Partialbrüche
Ich werde, indem Sie ein Beispiel beginnen Sie ein Gefühl für das Verfahren zu geben. Dann gehe ich zurück und die Schritte in dem Verfahren erläutert. Das Verfahren ist ein bisschen lang und erfordert eine erhebliche Menge an Algebra. Daher muss vor Partialbrüche verwenden, sollten Sie sicher sein, dass es nicht ein einfacherer Weg ist das Integral zu tun.
Zuerst möchte ich eine Formel erwähnen, die oft in diesen Problemen kommt:
Jetzt werde ich die Schritte in dem Verfahren beschreiben. Ein Teil davon wird ein wenig abstrakt erscheinen, bis Sie einige Beispiele zu sehen.
Betrachten wir ein Integral der Form
1. Schritt, wenn der Grad an der Spitze größer oder gleich dem Grad des Bodens, unterteilen die Unterseite in die Oberseite.
Schritt 2. Sie werden nun ein integrales haben, die wie folgt aussieht
Faktor, der den Boden der Fraktion in ein Produkt von linearen Terme und irreduziblen quadratischen Terme.
- Ein linearer Term ist ein Ausdruck, in dem das Variable nur in der ersten Potenz auftritt. Hier sind einige lineare Terme:
- Eine irreduzible quadratische Term ist eine quadratische Term mit nur imaginär (Komplex) Wurzeln. Das heißt, es ist ein quadratisch ist, die „nicht-Faktor“. Hier sind einige irreduziblen quadratischen Terme:
Sie können prüfen, ob eine quadratische mithilfe der allgemeinen quadratische Formel nicht reduzierbar ist ihre Wurzeln zu finden. Wenn die Wurzeln komplexe Zahlen sind, ist die quadratische nicht zu berücksichtigen.
Dies ist das Herz der Partialbrüche Methode. Es ist im Grunde eine Menge Algebra, aber es ist kompliziert genug, dass der beste Weg, es zu beschreiben, ist durch einige Beispiele zu tun.
Die Oberseite hat Grad 3, während der untere Grad 2. Teilen Sie die unten in der Spitze hat:
Lange Teilung in Schritt 1 ist eine vorläufige Operation, die für den Rest des Verfahrens, das integral in die richtige Form bringt. Wenn Sie eine Abteilung zu tun, zu überprüfen, bevor sie auf, um zu sehen, ob Sie eine einfache Technik (wie Substitution) können die Integrale zu tun, haben Sie gewonnen. Manchmal kann man die Integration vervollständigt sofort; Andernfalls müssen Sie gehen zu Schritt 2.
Multiplizieren, um klar Nenner:
Stecken Sie die a und c-Werte zurück in:
Alternativ nimmt Gleichung (*). Multiplizieren Sie sich die b-Term:
Da es sich um eine Identität. Ich kann beiden Seiten unterscheiden:
Schließlich tun das Integral:
Verwendung Partialbrüche? Das heißt, was ist die anfängliche Partialbrüche Gleichung?
Verwendung Partialbrüche? Das heißt, was ist die anfängliche Partialbrüche Gleichung?
Somit wird ein quadratischer Faktor (oder ein quadratischer Faktor zu einer Leistung) wird Bezug auf dem rechte Seite mit „zwei Buchstaben“ oben produzieren.
Die Begründung ist das gleiche wie die, die ich für die wiederholten Faktoren gab. Ich weiß nicht, welche Art von Bruch zu erwarten, so habe ich den allgemeinsten Fall zu übernehmen.
Zu diesem Zeitpunkt habe ich aus „nett“ Zahlen lief für x stecker. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um fortzufahren.
Zweitens, da die Gleichung ist eine Identität. Ich kann . Dadurch erhalte ich
Sie können eine beliebige Kombination von Differenzierung und Einstecken verwenden, die Sie wünschen.
Sie behandeln quadratische Faktoren wiederholt genauso wie lineare Faktoren wiederholt Griff.
Verwendung Partialbrüche? Das heißt, was ist die anfängliche Partialbrüche Gleichung?
Somit wird das Integral
In diesem Fall gibt es keinen Wert von x I-Stecker kann, in der mich erlauben wird, für einen von a, b, c zu lösen, unmittelbar d. Daher werde ich Stecker müssen in und Gleichungen zu erhalten. wo ich später gleichzeitig lösen.
Differenzieren der Gleichung zu erhalten,
Differenzieren Sie ein weiteres Mal:
Daher wird das Integral
Daher wird das Integral
Ich werde die zweite Amtszeit separat tun, da der erste Term einfach. Die Idee ist, den Platz zu füllen, dann eine Substitution:
Jetzt kann ich entweder stecken in einem Wert für x zufällig oder unterscheiden. Ich werde unterscheiden:
Das Integral ist
Ich werde separat die Integrale tun. Zuerst,
Ich kann das erste Integral tun, um eine Substitution mit:
Die zweite erfordert den Platz abgeschlossen.
Putting die beiden zusammen,
Schließlich Antwort auf das ursprüngliche Problem ist