Beweis durch Erschöpfung (fallweise)
Beweis durch Erschöpfung (fallweise)
Manchmal ist die direkteste, wenn nicht die eleganteste, Art und Weise einen Beweis zu konstruieren, ist von Fällen zu prüfen.
Beispiel: Teilbarkeit
Satz. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, dann ist n 7 - N durch 7 teilbar ist.
Beweis. Erster Faktor wir N 7 - n = n (n 6 - 1) = n (N 3 - 1) (N 3 + 1) = n (n-1) (n 2 + n + 1) (n + 1) ( n 2 - n + 1). Nun gibt es 7 Fälle zu betrachten, abhängig von n = 7 q + r, wobei r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Fall 1: n = 7Q. Dann N 7 - n den Faktor n, die durch 7 teilbar ist.
Fall 2: n = 7Q + 1. Dann N 7 - n der Faktor n-1 = 7Q.
Fall 3: n = 7Q + 2. Dann wird der Faktor n 2 + n + 1 = (7Q + 2) 2 + (7Q + 2) + 1 = 49 q 2 + q 35 + 7 von 7 deutlich teilbar ist.
Fall 4: n = 7Q + 3. Dann wird der Faktor 2 n - n + 1 = (7Q + 3) 2 - (7Q + 3) + 1 = 49 q 2 + q 35 + 7 ist eindeutig durch 7 teilbar.
Fall 5: n = 7Q + 4. Dann wird der Faktor n 2 + n + 1 = (7Q + 4) 2 + (7Q + 4) + 1 = 49 q 2 + q 63 + 21 eindeutig durch 7 teilbar ist.
Fall 6: n = 7Q + 5. Dann wird der Faktor 2 n - n + 1 = (7Q + 5) 2 - (7Q + 5) + 1 = 49 q 2 + q 63 + 21 eindeutig durch 7 teilbar ist.
Fall 7: n = 7q + 6. Dann wird der Faktor n + 1 = 7q +7 ist eindeutig durch 7 teilbar.
Beweisen, jede der folgenden Komponenten ein Fallanalyse.