Graphische Darstellung von linearen Gleichungen, Wyzant Ressourcen
Nun, da wir in einer Variablen gelöst Gleichungen. wir werden jetzt arbeiten auf Gleichungen in zwei Variablen und Gleichungen grafische Darstellung auf der Koordinatenebene zu lösen. Graphen sind sehr wichtig, um eine visuelle Darstellung der Beziehung zwischen zwei Variablen in einer Gleichung zu geben.
Zuerst lassen Sie uns bekannt machen mit der Koordinatenebene (oder cartesianischen Grafik).
Koordinatenebene
Die Koordinatenebene wurde von dem Französisch Mathematiker Rene Descartes geschaffen, um goemetrically algebraische Gleichungen darzustellen. Dies ist oft, warum die Koordinatenebene ist die cartesianischen Ebene oder Graphen genannt. Wenn mit den Gleichungen in mehr als einer Variablen arbeiten, können in wichtiges Instrument sein, um die cartesianischen Graph mit machen Gleichungen leichter zu visualisieren und zu verstehen.
Die horizontale Zahlenlinie ist die x-Achse und die vertikale Zahlenlinie ist die y-Achse ist. Der Punkt, wo beide Linien schneiden, wird der Ursprung genannt.
Jeder Punkt auf der Kurve wird durch ein geordnetes Paar dargestellt. wobei x ist immer der erste Wert ist und y immer der zweite Wert in dem geordneten Paar (x, y). Dies liegt daran, x die unabhängige Variable ist. was bedeutet, dass sie die Variable Wesen verändert wird. Dies macht y die abhängige Variable. was bedeutet, dass es ist davon abhängig, wie x geändert wird. Wir werden das untersuchen, wie wir Graph Gleichungen in Bezug auf x und y beginnen. Nun, obwohl es zwei Werte in einer Reihenfolge Paar, assoziieren sie nur ein Punkt auf dem Graphen.
Lassen Sie sich die Punkte A Plot (0,0), B (1,2), C (-4,2), D (-3, -4) und E (4, -2).
Beachten Sie, dass A (0,0) ist der Ursprung, weil es beide x und y-Werte sind 0. B (1,2), würde der x Wert 1 und der y-Wert sei 2. den Punkt zu zeichnen, würden wir gehen in die positive Richtung auf der x-Achse, bis wir 1 schlagen, dann würden wir auf der positiven y-Achse gehen, bis wir 2. getroffen Dies ist, wo der Punkt befindet. Wir bekommen unsere Punkte nur durch den x-Wert und y-Wert Schlange, um ihre Standorte zu erhalten, und wir können dies tun, für jedes Paar koordinieren.
Horizontale und vertikale Linien
Auf der Koordinatenebene, wissen wir, dass jeder Punkt ein X und ein Y-Wert haben muss. Wenn wir die Gleichungen in einer Variablen gelöst, es war leicht zu sehen, dass wir einen x-Wert hatten. Was wir nicht wissen ist, dass wir auch auch einen y-Wert hatte. In der Tat hatten wir unendlich viele y-Werte. Und falls wir eine variable Gleichung in Bezug auf die y zu lösen, würden wir unendlich viele x-Werte haben. Diese Gleichungen keinen Punkt bilden, sondern vielmehr eine horizontale oder vertikale Linie.
Wenn x eine Zahl entspricht, kann y auf jeden beliebigen Wert annehmen, und es würde die Gleichheit nicht ändern. Wir könnten denken Sie an die Gleichung einen y-Wert mit 0 als Koeffizient haben, also egal, welchen Wert y nimmt, wird es immer mehrfach durch 0. Dadurch wird eine vertikale Linie bilden.
Ebenso, wenn y eine Zahl entspricht, kann x jeden beliebigen Wert annehmen, und es wäre nicht die Gleichheit beeinflussen. Wir könnten denken Sie an die Gleichung mit dem Wert von 0x. so kann x eine beliebige Zahl sein, und es würde die Gleichung nicht beeinflussen. Dieser Graph wird eine horizontale Linie sein.
Dies macht Sinn, da die x-Achse y = 0 und die y-Achse ist x = 0.
Lösungen von Gleichungen in zwei Variablen
Wir haben Ausdrücke und Gleichungen einer Variablen gesehen, vor allem x. Hier ist ein Ausdruck
Wenn wir in verschiedenen Werten von x Stecker, ergeben wir auch eine andere Ausgabe als auch. Da dieser Ausgang auf x variiert, können wir auch eine Variable verwenden, um die Ausgabe von x zu repräsentieren.
Wenn mit den Gleichungen in zwei Variablen handelt, bestehen die Lösungen von x und y Werte, die die Gleichung wahr, wenn in die Gleichung eingesteckt. Diese Lösungen wird sich herausstellen geordnete Paare sein, und wir werden sehen, dass die Gleichungen in zwei Variablen können mehr als eine Lösung haben, und oft unendlich viele Lösungen.
In Anbetracht der Gleichung
Festzustellen, ob die Koordinaten (1,5), (2,6) und (-1,1) sind Lösungen der Gleichung.
Beginnen wir mit (1,5) beginnen und Stecker in die Gleichung für x und y.
Das ist wahr! Das bedeutet, dass dieser Punkt eine Lösung.
Dies ist falsch, weil 6 nicht gleich 7, daher ist es keine Lösung.
Schließlich wollen wir anschließen (-1,1).
Dies ist eine weitere wahre Aussage, so (1,1) eine Lösung der Gleichung ist.
Lassen Sie uns beide der Lösungen zeichnen fanden wir zu y = 2x + 3 auf der Koordinatenebene
Dies sind nicht die einzigen Lösungen für diese Gleichung. Eine Methode, die wir finden andere Lösungen für unsere Gleichung verwenden könnte, ist eine Tabelle von x und y-Werte machen. Wir können dies tun, indem sie in verschiedenen x-Werten Aufstecken und ihre entsprechenden y-Werte finden.
Nun, da wir ein paar Koordinatenpunkte haben, lassen Sie uns zeichnen sie auf dem Graphen.
Wir können sehen, dass die Punkte eine gerade Linie bilden, so können wir eine Linie durch sie ziehen. Jeder Punkt auf dieser Linie ist eine Lösung für die Gleichung y = 2x + 3. Es ist sicher zu sagen, dass die Linie, die wir auf dem Diagramm gezeichnet haben die Lösung unserer Gleichung ist.
Für jede zwei variable Gleichung können wir die Funktion grafisch darzustellen durch Einstecken in zufälligen x Werten versuchen, unseren entsprechenden y-Wert zu erhalten. Auf diese Weise haben wir viele Punkte, die wir grafisch darstellen können. Einige Gleichungen sind einfacher grafisch darzustellen, weil sie spürbar Muster haben. Wir sollten bedenken, dass die meisten der Gleichungen, mit denen wir arbeiten, in Bezug auf die x und y sein wird, da die Koordinatenebene durch die x- und y-Achse gebildet wird.
Lassen Sie uns an linearen Gleichungen aussehen.
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen sind Gleichungen mit zwei Variablen, die eine Linie auf dem Graphen bilden. Eine lineare Gleichung definiert ist, wobei jeder Term ist entweder eine Konstante oder ein Produkt aus einer Konstanten und eine einzelne Variable. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen linear algebraisch dargestellt werden können und graphisch aufgetragen.
Hier sind verschiedene Formen von linearen Gleichungen
Standardform
Eine lineare Gleichung in der Form von zwei Variablen kann in dieser Form geschrieben werden, wobei A, B und C Konstanten sind. Diese Form ist vorteilhaft, weil wir einfach die x- und y-Abschnitte durch Einstecken in 0 für eine der Variablen erhalten. Ein Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Linie und entweder der X- oder Y-Achse. Wir werden sehen, dass diese Abschnitte in Plotten lineare Gleichungen helfen.
Schreiben Sie die folgende Gleichung in Standardform und zeichnen Sie die Linie auf der Grafik.
Zuerst haben wir beide Seiten mit 3 multiplizieren loswerden der Fraktion zu erhalten.
Dann subtrahieren wir von beiden Seiten 2x den x- und y auf der gleichen Seite zu erhalten
Lassen Sie uns neu ordnen sie so unsere x-Wert erste ist.
Dies ist die Standardform unserer ursprünglichen Gleichung. Da unsere ursprüngliche Gleichung kann in Standardform geschrieben werden, wir wissen, dass es eine lineare Gleichung ist (wenn eine Gleichung kann nicht in Standard-Form geschrieben wird, ist es nicht linear).
Nun wollen sie das Graphen der Gleichung Plotten von unserem abfängt finden. Lassen Sie uns zunächst unsere y-Achse finden, indem Sie in 0 für x anschließen.
Wir gesteckt 0 für x und bekam -4 für y. Unsere koordinieren wäre (0, -4). was wir nennen unsere y-Achse. Dies ist unser y intercept genannt, weil es der Punkt ist, wo der Graph der Gleichung die y-Achse schneidet.
Lassen Sie uns die x abfangen finden, indem Sie in 0 für y anschließen.
Wenn wir in y gesteckt = 0, wir haben x = 6, so dass unsere Koordinate (6,0). Dies ist die x abfangen, weil es der Punkt, wo die Kurve, die die x-Achse schneidet. Da wir unsere x und y-Abschnitte haben, und wir wissen, dass die Gleichung linear ist (wir setzen es in Standard-Form), können wir die Gleichung grafisch darzustellen.
Diese Linie ist die Lösung gesetzt unserer Gleichung. Wir sollten beachten, dass, wenn wir wissen, eine Gleichung linear ist, dauert es nur zwei Punkte, um die Linie in einem Diagramm zu konstruieren. Nur um sicherzugehen, ist es immer gut ist, mehr als zwei Punkte plotten zu überprüfen, ob die Punkte kollinear sind (wenn sie eine Linie bilden). Wenn wir nicht wissen, es linear ist, ist es vorteilhaft, eine Reihe von Punkten zu zeichnen, um deutlich die Kurve des Diagramms zu sehen. Wenn wir diese Grafik ohne die algebraische Darstellung gegeben wurden, wäre es schwer, mit der Standard-Form der Gleichung zu kommen, so können wir die folgenden allgemeinen Formen von linearen Gleichungen, sie zu finden verwenden.
Steigungsschnittform
Diese Form ist die am häufigsten verwendeten linearen Gleichungen darzustellen. Diese Form ist der beste Weg, um die Steigung und y-Achse einer linearen Gleichung zu finden, wobei m die Steigung und b der y-Achse.
Lassen Sie sich diese Gleichung zeichnen Sie das Steigungsabschnitt-Formular.
Im Vergleich zu unserer allgemeinen Steigungsabschnitt-Gleichung, können wir diesen m sehen = 2/3 und b = -4. Trägt man diese in einem Diagramm können wir unsere Linie erhalten.
Da wir unsere y-Achse und unsere Neigung haben, können wir unsere y-Achse plotten und anderen Punkt auf der Linie mit der Steigung finden. Da m = 2/3. wir können unseren nächsten Punkt auf der Linie nach oben positiv 2 und rechts positiv 3 zu erhalten. Wir können diesen Vorgang wiederholen Sie die Linie unserer Gleichung zu erhalten.
Point-Slope-Formular
Schließlich haben wir Punkt-Steigungs-Form. Wir können die Darstellung verwenden, wenn wir einen beliebigen Punkt auf der Linie (es muss nicht einen Schnittpunkt sein) und die Steigung, oder ob wir zwei Punkte auf der Linie haben.
Findet die Gleichung der Linie, die durch den Punkt (3, -2) mit der Steigung m = 2/3. Lassen Sie uns die Werte in unsere Gleichung stecken.
Wir stecken in (3, -2) für (x1, y1) und lassen Sie m = 2/3
Wir haben unsere Gleichung! Jetzt versuchen wir es zwei Punkte gegeben.
Findet die Gleichung der Geraden durch die Punkte (-3, -6) und (3, -2). Wenn wir die Gleichung linear kennen, können wir nur die Punkte zeichnen und eine Linie durch sie ziehen, aber in diesem Fall wollen wir die Gleichung der Linie finden. Lassen Sie uns sie in die allgemeine Punkt Steigung Form stecken und sehen, was wir bekommen.
Da wir die Steigung nicht wissen, aber wir haben zwei Punkte, können wir unsere zwei Punkte in den Hang Formel stecken.
Konvertieren von Formen linearer Gleichungen
Auch wenn wir drei verschiedene Formen von linearen Gleichungen haben, sind sie alle gleich. Der Grund, warum wir diese verschiedenen Formen haben, weil sie jeweils von Vorteil für verschiedene geometrische Darstellungen und Arbeitsweisen mit den Informationen, die wir haben sind. Die verschiedenen Formen der linearen Gleichungen können von einer Form in eine andere umgewandelt werden.
(1) Wenn von Standard-Form umgewandelt (Ax + By = C) zu Slope Intercept-Form (y = mx + b), haben wir
(2) Bei der Umwandlung von Standard-Form (Ax + By = C) Steigung Form Punkt [(y-y1) = m (x-x1)], haben wir
Das Finden der Gleichung einer Geraden
Wenn wir eine grafische Darstellung einer Zeile angegeben werden und wir wollen seine Gleichung finden (oder algebraische Darstellung), können wir es eine Reihe von Möglichkeiten finden.
(1) Da zwei Punkte auf der Linie, können wir sie in den Hang Formel stecken die Steigung zu finden und dann die Punkt-Steigungs-Form verwendet werden.
(2) Da jeder Punkt auf der Linie und der Y-Achsenabschnitt, können wir sie in den Hang Formel stecken die Neigung zu finden, und dann entweder die Punkt-Neigung oder Steigungsabschnitt-Formular.
(3) Bei jedem Punkt auf der Linie und die Neigung, verwenden, um die Punkt-Steigungs-Form.
(4) den y-Achsenabschnitt und die Steigung Gegeben, verwendet, um die Steigungsabschnitt-Form.
Trägt man die Graph einer linearen Gleichung
Gegeben, jede Art von Gleichung (es muss nicht linear sein), können wir in einem Zufallswert x Stecker und einen Y-Wert erhalten. Wir können auf diese Weise Punkte zeichnen, aber es ist ein langwieriger Prozess und nicht vollständig notwendig. Hier sind andere Wege, den Graphen einer linearen Gleichung zu konstruieren.
(1) Da eine Gleichung, in welcher Form, stecken in jedem x-Wert die Gleichung und den y-Wert finden. Zeichnen Sie den Punkt auf dem Graphen und tut dies nun erneut für mindestens einen weiteren Punkt. Nachdem wir zwei Punkte, eine Linie durch die Punkte für alle Lösungen für die lineare Gleichung zeichnen. Wenn die Punkte nichtkollineare sind (sie zeichnen sich nicht auf), dann entweder die Gleichung nicht linear ist oder es gab ein arithmetischer Fehler, sie zu finden.
(2) Da die Standard-Form einer linearen Gleichung (Ax + By = C), stellen den x-Wert auf 0 den y-Abschnitt zu finden, und dann den y-Wert auf 0 für den x-Achsenabschnitt. Zeichnen Sie die Punkte auf dem Graphen und ziehen durch sie eine Linie.
(3) Bei dem Slope-Intercept-Form (y = mx + b) Auftragung, die der y-Achsenabschnitt (0, b) und verwendet, um die Steigung m um den Rest der Punkte auf dem Graphen zu finden.
(4) In Anbetracht der Punkt-Slope-Formular [(y - y1) = m (x - x1)], zeichnen den Punkt (x1, y1) und verwenden Sie die Steigung m den Rest der Punkte auf der Grafik zu finden.
Lineare Gleichungssysteme
Wenn wir auf einmal mehr als eine lineare Gleichung graphisch darzustellen, werden wir als ein System von linearen Gleichungen haben. diese Systeme zu lösen geben uns den Punkt, an dem die Linien schneiden, die durchaus relevant in verschiedenen realen Anwendungen und wird häufig in der Wirtschaft und eine höhere Ebene Mathematik ausgeführt.
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