Wie die Fakultät einer Fraktion Mathematik Stapel von Exchange finden
Von dem, was ich weiß, ist die Fakultätsfunktion wie folgt definiert:
Und $ 0! = 1 $. Allerdings scheint diese Seite zu sagen, dass Sie die Fakultät einer Fraktion nehmen, wie zum Beispiel \ $ Frac! $, Was sie behaupten, wegen etwas zu $ \ frac \ sqrt \ pi $ die Gamma-Funktion aufgerufen gleich . Darüber hinaus beginnen sie die Fakultät von negativen Zahlen bekommen, wie $ - \ frac! = \ Sqrt $
Wie ist das möglich? Was ist die Definition der Fakultäts einer Fraktion? Was über negative Zahlen?
Ich versuchte es auf Wikipedia und so die Erforschung, aber es scheint nicht eine klare Antwort zu sein.
Die Gamma-Funktion, mit einer griechischen Hauptstadt Gamma $ \ Gamma $ gezeigt wird, ist eine Funktion, die die Fakultätsfunktion für alle reellen Zahlen, mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen und Null, für die sich aber nicht definiert. $ \ Gamma (x) $ ist mit dem Fakultäts Zusammenhang, dass es gleich $ (x-1)! $. Die Funktion ist wie folgt definiert
Verwenden Sie einfach dieses factorials für eine beliebige Zahl zu berechnen. Eine praktische Möglichkeit für echte Brüche mit sogar Nennern der Berechnung ist:
Wobei n eine ganze Zahl ist. Aber denken Sie daran, dass die Gamma-Funktion ist eigentlich die Fakultät von 1 kleiner als die Zahl, als es auswertet, wenn Sie so wollen $ \ frac! $ Verwendung n = 2 statt 1.
Oder könnten Sie nur den Anteil in Google-Rechner setzen, die die Gamma-Funktion verwendet factorials einer beliebigen Anzahl zu bewerten.
Für einige weitere Beispiele für die Werte der Gamma-Funktion finden Sie hier.
(Wenn Sie das nicht verstehen, keine Sorge, weil ich auch nicht tun, und der Wikipedia-Artikel über die Funktion scheint eine klare Definition davon fehlt oder wie sie sich auf $ \ sqrt $.)
Während die Antwort zweifellos Eulers $ \ Gamma $ zu sein, fragte ich mich immer noch, was eine weitere intuitive explnation von sein könnte, warum es so ist.
Ich denke, es irgendwie verständlicher für die eng verwandten Beta-Funktion und im Hinblick auf die Sinus-Beteiligung Formel in der Antwort von neuguy oben erwähnt ist.
Schauen Sie sich $ \ sin (\ pi z) $. Seine Nullen sind gerade alle ganzen Zahlen. Deshalb ist es periodisch ist - es muss auf Null bei jeder ganze Zahl zurück, und genau in der gleichen Weise wie bei irgendeiner anderen ganzen Zahl.
In der Tat gibt es eine Formel (I denken von Euler) $$ \ cdots (1- \ frac z) (1- \ frac z) (1- \ frac z) z (1- \ frac z1) (1- \ frac z2) (1- \ frac z3) \ cdots = \ fRAC & sub1; \ pi \ sin (\ pi z) $$ reflektiert genau das.
Nehmen wir nun an wir wollen herausfinden, was passiert, wenn wir $ 0 $, $ 1 $ ausschließen. $ N $ aus dem Satz von Nullen. Die resultierende Funktion wird Null bei allen anderen Zahlen bleiben, während im Intervall $ -1 Die Art und Weise all dies bezieht sich auf factorials und $ \ Gamma $ sollte klar sein - man muss $$ \ binom nz = \ frac, \ \ Gamma (x) = \ fracx $$ und $$ \ mathrm B (x, y) = \ frac. $$ Mit anderen Worten, 1 $ / \ Gamma (z) $ Nullen genau an kraft- ganzen Zahlen aufweist, so $ 1 / \ Gamma (kz) $ Nullen genau bei $ k $ hat, k $ + $ 1, $ k + $ 2. so dass, wenn wir wollen, kombinieren diese für eine Funktion mit Nullen auf allen ganzen Zahlen außer $ 0 $, $ 1 $. $ N $ sollten wir $ \ FRAC & sub1; $ nehmen die $ erweist \ FRAC & sub1; \ binom nz $. Eine erste Idee, dass die Fakultät einer Bruchzahl zu definieren, in den Sinn kommt, ist Interpolation: die Werte in zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen zu kennen, sollten die Werte zwischen diesen Zwischen sein (bei der „Kurve“ suchen, sehen Sie, dass es wächst - sehr schnell - aber glatt). Zum Beispiel könnten Sie den $ 3.1 schätzen! = 3! + 0,1 \ mal (4! -3!) = 7,8 $.
Das sieht nicht sehr genau. Durch die Berücksichtigung bei den Werten von $ \ ln n! $, Sehen Sie einen Trend viel näher an einer geraden Linie.
Also für eine bessere "Genauigkeit", kann man sich vorstellen, dass die Kurve eine exponentielle ist und tun, um die Interpolation auf den Logarithmen:! $ \ Ln 3.1 = \ ln 3 +0,1 (! \ Ln 4 - \ ln 3) \ impliziert 3.1 ! = 6,8921 \ cdots $
Sie können auch die Anzahl der Punkte für die Interpolation verwenden erhöhen, mit der Lagrange-Formel, die ein Polynom eines höheren Grades berechnet.
Auf jeden Fall ist dies sehr empirisch und führt nicht zu einer befriedigenden Definition mit interessanten Eigenschaften. Mathematikern dies anders gelöst hat: sie fanden Identitäten (! Wie die Bewertung von Integral $ \ int_0 ^ \ infty x ^ ne ^ dx = n $), die gleich $ n gezeigt werden kann, $, wenn $ n $ eine ganze Zahl ist, und hält Sinn machen, wenn $ n $ ist es nicht.
So begannen sie als eine Definition der Fakultäts mit diesem
Mit dieser Formel, erhalten Sie $ 3.1! = 6,812622863 \ cdots $
Erweiterung auf negative Werte ist noch eine andere Geschichte. Wenn Sie die rekursive Definition der Fakultäts, $ (n + 1)! = (N + 1) n! $ Betrachten, die größer und größere Werte berechnen können, können Sie es als $ reverse (n-1)! = \ dfracn $. Rückwärts, Sie zu den Negativ erhalten. Dann werden Sie eine Überraschung für negative ganze Zahlen haben.