Warum wurden die Vermeidung Beweise bevorzugte komplexe Analyse der Zahlentheorie ist diese Unterscheidung noch
Ich las auf Wikipedia, dass ein elementarer Beweis in der Zahlentheorie bedeutet einen Beweis, die nicht komplexe Analyse nicht verwendet.
Von dem, was ich erinnere Lesen, in Hardys Zeit wurden Beweise ohne aufwendige Analyse bevorzugt.
Ich mag diese beiden Fragen stellen, mit der Betonung auf dem zweiten:
- Was waren die Gründe, die Beweise ohne komplexe Analyse bevorzugt wurden?
- Ist diese Unterscheidung auch heute noch wichtig?
Diese Frage entstand aus einer Diskussion über meta zu diesem Beitrag.
Ich habe dieses Ergebniss zu sehen, aber ich würde sagen, dass es nicht die gleiche Frage ist: Grund Beweis für den Primzahlsatz - nötig? . Diese Frage ist zu fragen mehr darüber, ob einen elementaren Beweis zu finden hatte einige wichtigen Konsequenzen für die Verwendung von ähnlichen Verfahren in anderen Bereichen. (Aber Matt E Antwort gepostet es befasst sich auch mit der Motivation für die Suche nach einem elementaren Beweis. So ist es auch eine Antwort auf die erste Kugel oben betrachtet werden kann.)
Dieser MathOverflow Beitrag ist auch in diesem Zusammenhang interessant: Komplexe und Grund Proofs in Zahlentheorie. Er diskutiert, wo zahlentheoretische Ergebnisse auf komplexe Analyse basiert, kann auch ohne Verwendung von komplexen analytischen Methoden gezeigt werden.
Im Grunde Beweis des Primzahlsatzes - nötig? Ich wende mich an ein wenig darüber, aber ich stimme Ihrer Frage unterscheidet.
Was waren die Gründe, die Beweise ohne komplexe Analyse bevorzugt wurden?
Wie ich von Jeffrey Vaaler gehört haben, und andere, die um näher an der fraglichen Zeit waren, gab es so etwas wie ein Glaube, dass ein Beweis ohne Analyse irgendwie etwas tief über die Komplexität der Ergebnisse beleuchten würde. Evading die Verwendung von komplexer Analyse würde bedeuten, dass es vielleicht „weniger schwierig, als wir dachten“, oder zumindest das war die Sicht zu dem Zeitpunkt. Dies spiegelt den Wunsch, die genaue Natur des Satzes zu verstehen, war es grundsätzlich im Zusammenhang mit arithmetischen oder war der Ausflug in die Fourier-Seite der Dinge wirklich notwendig, und wenn ja: warum? Dies ist für mich zumindest, scheint ganz natürlich für einen Mathematiker, da wir nicht nur versuchen, Ergebnisse zu wissen, aber sie richtig zu verstehen. Lagrange-Theorem ist wirklich eine Aussage über die Homogenität der Gruppen, etwas, das für Dinge wie topologische Gruppen Motivation und Intuition gibt, obwohl die erstere ist nur eine Aussage über die Teilbarkeit von Aufträgen. Es gibt natürlich viele weitere Beispiele, aber wie Sie auch die Antwort in dem anderen Thema haben, werde ich weitere Ausstellung von mir für diesen Aufzählungspunkt beschneiden.
Ist diese Unterscheidung auch heute noch wichtig?
Ich habe mich nicht, dass überhaupt in den Konferenzen, Papiere, et cetera, die ich in der heutigen Zahlentheorie Umgebung gelesen habe. Es scheint, dass ein Volksempfinden zu der Zeit war, aber - vor allem nach dem Mangel an wirklich interessanten neuen Ergebnisse, die mit dem Erdös-Selberg Beweis nachgewiesen werden können - die deutlich abgeklungen ist, wo es nicht mehr nachweisbar ist, auch unter diejenigen, die unmittelbaren Nachfolger der Mathematiker wie Hardy.
Eine Menge, wie Beweise, dass das Auswahlaxiom nicht verwenden, es werden weniger von einer Gemeinschaft Sorge über die Zeit. In der gleichen Weise, dass wir alle irgendwie neue Ergebnisse in der Mathematik „gewöhnen“ und weniger vorsichtig als die Details des Beweises leichter erhalten mit der Wiederholung des Lesens zu verstehen, Dinge wie das Axiom der Wahl haben Routine worden. Ich denke, dies ist eine genaue Analogon mit dem elementaren Beweis, in trotz aller soliden Grundlage, die Kultur zu der Zeit einfach geschätzt elementaren Techniken höher. Wie erstaunlich nützlich als harmonische Analyse heute ist, war es nicht den ganzen Weg so entwickelt, wie es jetzt ist. Der Wiener-Ikehara Satz wurde erst im Jahr 1931 veröffentlicht wird, und Tate Arbeit, die Dinge zu einem sehr interessanten Punkt mit abstrakteren harmonischer Analyse gebracht, anstatt ausschließlich auf euklidischen Raum kam im Jahr 1950, und Rudin Text auf Fourier-Analyse auf Gruppen war im Jahr 1962, die war nach der Zeit des Hardy.
Kurz modernere Ansätze wurden durch einen Brand entwickelt, versucht, und zu vielen klassischen Beweisen und Techniken als überlegen. In einer Art akademischen Überlebens des Stärkeren, wurde der elementare Ansatz ungünstig durch die große Mehrheit gefunden, nachdem er nicht in der Lage war zu liefern, was zu hoffen, und andere Techniken sind seit sie als mehr „in Mode“ Wege verdrängte Probleme zu nähern. Sicherlich gibt es Orte, an denen hervorragende neue Mathematik aus elementaren Ansätze kommt, UIUC für eine hat viele ausgezeichnete Theoretiker Zahl, die auf solche Dinge erfahren sind. Ich glaube nicht, die Zahl der Theorie Gemeinschaft auf große Blicke mit größeren Gefallen auf solche Ansätze, wie es in Hardys Tag.