Zahlentheorie Proofs

Wenn p eine Primzahl mit p = 3 (mod 4), dann gibt es keine Lösung für p = a 2 + b 2 aus der Tabelle nach rechts und von oben Schritt 2 keiner Lösung für i 2 = -1 (mod p) .

Wenn p = 2, dann 1 2 = -1 (mod p).

Wenn p eine Primzahl mit p = 1 (mod 4), dann

Wenn n = a 2 + b 2 Primzahl p = 3 (mod 4), p | n dann p | ein. p | b und p 2 | n

Beweis. Wenn ein 2 + b 2 = 0 (mod p), dann a 2 = b (mod p). a = 0 (mod p) und b = 0 (mod p), schreiben wir könnten sonst (a / b) 2 = -1 (mod p), aber es gibt keine Lösung für i 2 = -1 (mod p) für Primzahl p = 3 (mod 4).

Dieses Ergebnis wird in der Regel in den Lehrbüchern angegeben Negativ und Umordnung als separate Darstellungen zu zählen, so z.B. = 1 2 5 + 2 2 = 2 2 + 1 2 = -1 2 + 2 2 = -1 + 2 -2 2 =. insgesamt 8 Darstellungen. Dies macht Sinn, wenn man die Anzahl der Gitterpunkte 5 Einheiten vom Ursprung zählen will, aber es kann sonst ein Ärgernis sein. Die Diskussion hier behandelt diese Darstellungen als gleichwertig, so z.B. 5 = 1 2 + 2 2 (5 kann nur als die Summe von zwei Quadraten in 1 so geschrieben werden), 65 = 1 2 + 8 2 = 7 2 + 4 2 (65 in 2 als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden Wege).

0, wenn Q kein Quadrat ist

numsq (P), wenn Q ein Quadrat ist

Beweis. Wenn n = a 2 + b 2 Primzahl q = 3 (mod 4), q | n dann q | ein. q | b und q 2 | n. Dies verringert auf einen kleineren Fall n / q 2 = (a / q) 2 + (b / q) 2. Fortsetzung Reduktion entfernt Primzahlen gleich 3 (mod 4) paarweise, so dass jede Summe-von-squares-Lösung von n entsprechen eins-zu-eins zu einer Summe der Quadrate Lösung von n / 2 = Q r P, wenn Q ein Quadrat ist, oder ergibt sich ein Widerspruch [impliziert numsq (n) = 0], wenn Q nicht ein Quadrat ist.

Zu vervollständigen. Beweis für den Wert von numsq (P), wobei P ein Produkt von Primzahlen gleich 1 (mod 4

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