Vektorrechnung Verständnis der Cross Produkt - BetterExplained
Das Kreuzprodukt reichert Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Dimensionen. Einnahme von zwei Vektoren, können wir jede Kombination von Komponenten, die in einem Raster schreiben:
Dieses Gitter abgeschlossen ist das äußere Produkt. die in dem getrennt werden:
Skalarprodukt. die Wechselwirkungen zwischen gleichartigen Abmessungen (x * x * y y. z * z)
Kreuzprodukt. die Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Dimensionen (x * y. y * z. z * x. etc.)
Das Punktprodukt (VEC (a) · vec (b)) misst Ähnlichkeit, weil es nur Wechselwirkungen in passenden Dimensionen ansammelt. Es ist eine einfache Berechnung mit 3 Komponenten.
Das Kreuzprodukt (geschrieben vec (a) mal vec (b)) hat ein halbes Dutzend „cross interactions“ zu messen. Die Berechnung sieht komplex, aber das Konzept ist einfach: akkumulieren 6 individuelle Unterschiede für die Gesamt.
Statt darüber nachzudenken, „Wann muss ich das Kreuzprodukt?“ Denken „Wenn ich Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Dimensionen brauchen?“.
Umgebung, beispielsweise durch Vektoren gebildet zeigen in verschiedenen Richtungen (die mehr orthogonal, desto besser). Tatsächlich misst das Kreuzprodukt der Bereich von zwei 3D-Vektoren (Quelle) überspannt:
(Das „Kreuzprodukt“ annimmt 3D-Vektoren, aber das Konzept erstreckt sich auch auf höhere Dimensionen.)
Hat der Schlüssel Intuition klicken? Lassen Sie uns in die Details hüpfen.
Definieren des Cross Produkt
Das Punktprodukt stellt Vektor Ähnlichkeit mit einer einzigen Nummer:
(Beachten Sie, dass trigonometrischen Funktionen Prozentsätze sind.) Wenn das Kreuzprodukt (die Differenz zwischen den Vektoren interagieren) als zu einer einzigen Zahl?
Lass es uns versuchen. Sinus ist die prozentuale Differenz, so konnten wir verwenden:
Leider sind wir viele Details fehlen. x ist 100% verschieden von sowohl y und z. sollte aber nicht x * y und x * z voneinander unterscheiden? Wie Tolstoi schrieb: „Alle glücklichen Familien sind gleich; jede unglückliche Familie ist auf ihre eigene Weise unglücklich.“
Stattdessen lassen Sie uns diese einzigartigen Unterschiede als Vektor auszudrücken:
Die Größe des Querproduktes ist der numerische „Betrag der Differenz“ (mit sin (theta) als Prozentsatz)
Die Richtung des Kreuzprodukts ist auf beiden Eingänge basiert: es ist die Richtung, die orthogonal zu beiden (das heißt weder begünstigende)
Ein Vektor Ergebnis repräsentiert die x * y und x * z getrennt, obwohl y und z beide „100% verschieden“ von x ist.
(Sollte das Punktprodukt zu in einen Vektor umgewandelt werden? Nun, wir haben die Eingänge und eine Ähnlichkeit Prozentsatz. Es gibt keine neue Richtung, die von einem der Eingänge nicht verfügbar.)
geometrische Interpretation
Zwei Vektoren bestimmen eine Ebene, und die Querproduktpunkte in einer Richtung, die sich von beiden (Quelle):
Hier ist das Problem: es gibt zwei zueinander senkrechten Richtungen. Vereinbarungsgemäß gehen wir von einer „rechtshändigen System“ (Quelle):
Wenn Sie Ihre ersten beiden Fingern wie das Diagramm zeigt halten, Daumen in Richtung des Kreuzprodukt zeigen. Ich stelle sicher, die Orientierung durch Kehren meinen ersten Finger von vec korrekt ist (a) bis VEC (b). Mit der Richtung der Größe des Kreuzprodukt herausgefunden, ist | a | | B | sin (theta). die an die Größe jedes Vektors proportional ist und die „Differenz Prozentsatz“ (Sinus).
Das Kreuz-Produkt für Orthogonal Vektoren
Um die rechte Hand-Regel zu erinnern, schreiben Sie die xyz um zweimal: xyzxyz. Als nächstes finden Sie das Muster für Sie suchen:
- xy => z (x Quer y z)
- yz => x (y Quer z x, wir umschlungen: y zu z x)
- zx => y
Also, ohne eine Formel, sollten Sie in der Lage zu berechnen:
Auch dies liegt daran, dass x Quer y positiv z in einem rechtshändigen Koordinatensystem ist. Ich benutzte Einheitsvektoren, aber wir konnten die Bedingungen skalieren:
Berechnen des Kreuz Produkt
Wenn die Vektoren gekreuzt sind, wobei jedes Paar von orthogonalen Komponenten (wie a_x mal b_y) wirft eine Stimme für wo der orthogonalen Vektor anweisen. 6 Komponenten, 6 Stimmen, und ihre Gesamt ist das Kreuzprodukt. (Ähnlich wie bei der Steigung. Wo jede Achse eine Stimme abgibt für die Richtung des größten Anstiegs.)
- xy => z und yx => -Z (nehmen vec (a) zuerst, so xy bedeutet a_x b_y)
- yz => x und zy => -X
- zx => y und xz => -Y
XY- und YX kämpft in z-Richtung aus. Wenn diese Bedingungen gleich sind, wie in (2, 1, 0) mal (2, 1, 1). es gibt keine Kreuzproduktkomponente in der z-Richtung (2 - 2 = 0).
Die letzte Kombination ist:
wo vec (n) der Einheitsvektor normal zu vec (a) und vec (b).
Verpassen Sie nicht diese abschrecken lassen:
- Es gibt 6 Begriffe, 3 positive und 3 negative
- Zwei Dimensionen stimmen auf dem dritten (so z Begriff darf nur y und x-Komponenten haben)
- Die positive / negative Ordnung auf dem xyzxyz Muster basiert
Wenn Sie möchten, gibt es einen algebraischen Beweis. dass die Formel ist sowohl orthogonal und der Größe | a | | B | sin (theta). aber Ich mag die „Verhältniswahl“ Intuition.
Beispiel Zeit
Auch hier sollten wir einfache Kreuzprodukte in unserem Kopf tun:
Warum? Wir kreuzten die x und y-Achse, was uns z (oder vec (i) -mal vec (j) = vec (k). Jene Einheitsvektoren verwendet wird). in die andere Richtung Kreuzung gibt -vec (k).
Hier ist, wie ich durch komplexere Beispiele gehen:
- Lassen Sie uns das letzte Glied tun, die z-Komponente. Das ist, (1) (5) minus (4) (2) oder 5 bis 8 = -3. Ich habe z zuerst, weil sie x und y verwendet. die ersten beiden Terme. Versuchen zu sehen (1) (5) als „vorwärts“, wie Sie von dem ersten Vektor zu dem zweiten Abtastung, und (4) (2) als nach hinten, wie Sie von dem zweiten Vektor zum ersten bewegen.
- Nun ist die y-Komponente: (3) (4) - (6) (1) = 12 - 6 = 6
- Nun ist die x-Komponente: (2) (6) - (5) (3) = 12 - 15 = -3
So ist die Gesamt ist (-3, 6, -3), die wir mit Wolfram Alpha überprüfen können.
- Das Kreuzprodukt verfolgt alle „cross interactions“ zwischen den Dimensionen
- Es gibt 6 Wechselwirkungen (2 in jeder Dimension), mit Zeichen auf der Grundlage der xyzxyz bestellen
Die Verbindung mit dem Gebender
Sie können das Kreuzprodukt mit der Determinante dieser Matrix berechnen:
Es ist eine nette Verbindung hier als Determinante ( „unterzeichnet Bereich / Volumen“) verfolgt die Beiträge von orthogonalen Komponenten.
Es gibt theoretische Gründe, warum das Kreuzprodukt (als orthogonalen Vektor) nur in 0 vorhanden ist, 1, 3 oder 7 Dimensionen. Jedoch ist das Kreuzprodukt als eine einzige Zahl im wesentlichen der Determinante (a vorzeichenbehaftete Fläche, Volumen oder Hypervolumen als Skalar).
Verbindung mit Locken
Curl misst die Verdrehungskraft ein Vektorfeld zu einem Punkt trifft, und mit einem Vektor rechtwinklig zur Oberfläche gemessen. Jedes Mal, wenn Sie „senkrecht Vektor“ zu hören beginnen „Kreuzprodukt“ zu denken.
Wir nehmen den „Determinante“ dieser Matrix:
Anstelle der Multiplikation wird die Wechselwirkung eine partielle Ableitung nehmen. Wie zuvor wird der VEC (i) Bestandteil der Wellung auf der Grundlage der Vektoren und Derivaten des vec (j) und vec (k) Richtungen.
Bezug auf den Satz des Pythagoras
Die Kreuz- und Skalarprodukt ist wie die orthogonalen Seiten eines Dreiecks:
Für Einheitsvektoren, wobei | a | = | B | = 1. haben wir:
Ich betrogen ein wenig im Netz Diagramm, wie wir die quadrierten Magnituden zu verfolgen haben (wie in dem Satz des Pythagoras getan).
Die Kreuzprodukt - Freunde in Clifford Algebra und Geometrische Algebra erweitert. Ich lerne immer noch diese.
Kreuz-Produkte von Cross Products
Manchmal werden Sie ein Szenario haben wie:
Erstens ist das Kreuzprodukt nicht assoziativ. Um Angelegenheiten.
Als nächstes erinnern, was das Kreuzprodukt tut: orthogonale Vektoren zu finden. Wenn irgendwelche zwei Komponenten parallel sind (vec (a) parallel zu vec (b)), dann gibt es keine Dimensionen aufeinander drücken, und das Kreuzprodukt Null ist (die 0-mal durch vec trägt (c)).
Aber es ist in Ordnung für vec (a) und vec (c) parallel zu sein, da sie nie in einem Kreuzprodukt direkt beteiligt sind, zum Beispiel:
Whoa! Wie gingen wir zurück zu vec (j). Wir baten um eine Richtung senkrecht zu den beiden vec (i) und vec (j). und machte diese Richtung senkrecht zu vec (i) wieder. „Doppelt senkrecht“ bedeutet, dass Sie auf der ursprünglichen Achse sind zurück.
Dot Produkt von Kreuz-Produkte
was geschieht? Wir sind gezwungen, vec (a) mal vec (b) zuerst zu tun, weil vec (b) · vec (c) gibt einen Skalar (eine Zahl), die nicht in einem Kreuzprodukt verwendet werden kann.
Wenn vec (a) und vec (c) parallel sind, was passiert? Nun, vec (a) mal vec (b) senkrecht zu vec (a). das heißt, sie ist senkrecht zu vec (c). so das Skalarprodukt mit vec (c) wird gleich Null sein.
Ich habe nie wirklich diese Regeln auswendig gelernt, ich durch die Wechselwirkungen zu denken.
Andere Koordinatensysteme
Das Unity Game Engine ist Linkshänder. OpenGL (und die meisten Mathe / Physik-Tools) sind Rechtshänder. Warum?
In einem Computerspiel, geht x horizontal, vertikal y geht, und geht z „in dem Bildschirm“. Dies führt zu einem linkshändigen System. (Versuchen Sie es: die rechte Hand verwenden, können Sie x Kreuz y sehen sollte auf dem Bildschirm darauf hin).
Anwendungen des Kreuzes Produkt
- Finden die Richtung senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren.
- Finden Sie den signierten Bereich von zwei Vektoren aufgespannt.
- Bestimmen Sie, ob zwei Vektoren orthogonal sind (für ein Punktprodukt von 0 Überprüfung ist wahrscheinlich schneller obwohl).
- „Multiplizieren“ zwei Vektoren, wenn nur senkrecht Kreuzterme einen Beitrag (wie zu finden Drehmoment) zu machen.
- Mit den Quaternionen (4d komplexe Zahlen), führt das Kreuzprodukt der Arbeit der rotierenden eines Vektors um einen anderen (einen anderen Artikel in Arbeit!).
Daumen hoch 1 abstimmen Antworten
Vor 1 Jahr 10 Monate her
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Vor 1 Jahr 10 Monate her
w = fa warum skalaren Größen