Annähern Logs und Antilogs von Hand - Mathematik Stapelaustausch
Ich habe durch Fragen wie berechnen Logarithmen von Hand und und einem Abschnitt der Feynman Vortragsreihe lesen, die über die Berechnung von Logarithmen spricht. Ich habe weder von ihnen nützlich für meine Zwecke anerkannt, die schnell zu Logarithmen der Basis $ 10 $ bis zu $ 4 $ digit Genauigkeit berechnen
(Ich glaube 4 ist die goldilocks Nummer in diesem Fall).
Ich wünsche, die Dinge wie $ \ log_ finden (2) \ ca. 0,3010 $ schnell, ohne einen Taschenrechner oder Tisch anmelden. Warum? Weil ich will, dass sie um frei sein von der Durchführung und sie den ganzen Tag zu verlieren. Außerdem sind sie nicht immer zur Verfügung, wenn ich sie brauche (kann man erraten, warum). Mein Hauptziel ist es, die Antworten von sehr großen und sehr kleinen Ergebnisse von zeitraubend Berechnungen anzunähern. Logarithmen, dass Job macht für mich viel einfacher. Beispielsweise,
Laut Wolfram (Yup, ich bin, dass faul) die Antwort ist, $ $ 50.630,0 \ overline. Ja, ich habe über schätzungsweise um rund $ 60 $ aber dank einer Protokolltabelle, ich habe diese Annäherung so schnell wie Wolfram nahm die genaue Antwort in meinem Browser zu laden. Aber ohne eine Log-Tabelle, selbst Teilung hätte ich eine iterative Konvergenz Ausführung nur die Multiples zu finden.
(1729 * 2 = zu niedrig, 1729 * 8 = zu hoch. Dies muss so intuitiv sein für die meisten von Ihnen)
Ich hoffe, Ihnen helfen können.
Um eine Annäherung für mindestens $ 4 $ Ziffern im Allgemeinen gibt von Hand Ich denke, es ist fast unmöglich. Wenn Sie einige Ergebnisse aus Approximationstheorie wissen danach können Sie Logarithmentafeln zu schätzen wissen.
Natürlich ist die erste Idee ist die Taylor-Entwicklung für einige Begriffe. Wir wissen, dass für $ | x | \ Leq $ 1 und $ x \ neq -1 die Serie $ $ \ ln für (1 + x) $ ist die folgende. $$ \ ln (1 + x) = \ sum _ ^ \ infty \ frac> x ^ n = x - \ frac + \ frac - \ cdots $$ können Sie "es laufen" von Hand von $ n = 1 \ dots 3 $ und für $ \ ln (2) $ Sie $ 0,8333333333 $ erhalten. Der richtige Wert für $ \ ln (2) $ ist $ 0,6931471806 $. Das Problem ist also hinter der Konvergenzrate. Darüber hinaus gibt es importent Domain Einschränkungen für diese Methode.
Für kleine $ Werte x $ wissen wir auch, dass $ \ log (x) \ approx \ frac $ und $ \ log (1 + x) \ approx x $. Das ist auch nicht eine gute Annäherung, aber wir können es für Werte verwenden weniger als $ 1 $. Mit Logarithmus identitiy-Tricks können Sie es genauer machen, aber wir haben bessere Lösungen.
Nun nehmen Sie einen Blick auf Ungleichheiten. Wir haben, dass für alle x $> $ 0: $$ 1- \ frac \ leq \ ln x \ leq x-1 $$ Oder wir können es auf die Form schreiben für alle $ x> -1 $. $$ \ Frac \ Leq \ ln (1 + x) \ x Leq. $$
Wir werden um $ n = $ 3 nehmen, weil ich denke, diese zwei rationale funcion ist, was wir mit der Hand verarbeiten kann. Wenn Sie auf Kopfrechnen gut sind und Sie können Funktionen leicht merken, können Sie höhere Bestellungen aus dem Papier nehme ich oben verwiesen. Also für die untere Grenze $ \ phi_3 $ erhalten wir $$ \ phi_3 (x) = \ frac, $$ und für die obere Grenze $ \ psi_3 $ erhalten wir $$ \ psi_3 (x) = \ frac. $$
Um evaulate diese beiden Funktionen von Hand müssen Sie nur hinzufügen, multiplizieren, dividieren, und nehmen ganzzahlige Potenz einer Zahl.
Um zu sehen, wie accuare dieser Methode, die ich Ihnen einige Ergebnisse.
Natürlich, weil die Methode besser für kleinere $ x $ Werte funktioniert, wenn Sie große $ x $ haben, dann könnten Sie Pade approximant mit logarithmischer Identitäten verbinden. Zum Beispiel $ 51 $ hat die Primfaktoren $ 3 $ und 17 $ $, weil der, dass wir in der Form $ \ ln $ $ \ ln (51) schreiben (51) = \ ln (3) + \ ln (17) $ so $$ \ phi_3 (50) \ Leq \ phi_3 (2) + \ phi_3 (16) = 3,766096945 \ Leq \ ln (51) $$ ist eine bessere Untergrenze und $$ \ ln (51) \ Leq \ psi_3 ( 2) + \ psi_3 (16) = 4,521380547 \ Leq \ psi_3 (50) $$ ist eine bessere obere Schranke.
Dies ist auch ein guter Ansatz zu bekommen Annäherung für $ $ \ log_b (x). Zum Beispiel für $ \ log_ (2) = \ ln (2) / \ ln (10) = 0,3010299957 $ können wir sagen, es ist irgendwo zwischen $ \ psi_3 (1) / \ psi_3 (9) = 0,2781037037 $ und $ \ phi_3 (1) / \ phi_3 (9) = 0,3085189562 $.
Und schließlich, wenn Sie einen $ erhalten n = 5 $ um Pade approximant und verwenden logarithmische Identitäten dann erhalten Sie die folgende Näherung für $ \ log_ (2) $ mit $ \ phi_5 $.
Das ist richtig für die ersten $ 4 $ Ziffern.
Sie können auch mit dieser Methode Exponentialfunktion nähern. Lesen Sie es in diesem Papier. oder in dieser MathOverflow beantworten!
Wie Sie von Hand tun Berechnungen wollen, fragen Sie nur, wie eine Tabelle von Logarithmen zu bauen.
Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten:
Ich kann ein paar mehr Details bei Bedarf geben.
Die Kombination, die Serie für $ \ ln (1 + t) $ und $ \ ln (1-t) $ erhalten Sie eine Reihe mit nur ungeraden Terme, so dass es schneller zu bedienen ist.
Es gibt Methoden, auch Logarithmen der trigonometrischen Funktionen zu berechnen: trigonometrische Formeln sind sehr nützlich, viele Berechnungen von Logarithmen zu vereinfachen.
Ich würde mich freuen, auf jedem Teil zu entwickeln, aber ich möchte verstehen, was Sie wirklich wollen. Und beachten Sie, wenn es ein brauchbarer Trick von Hand ohne Tisch ist, ohne Rechenschieber, und nichts anderes als einen Stift und Papier, wäre es anstelle den Schwergewichts-Tabellen verwendet wurde :-) Es ist nicht von Glück oder Magie, die sie waren so weit verbreitet vor dem Erscheinen von Rechenmaschinen.
und eine „musical“ Tatsache:
- viele rationale Zahlen mit kleinen Zähler und Nenner als Potenzen von 2 $ angenähert werden ^ $.
Ich nenne das einen „musical“ fact da $ 2 $ ^ die an einem (gleichen temperierten) semitone entsprechende Frequenzverhältnis ist.
Zum Beispiel: ist $ 3/2 $ das Frequenzverhältnis auf das Tonintervall eines perfekten fünften entspricht, die sieben Halbtöne sind; somit $ 3/2 \ ca. 2 ^ \ ^ ca. 10 $ und so \ $ log_ 3/2 \ ca. 7/40 $.
beantwortet 4. September '14 um 15:09 Uhr
Das ist so schön: D - Nick 6. September '14 bei 06.06
Jacques Laporte hat eine Seite erklärt einige Algorithmen, die Ziffer für Ziffer arbeiten. Für andere Funktionen (z.B. trigonometrische und hyperbolische) gibt es die Klasse der CORDIC-Algorithmen. Solche Algorithmen wurden in dem ersten HP-Rechner verwendet werden, da sie sehr bescheidene Hardware benötigen.
Auf der Mathematik: Logarithmen von Hand Berechnung ein Interesse von mir in letzter Zeit, und meine Methode ist ganz einfach. Genauigkeit ist in der Regel etwa 4 Ziffern. Ich glaube nicht, dass ich es besser erklären kann als ich es zeigen kann, so werde ich Ihr Beispiel von Log-1729 verwenden.
Erstens haben wir es brechen. log 1729 = log + 1000 1,729 log log 1000 = 3, so log 1729 = 3 + log 1,729
log 1,729 = ln 1.729 / ln 10
ln = ln 1.729 1.65 + ln (1,729 / 1,65)
ln 1,65 beträgt etwa 0,5, so ln 1,729 = 0,5 + ln (1,729 / 1,65)
(Ja, das Sie erfordert, mit einigen der natürlichen Logarithmen vertraut zu sein, wie ln 1,65 ist etwa 0.5-- sehen das Ende für mehr dazu)
ln = ln 10 (7,39) + ln (10 / 7,39) ln 10 + 2 = ln (10 / 7,39) (ungefähr)
Wenn wir zurück und schließen Sie die Dinge in zu gehen, bekommen wir, dass log 1,729 ungefähr gleich:
Hier ist der Trick: Wenn x zwischen 1 und 1,65, ln x ist in etwa gleich (x ^ 2 -1) / (2x)
Dadurch gleichen Prozess, ln (10 / 7,39) etwa 0,307089986, ln 10 macht ungefähr 2,307089986
- Teilen Sie das Original-Protokoll (wie wissenschaftliche Schreibweise)
- Durch eine Änderung der Basisformel auf den Rest
- Spaltet den Zähler / Nenner des Rests, bis der nur einen Teil innerhalb des Logarithmus zwischen 1 und 1,65
- Tragen Sie die Formel zum Teil noch in dem Logarithmus
- Vereinfachen
Es wäre unehrlich nicht um die Bereiche zu nennen, in denen dieser Prozess fehlt. Hier sind die wichtigsten Einschränkungen:
Nun, das hätte lange schnell. Hoffentlich können Sie oder sonst jemand helfen, der auf dem Thread zu stolpern geschieht wie ich es tat.