Was die Origami Means
- Die Flächen eines Polyeders seinen Flachseiten, von denen jede ein Polygon ist.
- Die Kanten des Polyeders sind die Kanten seiner polygonalen Flächen.
- Die Scheitelpunkte (Singular: Vertex) eines Polyeders sind seine Ecken.
Platonische und archimedische Solids
Regelmäßiger oder Platonic Feststoff wird durch die folgenden Eigenschaften gekennzeichnet:- Alle ihre Gesichter sind identisch regelmäßige Polygone. (Ein Polygon ist regulär, wenn alle seine Seiten gleich sind und alle Winkel gleich sind.)
- Die Anzahl der Flächen um jeden Scheitelpunkt ist das gleiche.
Ein halb regelmäßiger oder archimedische Feststoff wird durch die folgenden Eigenschaften gekennzeichnet:
- Alle ihre Gesichter sind regelmäßige Polygone, obwohl sie nicht unbedingt alle identisch sind.
- Die Konfiguration der Polygone um jeden Scheitelpunkt ist das gleiche.
Offensichtlich jede der regulären Körper ist auch halb regelmäßig, aber es gibt viele zusätzliche Feststoffe, die diese lockerere Bedingungen erfüllen. Die meisten von ihnen sind eng mit dem regulären Körper und können durch Schneiden, Kombinieren oder zu verzerren ihren platonisch Verwandten aufgebaut sein. Viele dieser Hybrid-Feststoffe werden in dieser Anzeige modelliert.
Polyhedra von den Hängenden Models Vertreten
Nun noch einmal vorstellen, dass die Flächen eines Würfels Auseinanderziehen und sich vorstellen, dass die ursprüngliche quadratische Flächen des Würfels und die Dreiecke, die einmal die Eckpunkte des Würfels waren steif sind wie die Teile aus Metall und sind an den Ecken verbunden. Wenn die starren Quadrate gleichzeitig in genau die richtigen Weise verdrillt werden, werden die früheren Kanten des Würfels von den Quadraten in Paare von gleichseitigen Dreiecken zusammenfallen, und der neue Feststoff wird ein abgeschrägtes hexaeder sein. Die andere Brüskierung Feststoffe entstehen in ähnlicher Weise.
Hier ist ein weiterer Satz von Einschnürtrommel fester Modellen, die als unterschiedlich gefärbt ist, ansonsten aber identisch mit dem in der Amherst Anzeige.
Dual Polyhedra
Symmetrien von Polyeder
Tatsächlich umfassen diese alle von den Symmetrien des Würfels mit Ausnahme des banalen, aber mathematisch wichtigen Schritt des Würfel zu verlassen, wo es ist.
Die Symmetrien eines Polyeder reflektieren seine Struktur und Regelmäßigkeit. Ein Polyeder ist regulär, wenn es eine Symmetrie jedes Gesicht zu jeder anderen Fläche zu nehmen und eine Symmetrie jeden Scheitelpunkt zu jedem anderen Eckpunkt nehmen, und ein Polyeder mit regelmäßigen Flächen halb regelmäßigen, wenn es eine Symmetrie jeden Scheitelpunkt zu jedem anderen Eckpunkt zu nehmen ist.
Andere Arten von geometrischen Figuren haben auch Symmetrien. Zu spielen, um mit Symmetrien in der Ebene, überprüfen Sie die University of Minnesota Geometry Center-Programm Kali aus. mit dem Sie Muster machen, die zu jedem der 17 Tapete Gruppen entsprechen.
Permutationsgruppen
Achtung: Wenn Sie bereits Permutationsgruppen studiert haben, wissen, dass ich nicht die Standardnotation für Permutationen oder für die Zusammensetzung Betrieb verwendet wird. Aber dann, wenn Sie bereits Permutationsgruppen studiert haben, können Sie diesen Abschnitt überspringen.
Eine Permutation ist eine Möglichkeit, eine endliche Menge von Objekten neu anordnen. Zum Beispiel können wir eine Permutation σ von vier Objekten definieren
σ: ABCD BCAD,
Legt den zweiten Buchstaben in die ersten Position bringt den dritten Buchstaben in die zweite Position, und verläßt den vierten Buchstaben festen Bedeutung, daß σ die ersten Buchstaben in die dritte Position setzt.
Wenn wir zwei Permutationen der gleichen Anzahl von Objekten haben, können wir sie kombinieren, um eine dritte Permutation zu bilden. Unter der Permutation
τ: ABCD BADC,
die tauscht die ersten und zweiten Buchstaben und tauscht die dritten und vierten Buchstaben, und die Permutation σ oben, können wir eine neue Permutation erstellen, die wir σ * σ durch σ τ durchführt, und dann wird bezeichnen. Das ist,
σ * τ: ABCD BCAD CBDA.
Die Permutationen einer festen Anzahl von Objekten zusammen mit dem Betrieb * haben die mathematische Struktur einer Gruppe. Im Folgenden werden die Eigenschaften aufgezählt, die die Permutationen in eine Gruppe zu machen; zum Vergleich angeboten die entsprechenden Eigenschaften der bekannteren Gruppe der reellen Zahlen mit dem Betrieb + sind.
Betrachten wir als Beispiel das Modell Würfel, in denen die weißen Teile sollten nicht als Farbe für diese Zwecke gezählt werden. die Permutation
durch die Mittelpunkte der Vorderseite entspricht eine Drehung um 90 ° um eine Achse verläuft und Rückseiten, die Permutation
eine Achse entspricht eine Drehung um die durch die roten Scheitel verläuft, und die Permutation
eine Achse entspricht eine Drehung um zwei Kanten Rot-Grün durch die Weitergabe. Daß die Symmetriegruppe des Würfels S4 bedeutet, dass jede Permutation der Farben kann durch irgendeine Symmetrie des Würfels und umgekehrt erreicht werden.
Symmetrien und Einbettungen
Regelmäßige Polyeder, die duals haben die gleiche Symmetriegruppe. Der Grund dafür ergibt sich aus der dualen Polyeder Konstruktion auf dieser Seite an anderer Stelle beschrieben; wenn wir ein Polyeder nehmen und die duale Inneren konstruieren, dann ist jede symmetrische Bewegung des Polyeders einbeschrieben bewirkt, dass der Dual den gleichen Raum zu besetzen, wie es vorher getan hat, und vice versa.
Wir können eine ähnliche Konstruktion verwenden, um die Symmetriegruppen des Tetraeders beziehen und des Würfels. Wie unten gezeigt, ist es möglich, einen Tetraeders in einem Würfel in einer solchen Weise einzuschreiben, dass die Ecken des Tetraeders vier der acht Ecken des Würfels sind.
