Standardformular für lineare Gleichungen

Diese Seite geht davon aus, dass der Leser die folgenden Konzepte versteht:

Die Koordinatenebene.
Graphische Darstellung von Linien auf der Koordinatenebene.
Steigung und y-Achsenabschnitt für eine lineare Gleichungen.
Slope Intercept-Form für die linearen Gleichungen y = x m + b.
Punkt-Steigungs-Form für die linearen Gleichungen, y # 150; y1 = m (x # 150; x1).
Gleichungen von parallelen Linien haben die gleiche Steigung.
Gleichungen der senkrechten Linien haben entweder
- eine horizontal ist und die andere vertikal, oder
- Hängen, die geben multiplizieren -1

Ax + By = C Standardformular für eine lineare Gleichung in zwei Variablen x und y: Diese Seite wird auf all dies durch eine Prüfung der Standardform für lineare Gleichungen bauen. Wenn wir in der Regel als Ax + By = C, wo, wenn überhaupt möglich, A, B und C sind ganze Zahlen gegeben, und A nicht negativ ist, und A, B und C hat keine gemeinsamen anderen Faktoren als 1 eine lineare Gleichung in Steigungsabschnitt-Form y = mx + b wir diese Gleichung in Standard Form ändern können. Dazu benötigen wir die Steigung und die Ordinate des y-Intercept in rationale Zahl Form zum Ausdruck bringen, das heißt, als Quotient zweier ganzer Zahlen. Für die Art der Probleme, die wir in der Regel in Mathe Klassen finden, dann ist dies eine Forderung nicht viel. Die Steigung ist definiert als die Änderung in y durch die Änderung in x geteilt werden. Wenn wir also die Steigung als y Änderung / x Änderung auszudrücken, haben wir unsere erste Forderung erfüllt. Die Ordinate des y-Achsenabschnitt in der Regel folgt dem gleichen Schema, so kann man diesen Wert, der „b“ in y = mx + b, als Quotient zweier ganzer Zahlen auszudrücken, die wir b_num und b_den nennen. Das heißt, unsere Steigungsabschnitt-Form y = mx + b kann als y = (y Ändern / x ändern) neu geschrieben werden x + b_num / b_den Wenn wir beiden Seiten der Gleichung durch die kleinste gemeinsame Vielfache von x change „und“ multiplizieren b_den“, wird die resultierende Gleichung keine Brüche haben. Dieser wird als Dy erscheint = Ex + F, wobei D, E und F ganze Zahlen sind. Dann fügen wir # 150; Ex zu beiden Seiten der Gleichungen zu erhalten # 150; Ex + Dy = F Um dies in Standardform erhalten wir die Koeffizienten von x nicht negativ sein wollen. Ob # 150; E ist eigentlich negativ, dann können wir beide Seiten der Gleichung multiplizieren sein # 150; 1. In jedem Fall erhalten wir eine Gleichung, die sich die Standardform hat, Ax + By = C, wo, wenn überhaupt möglich, A, B und C ganze Zahlen sind und A nicht negativ ist, und, A, B und C haben keine gemeinsamen anderen Faktoren als 1. uns einige Beispiele betrachten lassen.

Das erste Beispiel wird die komplexeste sein. Wir beginnen mit y = (5/6) x + 7/4 Unser erster Schritt ist durch das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 4, nämlich 12. 12Y = 12 ((5/6) x + 7/4, beide Seiten zu multiplizieren, ) 12Y = (12) (5/6) x + (12) (7/4) = 10x 12y + 21 Jetzt haben wir alle Fraktionen entfernt wird, bringen wir den Begriff x auf der linken Seite. # 150; 10x + y = 21 und, da der KOEFFIZIENT von x negativ ist, multiplizieren wir beide Seiten durch # 150; 1. ( # 150; 1) ( # 150; 10x + 12y) = ( # 150; 1) (21) Dies erzeugt das gewünschte Ergebnis, die Standardform 10x + # 150; 12j = # 150; 21

Ein weiteres Beispiel wäre mit y beginnen = (1/3) x + 5/6 Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3, und 6 ist 6, so multiplizieren wir beide Seiten durch 6, um die Fraktionen zu löschen 6j = 6 ((1/3) x + 5/6) = 6j (6) ((1/3) x + (6) (5/6) = 2x + 6y 5 Wir fügen # 150; 2x auf beiden Seiten zu geben # 150; 2x + 6j = + 5 Und wir machen den Leitkoeffizient von x durch Multiplikation beiden Seiten positiv sein durch # 150; 1. ( # 150; 1) ( # 150; 2x + 6y) = ( # 150; 1) (5) ( # 150; 1) ( # 150; 2x) + ( # 150; 1) (6) y) = # 150; 5 2x + # 150; 6j = # 150; 5, die in Standardform ist.

Ein drittes Beispiel ist die Steigungsabschnitt-Form y = # 150; 2x + 8 Hier haben wir keine Notwendigkeit Fraktionen zu löschen. Wir können die Größe x auf der linken Seite bewegen, indem 2x auf beiden Seiten hinzufügen. 2x + y = 8 Und dies ist bereits in der Standardform. Wir haben gesehen, dass wir Steigungsabschnitt-Form Gleichungen in Standardform Gleichungen verwandeln kann. Aber warum sollten wir dies tun wollen? Es gibt eine Reihe von Gründen. Erstens ermöglicht Standard-Formular, um uns die Gleichungen für vertikale Linien zu schreiben, die in Steigungsabschnitt-Form nicht möglich ist. Denken Sie daran, dass vertikale Linien eine undefinierte Steigung haben (weshalb wir sie in Steigungsabschnitt-Form nicht schreiben kann). Jedoch ist die vertikale Linie durch den Punkt (4,7) die Standardform Gleichung 1 x 0 + y = 4, die wir in der noch einfacher Form x = 4 [Man beachte, dass die horizontale Linie durch den Punkt schreiben könnten (4, 7) die Steigungsabschnitt-Form y = +7 0x, und die Standardform 0x + 1y = 7. Dieses Beispiel zeigt, warum wir für die Leitkoeffizient von x fragen „nicht-negativ“ zu sein, statt zu fragen, denn es „positiv“ zu sein. Für horizontale Linien, muss dieser Koeffizient von x gleich Null sein.]

Ein zweiter Grund für die Gleichungen in Standardform setzen ist, dass es uns eine Technik zur Lösung linearer Gleichungssysteme nutzen kann. Dieses Thema wird erst später im Kurs behandelt werden wir an dieser Stelle Standardform so nicht brauchen. Allerdings wird es später sehr nützlich sein.

Ein dritter Grund Standardform zu verwenden ist, dass es vereinfacht die parallelen und senkrechten Linien zu finden. Sehen wir uns den typischen parallelen Linie Problem suchen. Findet die Gleichung der Linie, die zu der Linie parallel ist 3x + 4y = 17 und enthält den Punkt (2,8). Der üblicher Ansatz für dieses Problem ist die Neigung der gegebenen Linie zu finden und dann diese Neigung zu verwenden, zusammen mit dem gegebenen Punkt im Punkt-Steigungs-Form für eine lineare Gleichung. Wenn wir jedoch in der Standardform einer linearen Gleichung aussehen, Ax + By = C und wir bewegen den Ax Begriff auf die andere Seite von = # 150; A x + C und teilen wir beide Seiten durch B, B nicht Null ist, vorausgesetzt, erhalten wir y = ( # 150; A / B) x + C / B, die die Steigungsabschnitt-Form vorliegt. Von dieser Form sehen wir, dass die Steigung # 150; A / B. Jede Linie parallel zu der gegebenen Linie müssen die gleiche Neigung aufweisen. Natürlich sind die einzigen Werte, die Steigung zu beeinflussen A und B aus der ursprünglichen Standardform. Deshalb, solange A und B nicht ändern, jede Zeile, die eine Standard-Form Ax + By = wird H auf der Linie Ax + By = C parallel sein, wenn wir auf das ursprüngliche Problem zurückzukehren „Finden Sie die Gleichung der Linie, die auf der Linie parallel ist 3x + 4y = 17 und enthält den Punkt (2,8)“können wir sehen, dass die Antwort wie 3x aussehen muss + 4j = H und wir müssen nur den Wert von H. natürlich finden auch wissen wir, dass der Punkt (2,8) muss die Gleichung wahr machen, so 3 (2) + 48 = H wahr sein muss. Das bedeutet aber, dass wir 6 + 32 = H oder 38 = H Weil wir den Wert von H wissen, haben wir die vollständige Antwort 3x + 4y = 38 Jedes Mal, wenn wir eine Standardform linearen Gleichungen gegeben und wir werden gebeten, das zu finden, Gleichung einer parallelen Linie durch einen gegebenen Punkt, wissen wir, dass die Antwort genau wie die ursprüngliche Gleichung aussehen wird, aber es wird einen anderen konstanten Wert hat. Wir können diesen Wert finden, indem die Gleichung Arbeit machen, wenn wir den intitial Punkt in die Gleichungen ersetzen. „Finde die Gleichung der Linie, die auf die Linie parallel 2x + ist # 150; 5j = # 150; 19 und enthält den Punkt (4, # 150; 7)“Die Antwort muss aussehen Linie 2x + # 150; 5j = H und (4, # 150; 7) muss es wahr machen. Daher, 2 (4) + # 150; 5 ( # 150; 7) = H 8 + 35 = H43 = H und das gibt uns die Lösung 2x + # 150; 5j = 43

Wir haben gesehen, dass parallele Linien in der Standardform Ax + By = C die Werte von A und B haben die gleiche bleiben. Was wissen wir über senkrechte Linien? Lassen Sie uns auf zwei Linien sehen, in Standard-Form Ax + By = CBx + # 150; Ay = D Die Steigung der erste ist # 150; A / B und die Steigung der zweiten ist B / A. Wenn wir diese zusammen multiplizieren erhalten wir ( # 150; AB) / (AB) oder # 150; 1. Diese Leitungen müssen senkrecht sein. Wenn wir unser übliches „senkrechte Linie Problem“ nehmen „findet die Gleichung der Linie, die die Linie senkrecht ist 3x + 4y = 17 und enthält den Punkt (2,8):“ Wir wissen, dass die Antwort aussehen wird müssen 4x + # 150; 3J = D, wo wir die Position des „A“ und „B“ Koeffizienten eingeschaltet haben, und wir haben die Zeichen von einem von ihnen verändert. Darüber hinaus wissen wir, dass der Punkt (2,8) wird diese neue Gleichung wahr machen, also 4 (2) + # 150; 3 (8) = D8 + # 150; 24 = D # 150; Daher 16 = D ist die Antwort die Standardform lineare Gleichung 4x + # 150; 3J = # 150; 16

„Finde die Gleichung der Linie, die auf die Linie senkrecht 2x + # 150; 5j = # 150; 19 und enthält den Punkt (4, # 150; 7).“Die Antwort muss 5x aussehen Linie + 2y = D wir umkehren nur die Positionen der‚A‘und‚B‘Werte und wir kehren die Zeichen einer von ihnen, und (4, # 150; 7) muss es wahr machen. Daher, 5 (4) + 2 ( # 150; 7) = D 20 + # 150; 14 = D6 = D und das gibt uns die Lösung 5x + 4j = 6

Von der Präsentation oben können wir sehen, dass wir ohne jemals zu finden, die Steigung der ursprünglichen Linie und ohne Verwendung der Punkt-Steigungs-Form einer linearen Gleichung die „üblichen“ parallel und senkrecht Linie Probleme in nur wenigen Schritten tun können.

Der Vollständigkeit halber sollten wir unsere Methoden mit horizontalen und vertikalen Linien überprüfen. Die Standardform für eine horizontale Linie ist 0x + 1y = C. Eine weitere horizontale Linie, ein parallel zum ersten, hat immer noch die Form 0x + 1y = D. Daher wird unsere Regel für die Suche nach parallelen Linien immer noch funktionieren. Wir verlassen gerade das „A“ und „B“ die gleichen Werte und einen neuen Wert für „D“ finden, indem die Koordinaten des äußeren Punkt zu ersetzen.

Die Standardform für eine vertikale Linie ist, 1x + 0y = C. Eine weitere vertikale Linie, ein parallel zum ersten, hat immer noch die Form 1x + 0y = D. Daher wird unsere Regel für die Suche nach parallelen Linien immer noch funktionieren. Wir verlassen gerade das „A“ und „B“ die gleichen Werte und einen neuen Wert für „D“ finden, indem die Koordinaten des äußeren Punkt zu ersetzen.

Wenn wir mit einer horizontalen Linie in der Form 0x + 1J = C, und wir kehren Sie die „A“ und „B“ Werte, und umgekehrt die Zeichen einer von ihnen beginnen, erhalten wir 1x + 0y = D, das ist die allgemeine Form einer vertikalen Linie. Dies entspricht unsere Methode zum Auffinden von senkrechten Linien.

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