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Einführung
Archimedes' Essay über die `Messung eines Kreises‘ wird oft genannt, aber ich vermute, wenig gelesen. Was die meisten modernen Autoren interessiert sind, ist das Rezept für die Annäherung $ \ pi $ durch Polygone mit einer großen Anzahl von Seiten unter Berücksichtigung, und das rekursive Rezept er dies zu tun entwickelt. Diese Technik buchstäblich um die Welt gereist und war derjenige von jedermann benutzt für im Hinblick auf eine Reihe $ \ pi $, bis die Formel Berechnung wurde wohlbekannt. Archimedische Verfahren ist nicht genau das gleiche, wie er in der Regel als Presenting zitiert wird. Die beste Darstellung in modernen Begriffen, die ich vertraut bin mit im $ \ pi Buch $ ausgelöst.
Die Aussage des Archimedes' Theorem
Archimedes' Essay kommt in zwei Teilen. Die erste ist eine Aussage und der Nachweis einer Beziehung zwischen der Fläche eines Kreises und seinem Umfang. Die zweite annähert $ \ pi $ durch die Techniken der Anwendung im Beweis dieses ersten Teils angeordnet. Ich werde nur mit dem ersten obwohl betroffen sein, wie ich sage, es ist der zweite, dass die meisten Aufmerksamkeit auf sich zieht.
In der Version von `Messung des Kreises‘, die wir jetzt, die Eröffnungserklärung haben, ist dies:
Die Fläche jeden Kreis ist gleich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem eine der Seiten über den rechten Winkel zu dem Radius gleich ist, und das anderes an den Umfang des Kreises.
Grob gesagt, der Grund der Satz wahr ist, ist, dass wir beide den Kreis zerstückeln und das Dreieck in sehr kleine Bereiche, die sie eng in Bereich annähern:
Der Beweis dieses Satzes in der vorhandenen Version folgt sofort seine Aussage. Ich werde es unten skizzieren, mit einem wenig Erklärung und ein paar Zahlen hinzugefügt. Die Grundidee ist fast genau das gleiche wie die von Euklids Beweis von Satz XII.2, das behauptet, dass (in modernen Begriffen) die Fläche eines Kreises mit dem Quadrat des Radius proportional ist. In Euklidischen Beweis ist die Fläche eines Kreises begrenzt ist oben und unten durch die Bereiche umschriebenen und bezeichnet Polygonen mit einer zunehmenden Anzahl von Seiten, während in dem von Archimedes der Umfang in ähnlicher Weise auch begrenzt. Die Überlappung von Archimedes Argumente mit der Euclid sollte nicht überraschen, da Euklids Satz XII.2 eine unmittelbare Folge des Archimedes ist.
Der Beweis von Archimedes' Theorem
Sei $ ein Kreis C $, $ T $ sein, das Dreieck, deren Höhe der Radius des Kreises und deren Basis sein Umfang. Der Beweis zu kommen, ist in zwei Teilen, wie alle Beweise durch das Verfahren der Erschöpfung, die ich mit vertraut bin. In dem ersten wird gezeigt, dass der Bereich von $ C $ nicht größer sein kann als die von $ $ T, und in den zweiten, dass es nicht weniger sein kann. Dies lässt nur die Möglichkeit, dass die beiden Bereiche sind die gleichen
Teil I. Ich werde zunächst zeigen, dass die Fläche des Kreises ist nicht größer als die Fläche von $ T $. Wir werden drei Tatsachen in dem Argument müssen, kommt dessen Beweis ich verschieben.
Anspruch (1), um die Fläche jedes Polygons in den Kreis eingeschrieben ist geringer als die von C $ $.
Durch (1) Bereich des $ \ $ PI_ ist geringer als die von C $ $. Lassen Sie $$ \ delta_ = \ hbox< area of > C - \ hbox< area of > \ PI_> 0 \. $$
In den obigen Zahlen ist $ \ delta_ $ wie die roten Bereiche gezeigt. jetzt kommt
Anspruch (3), um die Fläche jedes Polygons in den Kreis eingeschrieben ist geringer als die von T $ $.
Das ist ein bisschen schwieriger zu veranschaulichen. Da sowohl das Polygon und die Polygon $ T $ kann schön partitioniert werden, in dem folgenden Bild, um es aus den Ansprüchen ergibt sich, dass (a) der Lichtbogen $ PBQ $ länger ist als das Segment $ PAQ $, und (b) das Segment $ OA $ kürzer als $ OB $. Die zweite folgt aus Euclid III.2, die behauptet, dass das Segment PQ $ $ liegt innerhalb des Kreises. Die erste ist in der Abbildung ersichtlich, wir werden aber in zu glauben, was man später sehen, dass es Probleme beteiligt sehen.
Jetzt für das Argument, diese Forderungen unter der Annahme, um wahr zu sein. Nehmen wir an, im Gegensatz zu dem, was wir beweisen wollen, dass der Bereich von $ C $ ist größer als die von $ T $: $$ d = \ hbox< area of > C - \ hbox T> 0 \. $$
ein Widerspruch zur Wahl von n $ $.
Teil II. In der zweiten Hälfte des Arguments, kommen wir zu einem Widerspruch durch den Bereich von $ $ C unter der Annahme, dass von $ T $ auf weniger als, aber diesmal durch umschriebene Polygone verwenden. Die einzige verbleibende Möglichkeit ist, dass der Bereich von $ C $ gleich den Bereich von $ T $, das ist das, was wir beweisen wollten.
Also in diesem Teil, lassen Sie $ $ \ PI_ ein Quadrat des Kreises $ C $ umschreibt sein, und im allgemeinen lassen $ \ PI_ $ sein das regelmäßige Polygon von $ 2n $ Seiten von $ \ PI_ $ erhalten durch Halbbögen das Abschneiden auf $ C $. In diesem Fall ist $ \ PI_ $ in $ \ PI_ $ streng enthalten ist, und enthält C $ $. Lassen Sie $$ \ delta_ = \ hbox< area of > \ PI_ - \ hbox< area of > C> 0 \. $$
Anspruch (4), um den Bereich der $ $ T ist geringer als die von $ \ PI_ $.
Von hier aus auf dem Argumente ist sehr ähnlich zu dem in Teil I, einen Widerspruch aus der Annahme abgeleitet, dass der Bereich von $ C $ weniger als die von $ T $.
Es bleibt die Forderung (1) zu prüfen, - (4). Die einfachste von allen ist (1). Es folgt direkt aus Axiom 5 von Buch I ( `das Ganze ist größer als sein Teil") einmal weiß, dass ein Polygon aus Segmenten aufgebaut Kreisbögen abgeschnitten wird im Kreis enthält. Dies ist genau das, was III.2 von Euklid behauptet.
Was genau ist die Länge des Umfangs?
Es gibt keinen Platz in Euclid, wo er über die Länge von etwas spricht, sondern ein Liniensegment. Wir wissen jetzt, dass dies in der Tat möglicherweise eine sehr schwierige Sache, weil es kontinuierlich begrenzt Kurven in der Ebene, die unendliche Länge hat. Natürlich ist der Umfang eines Kreises ist nicht einer von ihnen. Das Problem kommt dazu: wie kann man die Längen der beiden Kurven in der Ebene, oder zwei Flächen in drei Dimensionen vergleichen? Mit Bereichen in der Ebene ist die Antwort relativ einfach - man ordnet schließlich die Dinge so ein Bereich, in dem anderen enthalten ist. Aber mit Kurven ist dies nicht möglich, so gibt es keine wirklich offensichtliche Antwort auf die Frage, `` Unter welchen Umständen können wir sagen einfach, ob eine Kurve länger oder kürzer ist als die andere?“Wie hat Archimedes mit dem Problem umgehen?
Das Problem entstand erst in dem, was ist vielleicht das berühmteste Werk von Archimedes, `Auf der Kugel und Zylindern I‘, in dem er den Bereich einer Kugel berechnet, indem es zu einem umschließenden Zylinder zu vergleichen. Dies ist ein komplizierter Begriff, dass die von der Länge des Umfangs eines Kreises, aber es ist ähnlich. In der Einleitung zu `Sphäre und Zylinder‘ formuliert er zwei Axiome, die genau sind, was er hier braucht, obwohl er nicht sehr ins Detail geht, oder seine Formulierungen rechtfertigen. In einer Art und Weise weicht dies nur die Schwierigkeiten, aber zugleich ist es sehr clever - es konzentriert sich auf die Schwierigkeiten in zwei relativ einfachen Ansprüche, in der Tat, sie zu verschieben.
Die erste von Archimedes' Axiome ist die einfachste Vergleich der Kurven möglich.
Axiom 1. Das Liniensegment zwischen zwei Punkten ist kürzer als alle anderen Pfad zwischen ihnen.
Die zweite ist subtiler.
Axiom 2. Es seien zwei Punkte $ P $ und $ Q $ gegeben werden. Angenommen, zwei Pfade von $ P $ auf $ Q $ gegeben sind, die beide konkave Bögen auf einer Seite des Segments PQ $ $. Wenn einer von ihnen im Innern des von den anderen und dem Liniensegment von P $ $ $ Q $ bis begrenzten Bereich enthalten ist, ist es die kürzer.
Ein Pfad von $ P $ auf $ Q $, die auf der einen Seite von $ $ PQ liegt, ist die konkav sein, wenn der Bereich, der durch den Weg begrenzt und das Segment $ $ PQ konvex ist. Soweit ich weiß, es war Archimedes, die diese zunächst in der Mathematik verwendet.
Ich werde diese Axiome in einem Moment diskutieren, aber lassen Sie mich zuerst zeigen, wie Anspruch (3) folgt. In unseren ursprünglichen Figur von T $ $ Dreiecks in kleinere Dreiecke unterteilt, die jeweils die kleineren Dreiecke aufweist Basis gleich der Länge des Bogens $ $ PBQ im folgenden Bild, während jeder Höhe $ $ OP ist. Aber nach Axiom 1 die Länge des Bogens $ PBQ $ größer als $ PQ $, während es von Euclid III.2 folgt, dass $ OB $ größer als $ OA $. Anwenden von Symmetrie bedeutet dieser Anspruch (3), in diesem Fall und sollte vorschlagen, wie die Begründung im Allgemeinen geht.
Axiom 2 wird in Teil II des Beweises von Archimedes' Theorem verwendet.
Jetzt sind links fragen wir, wie überzeugte Archimedes sich der Axiome oben?
Was rechtfertigt Axiome Archimedes?
Lassen Sie uns zunächst bei Axiom 1 aussehen. Im einfachsten Fall sind wir zu behaupten, dass die Länge einer Seite in einem Dreieck kleiner ist als die Summe der Längen der anderen zwei Seiten. Dies ist Euclid I.21 und bildet die Grundlage für den Nachweis der übrigen Fälle, die durch Induktion geht, die auf informeller Basis zu Euclid vertraut war. Nehmen wir zum Beispiel, dass wir einen Streckenzug $ P_ $, $ P_ $, $ P_ $, $ P_ = Q $ von drei Segmenten von $ P $ auf $ Q $ gegeben. Zeichnen Sie das Segment $ P P_ $ und gelten Euclid I.21: $$ PQ < PP_ + P_Q < (PP_ + P_P_) + P_Q \. $$
Und so weiter, wie Euklid könnte sagen.
Axiom 2 ist interessanter. Auch hier sehen Sie einen einfachen Fall, in dem die innere Kurve wurde aus zwei Segmenten besteht.
Wir wollen wissen, dass die Länge des inneren Weg ist geringer als die des äußeren Pfad: $$ PQ_ + Q_Q < PP_ + P_P_ + P_Q \. $$
Der Trick ist $ $ PQ_ bis $ R $ erstreckt, der Schnittpunkt der Linie $ $ PQ_ mit dem oberen Weg. Dieser Punkt existiert und einzigartig ist, gerade weil (a) das Innere des geschlossenen Weges $ $ PP_P_QP konvex und (b) $ $ PQ_ liegt in seinem Innern.
Anwenden von Axiom 1 zweimal bekommen wir $$ \ eqalign < PR -< PP_ + P_P_ + P_R \cr Q_Q -< Q_R + RQ \cr PQ_ + Q_Q -< PQ_ + Q_R + RQ \cr -= PR + RQ \cr -< PP_ + P_P_ + P_R \. > $$
Im Allgemeinen können wir Induktion über die Anzahl der Segmente in dem inneren Weg, wie die Figur auf der linken Seite schlägt gelten:
- Archimedes, `Kugel und Zylinder I‚und `Messung des Kreises‘, in T. L. Heath Übersetzung von Archimedes' Werken. Veröffentlicht von Cambridge University Press 1897, von Dover nachgedruckt.
Die Version des Aufsatzes auf dem Kreis, die J. L. Heiberg verfügbar war (auf dessen griechische Ausgabe Heath stützte seine Übersetzung) war etwas chaotisch. Es wird gesagt, jetzt eine Kopie dieser Arbeit im Archimedes Codex sein wird bearbeitet (langsam) durch Reviel Netz, aber ich weiß nicht, ob es viel anders aus, was Heiberg und Heath in der Hand hatte.
Euklid, Die Elemente. Übersetzt ins Englische von T. L. Heath, ursprünglich veröffentlicht von Cambridge University Press, und von Dover nachgedruckt.
Otto Toeplitz, The Calculus: ein genetischer Ansatz. University of Chicago Press, 1963.
Dieses Buch wurde von einem ziemlich vollständigen Manuskript nach dem Tod des Autors gefunden produziert. Es ist ein bisschen zu exzentrisch für einen praktischen Kalkül Text, das ist, was der Autor beabsichtigt zu haben scheint, aber es ist sehr originell und oft brillant. Kapitel I beginnt mit einer Diskussion darüber, wie die alten Griechen mit unendlichen Prozessen behandelt, und ist einer der wenigen Orte in der modernen Literatur, wo man eine intelligente Diskussion über finden können, wie sie dachte an Grenzen. Es war aus diesem Buch, das ich zum ersten Mal über die Methode der Erschöpfung gelernt.
Der Eintrag Wikipedia auf Madhava und die Serie für den Mathematiker aus Kerala entdeckt $ \ pi $.
Dieser Teil der Geschichte fehlt aus dem Buch von Arndt und Haenel.
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