Polyeder aus der fortschreitenden Verkürzung des Würfels durch archimedische abgestumpften Tetraeders Herleiten

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Abstumpfung platonischen Körper

Archimedische abgeschnittene Würfel

Abstumpfung Archimedische Körper

edge-Trunkierung
von rauten Triakontaeder
der archimedische
Ikosaederstumpf

Umgekehrt würde kein Vertex-transitive Polyeder aus dem Abschneideprozess resultieren, auch wenn der Feststoff jede der anderen archimedische Polyeder aufgeführten in 2 wurden die jeweiligen Catalan dual (Fig.6) Trunkieren; Obwohl jedoch nicht äquivalent sind die Scheitelpunkte jeden resultierenden Polyeder alle gleich weit von der Mitte.

DER Tetrahedron ZUM archimedische Tetrahedron TRUNCATED

Das Tetraeder ist der fünfte Platonic Feststoff; es spielt eine einzigartige Rolle bei dem regulären konvexen Polyeder, weil einige Besonderheiten:

• wie bereits in darauf hingewiesen, [6]. beitreten, Ambo, Gyro und Brüskierung nach der Notation [7] vorgeschlagen von John Conway (Abb.16): das Tetraeders kann von den Betreibern genannt zu allen anderen vier platonischen Körpern verbunden werden.

Figur 16 - Betreiber Conway Verknüpfung Tetraeders zu den anderen vier platonischen Körper.

In beiden Sequenzen entsprechen die interessantesten Rahmen zu der Situation, in der das Verhältnis der Abstände der beiden -Tetraedern vom Zentrum bis 5/3 ist gleich: Die resultierende Feststoff ist der archimedische abgestumpfte Tetraeders. Infact es ist ein semi-reguläre Polyeder, da die Flächen des Kürzen Tetrahedron, nämlich der weiter entfernt von dem Zentrum des festen, die Form gleichseitiger Dreiecke haben, wohingegen die Flächen des abgestumpften Tetrahedron, der einen näher an der Mitte sind regelmäßige Sechsecken (Fig. 18); Darüber hinaus ist es auch-transitive Vertex-, wobei jeder seiner Ecken, durch eine dreieckige geteilt und zwei Sechskantflächen der beiden Tetraedern, die alle durch die Wirkung der Elemente Symmetrie äquivalenten Charakterisieren es.

FIG.18 - Paar von Ansichten des archimedische abgestumpften Tetrahedron, erhält, wenn der Wert des Verhältnis D / d zwischen den Abständen von den Tetraedern und von der Mitte des Festes ist 5/3 (links) oder 3/5 (rechts) .

Es ist wichtig, darauf hinzuweisen, daß der zwei Kegel -Tetraedern in Fig.18 nicht gezeigt ist chiral, durch eine Drehung kongruent 90 wird, ebenso wie das Paar von Dual-Tetraedern; in der Praxis sind sie zwei alternative Ansichten eines einzigartigen archimedische abgeschnittenen Tetraeders.
Das gleiche gilt für das Paar von Triakis-Tetraedern, in 19 gezeigt. wobei die (links) oder das (auf der rechten Seite) Triakis-Tetraeders. Sie sind zwei alternative Ansichten des katalanischen Triakis-Tetraeders, dual des Archimedes abgeschnittenen Tetraeders.

Figur 19 - Paar kongruenter Catalan Triakis-Tetraedern und duals des archimedische abgestumpften Tetrahedron, eingestellt in zwei alternativen Ausrichtungen um 90 Grad auseinander liegen. In jedem Catalan Polyeder alle Diederwinkel zwischen Paaren von aneinander angrenzenden Flächen haben einen konstanten Wert: Im Falle des Triakis-Tetraeders ein solcher Wert ist 50,48 ..

Schnittpunkt zwischen der archimedische TRUNCATED Tetrahedron UND DER CUBE
Im Allgemeinen kann der Schnittpunkt der abgestumpften -Tetraedern mit einem anderen Polyeders zu seinen weiteren Abschneide führen.
Wie es in einem nächsten Papier dargestellt wird, eine Reihe von Scheitelpunkt-transitiven Polyeder kann im Fall der 4 3m Punktgruppensymmetrie erhalten werden, die durch den Schnitt eines jeden abgeschnittenen Tetraeders mit einem Würfel mit progressiv reduzierten Abmessungen: insbesondere dem folgende animierte Sequenz (Fig. 21) beschreibt die Kante Trunkierung von einer dritten Potenz des archimedische abgestumpften Tetraeders.

Die Wahl der ausgewählten Frames aus der Folge ermöglicht die interessanteren Schritte des kantenAbschneideProzeß (linke Spalte von Fig. 22) und die relativen duals hervorzuheben sind in der rechten Spalte gezeigt. Die untere Reihe jeden Frames berichtet auch die entsprechende stereographische Projektion zwischen den Ansichten entlang der vertikalen [001] -Richtung des Paares von Dual-Polyeder.

Zwischen Polyeder (und relative duals), die aus der fortschreitenden Verkürzung des archimedische abgestumpften Tetraeders durch einen Würfel

Fig: 22 - ausgewählter Rahmen der animierten Sequenz, die in Figur 20 berichtete, desto signifikante Schritte der fortschreitenden Verkürzung durch eine dritte Potenz des archimedische abgestumpften Tetraeders veranschaulicht. Das Polyeder in jedem Schritt erhalten wird, auf der linken Seite der oberen Reihe gezeigt, während die relative dual auf der rechten Seite gezeigt ist; Die stereographische Projektion der Flächen des dualen Polyeder ist in der unteren Reihe, zwischen den Ansichten entlang der vertikalen [001] -Richtung des Paares von Dual Polyeder berichtet.

Eine detaillierte Beschreibung der Formen in jeder Stufe des Abschneideprozesses (und auch das relativen duals) erhalten wird, in der folgenden Tabelle angegeben.

Wenn 1,0 d = Seitenflächen des Würfels sind nur tangential zu sechs Kanten des archimedische abgestumpften Tetraeders und do intersecate es nicht darum der Feststoff in (a) besteht in der archimedischen abgestumpften Tetrahedron, aus dreieckigen und hexagonalen Flächen, sowohl regelmäßig, und der Feststoff in (a ') besteht, in seiner Doppel, der katalanischen Triakis-Tetrahedron, zwölf Flächen hat.

Als Folge des Beginns der Trunkierung des Würfels, nehmen die Flächen von beiden -Tetraedern kommen, um die Form eines nicht regelmäßigen Sechseck, während die Seitenflächen des Würfels sind rechteckig; da jeder Knoten (durch drei Flächen geteilt wird, einer des Würfels und zwei der verschiedenen Tetraedern) durch die Symmetrie zu allen anderen 23 Vertices äquivalent ist, ist die Form, in (b) ecken transitive (oder isogonal) und ihre Dual gezeigt in (b ') ist das Gesicht-transitive (oder isohedral) Hexakis-Tetrahedron, mit vierundzwanzig Gesichtern.

In (c) werden die kleineren hexagonalen Flächen in Folge der erhöhten Trunkierung reguläre; Folglich wird in dem Dual-Hexakis Tetraeders in (c ') gezeigt. der Diederwinkel zwischen jedem Paar von aneinander angrenzenden Flächen in dem Satz von sechs Flächen enthielt einen Scheitelpunkt entlang die Richtung Teile [111] sind alle gleich (17,860.).

In (d) die Stirnflächen von beiden -Tetraedern abgeleitet sind wieder die Form der nicht-regulären Hexagons; die duale isohedral Form, in (d ') gezeigt. ist der Hexakis-Tetraeders.

Abschließend in Fig.23 kann man die animierte Sequenz relativ zu den duals der Formen siehe berichtet in Abbildung 21.