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Einführung
Die Geometrie der linearen Transformationen
Lassen Sie uns, indem Sie auf ein paar einfache Matrizen beginnen, nämlich solche mit zwei Zeilen und zwei Spalten. Unser erstes Beispiel ist die Diagonalmatrix,
Die Wirkung dieser Transformation ist unten gezeigt: Das Flugzeug wird horizontal um einen Faktor 3 gereckt, während es keine vertikale Veränderung.
Ah ha. Man sieht nun, dass diese neue Netz in der gleichen Art und Weise verändert wird, dass das ursprüngliche Gitter durch die Diagonalmatrix umgewandelt wurde: das Gitter um einen Faktor 3 in einer Richtung gestreckt wird.
wo & lgr; i ist ein Skalar. Geometrisch bedeutet dies, dass die Vektoren vi einfach gedehnt und / oder wenn sie von M. multipliziert reflektiert Aufgrund dieser Eigenschaft, die wir Vektoren vieigenvectors von M nennen; die Skalare & lambda; i sind genannt Eigenwerte. Eine wichtige Tatsache, die leicht überprüft wird, ist, daß Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten entsprechen orthogonal sind.
Wenn wir die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix verwenden, um das Raster zu richten, die Matrix erstreckt und reflektiert das Gitter in der gleichen Art und Weise, dass sie die Eigenvektoren der Fall ist.
Die geometrische Beschreibung wir für diese lineare Transformation gab ist einfach: das Gitter nur in eine Richtung gestreckt wird. Weitere allgemeine Matrizen, werden wir fragen, ob wir ein rechtwinkliges Raster finden können, die in einem anderen orthogonalen Raster umgewandelt wird. Lassen Sie uns ein letztes Beispiel unter Verwendung einer Matrix betrachten, die nicht symmetrisch ist:
Diese Matrix stellt die geometrische Wirkung als Scher bekannt.
Wir werden diese Tatsache unter Verwendung von Vektoren ausdrücken: mit einer geeigneten Wahl von orthogonalen Einheitsvektoren v1 und v2. die Vektoren Mv1 Mv2 und sind orthogonal.
Wir werden u1 und u2 bezeichnen Einheitsvektoren in der Richtung von MV1 und Mv2 verwenden. Die Längen von MV1 und Mv2 --denoted von σ1 und & sgr; 2, die Menge --describe, dass das Gitter in diesen besonderen Richtungen gestreckt wird. Diese Zahlen werden die singulären Werte von M. genannt (in diesem Fall die singulären Werte sind das goldene Verhältnis und ihre gegenseitige, aber das ist nicht so wichtig hier.)
Wir haben daher
Das bedeutet, dass
Dies wird in der Regel durch Schreiben ausgedrückt
wobei U eine Matrix ist, deren Spalten die Vektoren u1 und u2. σ ist eine diagonale Matrix, deren Einträge σ1 und σ2. und V eine Matrix ist, deren Spalten V1 und V2. Der hochgestellte Index T auf der Matrix V bezeichnet die transponierte Matrix von V.
Beachten Sie, dass die Haupt- und Nebenachsen von Mv1 und Mv2 definiert sind. Diese Vektoren sind daher die längsten und kürzesten Vektoren unter allen Bildern von Vektoren auf dem Einheitskreis.
Mit anderen Worten, die Funktion | Mx | auf dem Einheitskreis hat ein Maximum bei v1 und ein Minimum bei v2. Dies reduziert das Problem auf ein eher Standard Kalkül Problem, bei dem wir eine Funktion über den Einheitskreis optimieren möchten. Es stellt sich heraus, dass die kritischen Punkte dieser Funktion zu den Eigenvektoren der Matrix M T M. auftreten, da diese Matrix symmetrisch ist, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten entsprechen, orthogonal sein. Dies gibt die Familie von Vektoren vi.
Die Singulärwerte werden dann durch & Sgr; I gegebene = | Mvi |, und die Vektoren ui sind als Einheitsvektoren in Richtung der Mvi erhalten. Aber warum sind die Vektoren ui orthogonal?
Um dies zu erklären, werden wir diese & sgr; i annehmen und & sgr; j sind verschiedene Einzelwerte. Wir haben
Lassen Sie uns, indem Sie auf den Ausdruck MviMvj beginnen und unter der Annahme, für die Bequemlichkeit, dass die singulären Werte ungleich Null sind. Einerseits ist dieser Ausdruck Null ist, da die Vektoren vi. davon sind Eigenvektoren der symmetrischen Matrix M T M orthogonal zueinander sind:
Auf der anderen Seite haben wir
Daher ist ui und uj othogonal so haben wir einen orthogonalen Satz von Vektoren vi gefunden, die in einer anderen orthogonalen Satz ui transformiert wird. Die Singulärwerte beschreiben die Menge an in den verschiedenen Richtungen dehnen.
Ein anderes Beispiel
Lassen Sie uns nun einen Blick auf die singuläre Matrix
Der geometrische Effekt dieser Matrix ist die folgende:
Dieses kurze Beispiel zeigt auf den Anfang eines Feldes als Hauptkomponentenanalyse bekannt. eine Reihe von Techniken, die singulären Werten verwendet Abhängigkeiten und Redundanzen in den Daten zu detektieren.
Referenzen:
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Diejenigen, die JSTOR zugreifen können zumindest die Papiere finden oben erwähnt. Für diejenigen mit Zugang kann der American Mathematical Society MathSciNet verwendet werden, um zusätzliche bibliographische Informationen und Bewertungen einiger dieser Materialien zu erhalten. Einige der oben genannten Elemente können über das ACM-Portal zugegriffen werden. das stellt auch bibliographische Dienstleistungen.
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