Factorial Funktionen der Fraktionen, Oh My! Atome - Void
„In Wirklichkeit wissen wir nichts, für die Wahrheit in der Tiefe ist.“
Seine Diplomarbeit zentrierte um die epistemischen Grundlagen der informationstheoretischen Maßnahmen in der statistischen Physik verwendet, während seine aktuelle Arbeit dreht sich um Modellierungssysteme, auf die Aspekte der integrierten Informationstheorie zu testen, ist eine Theorie des Bewusstseins wird an dem Wisconsin Schlaf Forschungsinstitut entwickelt.
Aller Wahrscheinlichkeit sitzt er wahrscheinlich an seinem Schreibtisch in diesem Augenblick, einen Kaffee zu trinken und Codierung, halb im Bewusstsein der Welt um ihn herum.
Eine interessante Frage ist, ob diese Funktion nicht-positive ganzzahlige Werte von n d n ∉ Z. verallgemeinert werden kann Was wäre die Fakultät von π sein? oder von -2? Was ist die Fakultät einer Fraktion? Es gibt eine einfache Lösung, die man innerhalb von ein paar Momente der ersten Start stolpern kann über die Frage nachzudenken:
Das erste, was wir entdecken, nachdem sie von Teilen der Integration ist, dass es eine interessante Rekursionsrelation erfüllt:
Diese Beziehung ist genau das, was wir wollen. Wenn n eine ganze Zahl ist dann finden wir, dass ich auf den Standard faktorielles reduziert. In der Tat, wenn die Funktion kann für alle Werte zwischen 0 und 1, sind alle anderen positive Werte der Funktion bestimmt werden, bekannt ist. Darüber hinaus kann die Rekursionsbeziehung invertiert werden, um die Definition negative Werte des Arguments zu verlängern sowie:
Wir finden schnell von dort, dass die Funktion für alle negativen ganzen Zahlen nicht definiert ist. Diese Funktion ist nicht neu und wurde zuerst von Euler im Jahre 1729 untersucht, obwohl er es tat anders nennen. Um Mathematiker ist es als Euler Gamma-Funktion bekannt und ist definiert durch:
Der Graph der Gamma-Funktion ist ziemlich interessant; ein Schrei weit von der Einfachheit der einfacheren Funktionen eines über in ihrer Grundschule Mathe Kursen lernen.
Aber warum mit der Realität stoppen? Die integrale Definition der Gamma-Funktion kann analytisch jenseits der reellen Achse auf die Gesamtheit der komplexen Ebene erweitert werden. Für komplexe Werte des Arguments liefert die Gamma-Funktion komplexe Werte, Zahlen sowohl mit einem Realteil und einem Imaginärteil. Man kann sowohl die realen und imaginären Teile mit dreidimensionalen Grafiken, sowie die Größe der Gamma visualisieren. Die resultierenden Bilder zeigen viel von der Struktur hinter dieser einfachen, aber elegante Funktion. Hier ist ein Bild von der Größe des Gamma auf der komplexen Ebene grafisch dargestellt:
Der Spaß fängt gerade erst. Ausgerüstet mit der Kraft einer faktoriellen Funktion für nicht-ganze Zahlen sind, ist es möglich, fraktioniertes Derivate zu definieren, und schließt sowohl die Differenzierung und die Integration in einen einzigen diffeointegral Operator, der die Grundlage für einen faszinierenden Zweig der Mathematik als Umbral Calculus bekannten Formen. Für diejenigen, die mehr daran interessiert sind, über die Geschichte der Gamma-Funktion über das Lernen Sie hier überprüfen können. Wolframs Mathworld hat eine fantastische Darstellung der mathematischen Eigenschaften der Funktion, sowie eine interessante Seite, die Sie Gamma grafisch darstellen können auf verschiedenen Teilen der komplexen Ebene.
Als eine letzte behandeln, möchte ich für Sie den Wert von einer halben faktorielles berechnen. Zuerst von der Definition wir beginnen mit:
Zunächst scheint dieses Integral ein bisschen widerspenstig, aber eine einfache Koordinatentransformation einen alten Freund enthüllt. Mit ...
und die Integrationsgrenzen zu ändern (die die gleiche wie zuvor geschehen sein), wir finden ...
Dies ist nur eine gewichtete Gaußsche. Es kann mit einem einfachen Trick die die Einführung einer neuen Variablen in den exponentiellen und mit der Ableitung in Bezug auf diese Variable ausgewertet werden, um diese integral in ein Standard-Gaußsche zu verwandeln ...
Wer hätte gedacht, dass die Fakultät von 1/2 bezieht sich auf ¸. Das ist, was ich über die Mathematik so unglaublich faszinierend: wie scheinbar verschiedene mathematische Themen, die Fakultät, die in der Kombinatorik verwendet wird, und π, die aus dem Studium der Kreis geht, sind tatsächlich verwandt, wenn man die mathematischen Tiefen zu untersuchen beginnt. Diese Verbindungen werden nicht durch den Mathematiker auferlegt, sind sie nicht konstruiert, sie liegen in Verstecken, inhärent in der Definition der Objekte, die vorgestellt werden. Sie können durch die abenteuerliche entdeckt werden, von denen, die die Dunkelheit des unbekannten bewaffnet nur mit dem Licht der Vernunft neugierig und bereit zu Whittle weg sind. Die Mathematik ist ein unerforschtes Kontinent Ich hoffe, dass jeder die Möglichkeit hat, zu besuchen. Ich hoffe, dass Sie die wenigen Verbindungen genossen habe ich habe dich hier gezeigt. Hoffentlich mehr wenig Exposes auf verschiedene mathematische Themen ihren Weg in diesem Abschnitt finden, und ich kann Ihnen auf weitere Ausflüge ins Unbekannte nehmen.