Einzelwertzerlegung, Echt Statistik mit Excel
In der Tat können solche Matrizes konstruiert werden, in denen die Spalten von U die Eigenvektoren von AA T. sind die Spalten von V die Eigenvektoren von ATA und der Hauptdiagonale D enthält die Quadratwurzeln der Eigenwerte von U (oder V) in absteigend Auftrag.
Da V j ist ein Einheitsvektor
und so AVJ = 0, wenn j> r. Wir haben jetzt eine m × m-Matrix U wie folgt konstruieren. Zuerst definieren die ersten r Spalten von U durch Uj = AVJ. Da die vj orthogonal sind, sind so die Uj. Schon seit
Uj ein Einheitsvektor. wenn r < m. then we can expand U1. …, Ur to an orthonormal basis U1. …, Um for the set of m × 1 column vectors. In either case let U be the m × m matrix whose columns are the Uj . Based on the construction described above, U is an orthogonal matrix.
für j> r. Es sei D die m × n diagonale Matrix, deren Hauptdiagonale besteht, ..., gefolgt von Nullen (wenn nötig) =. Wir haben gezeigt, dass gerade U T AV = D. und so A = UDV T.
Überwachung. Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass
Überwachung. Man beachte, dass AA T = (A T) T (A T) ist ein positives semidefinite m × m-Matrix. In der Tat haben wir AA T anstelle von A T A in dem Beweis von Satz verwendet wird, könnte 1. Beachten Sie auch, dass
Überwachung. Die Spalten von U auf die Nicht-Null-diagonalen Elemente entspricht bilden eine orthonormale Basis für den Bereich von A. und so der Rang von A = die Anzahl von Nicht-Null-diagonalen Elementen. Somit ist eine quadratische Matrix invertierbar ist, wenn und nur dann, wenn alle Elemente in D positiv sind. Ist A invertierbar dann A -1 = (UDV T) -1 = VD -1 UT
Die Lösungen der Gleichung AX = C kann gefunden werden, wie folgt:
Wobei D * ist die Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale besteht aus den Reziprokwerten der nicht-negativen Elemente in D von Nullen. Wir können VD * U T betrachten als eine Art inversen für A selbst darstellt, wenn A keine quadratische Matrix ist.
Überwachung. Die Spalten von V zu den Nulldiagonalelementen entsprechen bilden eine orthogonale Basis für den Nullraum von A und so die Dimension des Nullraumes von A = die Anzahl von Spalten in A minus der Rang von A. dh n - R in der Beweis von Satz 1. Somit wird jede Linearkombination von Spalten in V ist eine Lösung für die homogene Gleichung AX = 0 ist.
Beachten Sie, dass AX = 0, wenn und nur wenn AX = UDV T X = 0, wenn und nur dann, wenn
Somit ist X eine Lösung von AX = 0, wenn und nur wenn X 'eine Lösung DX' = 0, wobei X ‚= V T X. Das bedeutet, daß & lambda; j = 0 für alle j. Da aber das & lgr; j = 0 für j = r + 1, ..., n. folgt daraus, daß = 0 für solche j. und so Xj = VVTXj = V = 0. Wenn also AX = 0 dann X eine lineare Kombination der endgültigen n - r Spalten in V.
Da das & lambda; j = 0 für j = r + 1, ..., n. jede lineare Kombination der endgültigen n - r Spalten in V ist eine Lösung für AX = 0. Da die Spalten von V sind orthogonal und somit unabhängig ist, folgt, dass die endgültige n - r Spalten von V eine Basis für den Nullraum bilden, und so die Dimension des Nullraumes ist n - r.
Echtstatistikfunktionen. Das reale Statistik Ressourcenpaket bietet folgende Funktionen:
SVD_D (R1, iter) = D-Matrix des SVD für die Matrix A entsprechen R1 reichen
SVD_V (R1, iter) = V Matrix des SVD für die Matrix A entsprechen R1 reichen
Hier ist iter die Anzahl der Iterationen in dem Algorithmus verwendet, um den SVD (default 100) zu berechnen.