zu präsentieren hilft (am besten in Powerpoint betrachtet, aufgrund der Animationen) Danke.!)
Hinweis: Ich habe gemacht eine ganze Intuition erste Kalkül Serie im Stil dieses Artikels:
Melden Sie mich an! Ich tat alles, was verrückt „Fläche unter der Kurve“ Sachen in der Schule, aber nie verstanden, wie es funktioniert wirklich. y = 2x ^ 2 => dy / dx = 4x ... sicher, aber was zum Teufel los ist. Sie verlor mich, wenn die Sinus- und Cosinus das Kalkül Partei verbunden.
Ich habe doch bleibe interessiert in Mathematik über die 20 Jahre seit, und hier ist der Riss: Ihr Artikel ist brillant. Ich kann absolut bekommen, was Sie reden. Ihr Kreis Beispiel ist Dynamit, und ich fand auch die Idee, dass Kalkül „findet Muster zwischen den Gleichungen“ sehr intuitiv.
Mach weiter so.
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9 Jahre 2 Monate
Ich habe noch nie Kalkül getan, weil ich Mathe gehasst ... aber irgendwie verstehe ich.
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4 Monate 11 Tage vor
Es ist wirklich eine Schande, dass die Art und Weise der Mathematik präsentierte auf einen negativen Eindruck von der Grundschule schafft. Konzeptionell ist es schön und elegant und erklärend und allumfassend. Wenn ich eingeführt worden in dieser Form zur Mathematik als ich jünger war, würde ich wahrscheinlich dann angeschlossen worden ist.
Meine schönsten Momente in schrecklichem Mathematikunterricht in der High School und Real wären, wenn der Lehrer abschweifen würde und nur über die Natur von Null oder Unendlich oder anderen interessanten Konzepten sprechen. Natürlich würde der Lehrer in der Regel mit so etwas wie, am Ende „Nun, wie auch immer, zurück zum Thema zu bekommen ...“ und mit etwas umständlichen Beweis fortzusetzen.
Ich sage nicht, dass eine konzeptionelle Darstellung der Mathematik Grund der Grundschule Notwendigkeiten wie Arithmetik vorausgehen soll, aber es sollte auf jeden Fall seinen Platz hat. die elegante Art der Mathematik durch falsche Darstellung, wir beschränken Studenten, die sonst anfangen würde zu interessieren.
Wieder großer Artikel!
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9 Jahre 2 Monate
Ich mag diese Art von Beispielen für Menschen, die nie Kalkül gesehen haben vor, weil, ehrlich gesagt, das Thema nicht so schwer ist. Geben Sie mir einen überdurchschnittlichen Schüler und ich kann ihr die Grundlagen der Infinitesimalrechnung in weniger als eine Woche unterrichten.
Aber es ist selten die Grundlagen, die Menschen bekommen. Diese Methoden, schließlich waren wie Kalkül in die Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelte up - nary ein Delta oder ein Epsilon in Sicht.
So ist die einzige Einschränkung, dass, während diese Methoden intuitiv sein könnten und die Menschen helfen, nur Kalkül zu lernen, gibt es Grenzen, an denen diese Art der Argumentation bricht und wir können einfach nicht miteinander vereinbaren, was wahr ist mit dem, was unsere Intuition sagt wahr ist.
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9 Jahre 2 Monate
Sein ein Ingenieur, ich verstehe den Schmerz ein naiver Student durchläuft, wenn er mit LKW-Ladung von Calculus Bücher mit Tonnen von Theoremen, Beweise und unvorstellbare Zahl von seltsamen Fragen, die absolut in der realen Welt keine Bedeutung haben belastet!
Ich erzielen auch in meinem Ingenieure mathematischen Themen, aber ich nie wirklich verstanden, den Punkt, dass die Sachen zu lernen. Heck, ich erinnere mich nicht einmal die Hälfte davon jetzt.
Ich wünsche, wir jemanden wie Sie hatten, der so ein wunderbares Bild malen konnte und das Thema mehr Relevanz für Studenten machen.
Ich freue mich auf alles, was Artikel, den Sie in der Serie mit dem nächsten kommen.
(Übrigens, wo bist du? Ich wud Liebe ein Genie wie Sie irgendwann zu treffen!)
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Und wie Sie gesagt, die Verwendung von x (Eingang) und y (Ausgang) sind Konventionen. So ist der regelmäßige Weg wäre, die Gleichung zu sagen ist wirklich 2 * pi * x, wobei x der Radius (geschweige denn, dass wir gelernt, es als 2 * pi * r immer). dy / dr ist ein völlig in Ordnung, wie es zu sagen.
Eine interessante Sache über die Integration ist zu sehen, wie etwas, das nicht „Look“ wie eine Kurve (ein Bündel Ring) in ein Format gedreht werden, das tut.
Diese Seite Diskussionen Sie erwähnen können genial - es hebt die Entdeckung Seite der Mathematik. Für jede Gleichung, gab es jemanden, der es zum ersten Mal und sagen: „whoa“ zu sehen.
Aber wenn wir mit Relativität und Quanten beginnen würden wir alle auf dem Weg verlieren.
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9 Jahre 2 Monate
Auf jeden Fall ist der Punkt, dass Kalkül findet ähnliche Verbindungen / Themen zwischen Mathematik zugrunde liegen - es schön ist (einfach) Gründe, warum die Formeln verknüpft sind.
Ohne Kalkül sieht die Ähnlichkeit in den Gleichungen wie ein glücklicher Zufall, ähnlich wie „Zucker ist süß und verdorbene Lebensmittel schmecken schlecht“ könnte wie ein glücklicher Zufall scheinen ohne die Evolutionstheorie. Hoffe, das hilft zu klären, was ich meinte.
Sie können auf jeden Fall den Griff Mathe zu bekommen - ich glaube, es ist eine Fähigkeit, wie das Schreiben wirklich. Es ist einmal, dachte jeder lesen - Schreiben „harter“ war und nur für Schreiber; heute jeder tut es.
Der schwierigste Teil über Mathe kann interessiert sein zu bleiben und Ihre Motivation zu halten, so hängt dort! Sehen Sie es einfach als eine weitere Möglichkeit, um eine Idee zu sprechen, kann helfen, das große Bild zu bekommen. Und du hast Recht, wenn Sie es selbst zu lösen gigantische Gleichungen Spaß :) sein können.
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9 Jahre 2 Monate