Primfaktorzerlegung, Primfaktorzerlegung Beispiele
Primfaktorzerlegung ist ein Verfahren zur Herstellung einer Zahl in ihre Primfaktoren zu reduzieren.
Primfaktorzerlegung ist aus zwei Wörtern prime und Faktorisierung aus, in denen prime alle Primzahlen impliziert und Faktorisierung impliziert alle Faktoren.
Somit kann durch diese beiden Wörter kombinieren, erhalten wir Primfaktorzerlegung als Äquivalent für Primfaktoren einer Reihe zu bekommen.
Jetzt können wir die Bedeutung der Primfaktorzerlegung definieren, die wie folgt lautet:
Primfaktorzerlegung Definition: Primfaktorzerlegung ist eine Methode, um alle Primzahlen zu finden, die, wenn sie miteinander gibt uns das Ergebnis der ursprünglichen Zahl gegeben multipliziert, deren Faktoren zu finden sind. jede Zahl größer als 1 Man beachte, dass, als das Produkt der Primfaktoren ausgedrückt werden, und daher Primfaktorenzerlegung ist ein Verfahren, eine beliebige Anzahl in ihr Produkt von Primfaktoren zu reduzieren.
Es gibt viele Methoden zum Auffinden der Primfaktorzerlegung einer beliebigen Anzahl aus. Einige von ihnen sind unten aufgeführt:
Methode Nummer 1:
Die Verfahrensabteilung Verfahren zur Primfaktorzerlegung:
Dieses Verfahren ist das am häufigsten verwendeten Verfahren, in dem die gegebenen Zahl von jedem mindestens Faktor der Anzahl dividiert wird und dann wieder die resultierende Zahl mit einem anderen Faktor dividiert, bis wir den Rest Null erhalten.
Methode Nummer 3:
Algorithmus basiert auf Fermats Arbeit: Auch als Fermats Algorithmus bekannt:
Dieser Algorithmus basiert auf der Tatsache, dass, wenn eine bestimmte Anzahl kann als die Differenz zwischen den Quadraten geschrieben werden, dann können wir die Anzahl, wie folgend faktorisieren:
Dieser Algorithmus geht von den folgenden Schritten:
Schritt 1 . Es sei n eine Zahl, deren Primfaktorzerlegung sein hat dann getan werden, wenn
n = x 2 - y 2 = (x + y) * (x - y)
Schritt 2 . Wenn n = a * b, wobei b $ \ geq $ a, dann können wir x und y als x = $ \ frac schreiben< 2>$ und
$ Y $ = $ \ frac $
Das Hauptziel ist, den Wert von x und y zu erhalten, so dass n = x 2 - y 2 und somit können wir mit dem Wert von x als mod der Quadratwurzel von n starten.
Betrachten Sie das folgende Beispiel für die Primfaktoren von 12317 zu finden, dann die oben genannten Schritte würden wir erhalten:
Hier ist der Wert von n 12317. der Anfangswert von x Let 111. Jetzt wird x 2 - 4 = n, wobei 4 ist das Quadrat von 2 und daher wird der Wert von y 2. Daher werden die Primfaktoren von 12317 sind, x - 2 und x + 2, die, indem sie den Wert von x 109 und 113, werden herauskommen würde.
Methode Nummer 4:
Algorithmus basiert auf Eulers Werk:
Auch bekannt als Euler-Algorithmus: Dieser Algorithmus basiert auf der Tatsache, dass, wenn eine bestimmte Anzahl kann als die Summe der Quadrate der beiden Zahlen geschrieben werden.
Zum Beispiel: 72 prime faktorisierter sein von uns gibt die Primfaktoren als
72 = 2 3 x 3 2
Nun ist der Wert des Exponenten von 2, 3, nun Zugabe von 1 bis 3 4.
Hinzufügen von 1 bis Exponenten von 3, die 2 gibt uns 3.
Jetzt 4 Multiplikation x 3 = 12. Daher ist die gesamte Anzahl von Faktoren, die 72 hat die Nummer 12 ist, was wahr ist, wie 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 24, 36 und 72 , sind alle Faktoren von 72, die, wenn es 12 in Zahlen gezählt.
Formel 2:
Eulersche Formel:
Diese Formel basiert auf dem bekannten Euler-Algorithmus, der von den folgenden Schritten beginnt:
Schritt 1: Es sei n eine ungerade Zahl ist, deren Primfaktorzerlegung hat sein dann getan werden, wenn
n = a 2 + b 2
Man nehme auch an, dass n kann auch als Summe der Quadrate von zwei anderen Zahlen ausgedrückt werden, so dass,
n = c 2 + d 2
Schritt 2: Nun wird ein 2 + b 2 = c 2 + d 2 bedeutet dies, ein 2 - c 2 = d 2 - b 2 oder
(A + c) (a - b) = (b + d) (b - d).
Schritt 3: Wenn der größte gemeinsame Faktor a - c und d - b k ist, dann schreiben wir,
a - c = k * l, d - b = k * m, und G.C.D von (l, m) gleich TO1.
Schritt 4: Nun, L und M sind relative Primzahlen zueinander sind, und daher, l (a + c) = M (d + b), und daher ist a + c kann durch m geteilt werden, und daher,
a + c = m * n und d + b = l * n.
Schritt 5: Dann wäre n gleich $ [(\ frac) ^ + (\ frac) ^] $ $ (m ^ + ^ l) $.
Ebenso können wir die Primfaktorzerlegung von anderen Zahlen finden auch, nur um in der oben stehenden Tabelle schauen, um die Primfaktorzerlegung von ersten 100 Zahlen zeigt.
Zum Beispiel: die Primfaktorzerlegung von 101 würde 101 nur sein, weil 101 eine Primzahl ist.
Die prime Faktorisierung von 102 = 2 x 3 x 17.
Die Primfaktorzerlegung von 103 = 103, und so weiter.
2). 62 = 2 x 31 Beachten Sie, dass es nur zwei Primfaktoren von 62, einer ist 31, die eine Primzahl ist und das andere ist ein 2, das ist auch ein Hauptfaktor, aber 2 ist eine gerade Zahl.
3). 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Beachten Sie, dass es 6 Primfaktoren; alle sind gleich 2, die eine gerade Zahl ist.
4). 35 = 5 x 7. Man beachte, dass es nur zwei Primfaktoren von 35, von denen beide Primzahl 5 und 7 sind.
5). 22 = 2 x 11. Man beachte, dass es nur zwei Primfaktoren von 22, von denen beide Primzahlen sind.
6). 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Beachten Sie, dass es 5 Primfaktoren; alle sind gleich 2 ist, die ein noch Primzahl ist.
Als wir die Primfaktorzerlegung einer Zahl, auf ähnliche Art und Weise tun, können wir Faktorisierung einer Variablen tun, auch durch ihre Koeffizienten als Produkt von Primzahlen schreiben und den ganzen Rest der Variablen mit Exponenten 1 oder mit der Kraft geschrieben Variablen 1.
Somit kann eine Variable auch als Monom in der algebraischen Bedingungen bekannt ist, (wie der Koeffizient immer mindestens einer oder mehrere sein wird als das) kann auch als Produkt der Zahlen faktorisiert werden, -1 und die Variablen ohne Befugnisse oder Exponenten größer gleich eins ist.
Beispielsweise:
betrachten Sie die folgende prime Faktorisierung von Monome der eine Variable zu ist, gegeben als -6xy 2.
Nun ist die erste Sache, wäre seine Koeffizienten Zahl faktorisiert, die gleich 6 ist und somit -6 = -2 x 3. Daher -2 und 3 sind die Faktoren der Variablen zu.
Jetzt nächste Sache ist xy = 2 x faktorisieren. y. y, y wie die Kraft hat, 2, und wir müssen die Variablen als Leistung nur gleich eins schreiben.
Somit kann durch die Multiplikationszeichen alle Faktoren zusammen kombinieren, erhalten wir:
-6xy 2 = -2. 3. x. y. y, die die prime Faktorisierung von -6xy 2 ist.
Im Folgenden sind einige Beispiele dafür, wie Primfaktorzerlegung einer Variablen oder Variablen zu finden:
1) .81 z 2. Die Primfaktorenzerlegung dieser Variablen wäre gleich
3 ⋅ ⋅ 3 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ Z z = z 2 81
2). 14 m: Die prime Faktorisierung dieser Variablen gleich sein würde 2⋅7⋅m = 14 m.
3). 92 ab: Die Primfaktorzerlegung dieser Variablen wäre gleich 2⋅2⋅23⋅a⋅b
4). 8 a 3 b: Die prime Faktorisierung dieser Variablen wäre gleich 2⋅2⋅2⋅a⋅a⋅a⋅b
5). R 32 3 s 5. Die Primfaktorenzerlegung dieser Variablen wäre gleich 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅r⋅r⋅s⋅s⋅s⋅s⋅s
In ähnlicher Weise können wir die Primfaktorzerlegung aller anderen Variablen mit höheren Leistungen finden.
Exponenten werden als die Kräfte der jeder gegebenen Zahl bekannt. Und da wir wissen, dass eine Reihe als Produkt ihrer Primfaktoren ausgedrückt werden, so ist es durchaus möglich, dass wir viele Primfaktoren haben könnten, die sich oft wiederholen. Anstatt also diese Faktoren einzeln wieder zu schreiben und wieder können wir sie in Exponenten Form schreiben, um die Faktoren in einer einfacheren Art und Weise geschrieben werden.
Betrachten Sie die Primfaktorzerlegung von 40, und dann werden wir erhalten die folgende:
Statt also 40 = 2 x 2 x 2 x 5 schreiben, können wir diese Faktoren von 40 in ihre Exponent Form wie 40 = 2 3 x 5 schreiben, wie 2 3 mal in der Primfaktorzerlegung von 40 erscheinen.
Ein Exponent oder Potenz einer Zahl zeigt, dass, wie oft die Zahl verwendet wird, ein Faktor für eine bestimmte gegebene Zahl ist.
Im Folgenden sind einige Beispiele dafür, wie Primfaktorzerlegung einer Zahl in Exponenten Form geschrieben zu finden:
1). 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3. Beachten Sie, dass wir in Exponenten Form die Primfaktorzerlegung von 72 = 2 3 x 3 2 schreiben.
2). 30 = 2 x 3 x 5. In Exponenten Form werden wir die prime Faktorisierung von 30 x = 2 1 3 1 5 1 x schreiben.
3). 27 = 3 x 3 x 3. Exponent Form werden wir die Primfaktorzerlegung von 27 = 3 3 schreiben.
4). 104 = 2 x 2 x 2 x 13. In Exponenten Form werden wir die Primfaktorzerlegung von 104 = 2 3 x 13 1 schreiben.
5). 76 = 2 x 2 x 19. In Exponenten Form werden wir die prime Faktorisierung von 76 = 2 2 x 19 1 schreiben.
6). 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3. In Exponenten Form wir die prime Faktorisierung von 48 = 2 4 x 3 1 schreiben
7). 100 = 2 x 2 x 5 x 5. In Exponenten Form werden wir die Primfaktorzerlegung von 100 = 2 2 x 5 2 schreiben.
8). 63 = 3 x 3 x 7. Un Exponent Form wir die prime Faktorisierung von 63 = 3 x 2 7 1 schreiben.
Das Folgende ist die Liste von einigen gelösten Beispielen für Primfaktorzerlegung von Zahlen:
Beispiel 1: Finden Sie die Primfaktoren der Zahl 24 und es als das Produkt von Primfaktoren ausdrücken, indem die Exponenten Notationen.
Lösung: Durch die übliche Aufteilung Methode wir, dass gefunden:
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 $ ^ $ 3 x 3.
Daher ist der Exponent Notation für die Faktoren 24 gleich 2 ist 3 x 3 1.
Beispiel 2: Express jede der folgenden Nummer im folgenden als das Produkt ihrer Primfaktoren gegeben durch jedes Verfahren von Primfaktorenzerlegung verwenden und daher schreibt ihre Primfaktoren. Verwenden Sie die Exponenten-Darstellung, wenn der gleiche Faktor wird mehr als einmal zu wiederholen.
1) 35
2) 112
3) 153
4) 145
5) 125
6) 172
7) 196
8) 189
Lösung:
1) 35 = 5 x 7. Daher sind die Primfaktoren von 35 5 und 7.
2) 112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7. Daher sind die Primfaktoren von 112 2 und 7. Da, 2 wiederholt 4mal daher können wir in Exponent Form schreiben, 112 = 2 7 1 4 x .
3) 153 = 3 x 3 x 17. Somit sind die Primfaktoren von 153 sind 3 und 17. Da wird 3 2-mal zu wiederholen, also in Exponenten Form schreiben wir, 153 = 3 x 17 2 1.
4) 145 = 5 x 29. Somit sind die Primfaktoren von 145 5 und 29.
5) 125 = 5 x 5 x 5. Daher ist der wichtigste Faktor von 125 5 nur. Da 5 wiederholt 3 mal, also in Exponenten Form können wir schreiben, 125 = 5 3.
6) 172 = 2 x 2 x 43. Somit sind die Primfaktoren von 172 2 und 43. Da, 2 sind 3-mal wiederholt wird, also in Exponenten Form schreiben wir, 172 = 2 2 x 43 1.
7) 196 = 2 x 2 x 7 x 7. Daher sind die Primfaktoren von 196 sind 2 und 7. Da sowohl 2 und 7 wiederholen 2mal daher können wir in Exponenten Form schreiben, 196 = 2 2 x 7 2.
8) 189 = 3 x 3 x 3 x 7. Daher sind die Primfaktoren von 189 3 und 7. Da, 3 wiederholt 3mal daher in Exponent Form schreiben wir, 189 = 3 x 3 7.