Wie kann der Kleeblattknoten in polar ausgedrückt wird Koordinaten Mathematik Stapelaustausch
Aus Wikipedia, sind die Parametergleichungen für einen Kleeblattknoten
\ Begin x (t) - = \ sin t + 2 \ \\ 2t sin y (t) - = \ cos t - 2 \ cos 2t \\ z (t) - = - \ sin 3T. \Ende
Ich bin nur in der $ x $ und $ y $ Maße interessiert, so $ z (t) $ ignoriert. Alpha | Als ich es mit Wolfram plotten. Ich erhalte die erwartete allgemeine Form. Allerdings, wenn ich versuche, es zu Polarkoordinaten zu konvertieren, es (scheinbar) funktioniert einfach nicht.
beginnen \ r ^ 2 - = x ^ 2 + y ^ 2 \\ - = (\ sin t + 2 \ sin 2t) ^ 2 + (\ cos t + 2 \ cos 2t) ^ 2 \\ - = (\ sin ^ 2 t + 4 \ sin t \ sin 2t + 4 \ sin ^ 2 2t) + (\ cos ^ 2 t - 4 \ cos t \ cos 2t + 4 \ cos ^ 2 2t) \\ - = 1 + 4 + 4 (\ sin t \ sin 2t - \ cos t \ cos 2t) \\ - = 5-4 \ cos 3T \ end
Doch wenn ich versuche, $ r = \ sqrt $ zu zeichnen. Ich bekomme etwas ganz anderes. Was ist das Problem? Außerdem, wie könnten Sie die Kleeblattknoten in Polarkoordinaten ausdrücken?
Wenn Sie Polardiagramme tun Sie mit Parametrisierungen der begrenzten Form $$ x (\ varphi) = r (\ varphi) stecken \ cos \ varphi, \ quad y (\ varphi) = r (\ varphi) \ sin (\ varphi ). $$ Die Parametrisierung, die Sie gab ist nicht von dieser Form. Dies ergibt sich bereits aus der Beobachtung, dass die Parametrisierung die volle Dreiblatt gibt, wenn $ t \ in [0,2 \ pi] $, aber die Dreiblatt umschlingt den Ursprung zweimal, so sollte $ \ varphi $ über $ [0 reichen, 4 \ pi] $.
Hier werden die additive Konstante $ 2 $ stellt das Verhältnis des Radius der „Draht“ im Inneren des Torus zu der der „Röhre“ um den Draht. IMVHO der Vorsprung sieht ein bisschen sauberer, wenn wir Verhältnis verwenden $ 4 $ und Gleichung $ r = 4 + \ cos \ FRAC & sub2; $ statt:
Für eine bessere Sicht hier ist ein 3D-Bild, wie das trefoil wickelt sich um den Torus.
Die Kleeblattstruktur ist die dünne Röhre auf der Oberfläche des Donut.
Ihr $ t $ ist nicht die gleiche wie $ \ theta $ für einen bestimmten Punkt auf dem Kleeblattknoten. Das $ \ theta $ ist $ \ arctan (\ frac) $. Wenn Sie auf die Grafik eines Kleeblattknotens können Sie sehen, gibt es keine polare Gleichung für sie sein kann, weil die Abbildung von $ \ theta $ bis $ r $ ist nicht eins-zu-eins. Das Beste, was Sie tun konnten, ist eine parametrische Gleichung in Polarkoordinaten, die gerade sein würden,
Und ich bin nicht einmal sicher, dass Ihnen das volle Dreiblatt geben knot- es könnte davon abhängen, welchen Zweig von $ \ arctan $ gewählt wird.
Sie könnten versuchen, für $ t $ in Form von $ \ theta $ (sieht hart), dann schließen, dass in die Formel für $ r $ zu lösen, sondern bestenfalls werden Sie nur einen richtigen $ r $ Wert für jeden $ \ erhalten theta $, so wird es die volle Kleeblattknoten nicht sein.
Ein Epitrochoide in zwei Dimensionen kann eine Projektion eines Kleeblattknotens ergeben, oder Sie ein nur eine Vermutung machen. z.B. $$ r = 2 + \ \ frac \ theta sin \ quad \ theta \ in [0, 4 \ pi). $$