Fourier-Reihen Beispiele
Dieses Dokument leitet die Fourier-Reihen-Koeffizienten für mehrere Funktionen. Die Funktionen, die hier gezeigt werden, sind ziemlich einfach, aber die Konzepte erweitern, um komplexere Funktionen.
Selbst Pulsfunktion (Cosinus-Serie)
Betrachten wir die periodische Impulsfunktion weiter unten. Es ist eine gerade Funktion mit der Periode T. Die Funktion eine Impulsfunktion mit einer Amplitude A ist und die Impulsbreite Tp. Die Funktion kann über eine Periode definiert werden (zentriert um den Ursprung) als:
Abgesehen: die periodische Impulsfunktion
Die periodische Pulsfunktion kann in funktioneller Form als & pgr; t (t / Tp) dargestellt werden. Während einer Periode (um den Ursprung zentriert)
& pgr; t (t) repräsentiert eine periodische Funktion mit der Periode T und einer Impulsbreite ½. Der Impuls wird in der Zeit von Tp in der Funktion & pgr; t (t / Tp) so skaliert:
Dies kann zunächst ein bisschen schwer zu verstehen sein, aber die Sinus-Funktion prüfen. Die Funktion sin (x / 2) doppelt so langsam wie sin (x) (d.h. jede Schwingung ist doppelt so breit). In gleicher Weise & pgr; t (t / 2) ist doppelt so breit (das heißt langsam) als & pgr; t (t).
Die Fourier-Reihendarstellung ist
Da die Funktion gibt es nur noch eine Kondition.
Der Durchschnitt wird leicht gefunden,
Die anderen Bedingungen ergeben sich aus
Jedes Intervall einer Periode ist erlaubt, aber das Intervall von -T / 2 bis T / 2 ist einfach in diesem Fall.
Da xT (t) = A zwischen -Tp / 2 bis + Tp / 2 und null an anderer Stelle der integralen vereinfacht und kann gelöst werden,
Da Sinus ist eine ungerade Funktion, sin (a) -sin (-a) = 2 sin (a). und mit der Tatsache, dass ω0 = 2π / T und
Dieses Ergebnis wird in zwei Beispielen untersucht.
Beispiel 1: Sonderfall, Kapazität = 50%
Betrachten wir den Fall, wenn der Tastgrad 50% beträgt (dies bedeutet, dass die Funktion hohe 50% der Zeit ist, oder Tp = T / 2), A = 1 ist. und T = 2 ist. In diesem Fall a0 = mittel = 0,5 und für n ≠ 0:
Durchschnitt + 1 st Harmonische bis zur 3. Harmonischen. 5. Harmonischen. 7.. 21.
Das Diagramm zeigt die Funktion xT (t) (blau) und die partielle Fourier-Summe (von n = 0 bis n = N) (rot)
sowie die höchste Frequenz Harmonische, $ a_Ncos (N \ omega_0t) $ (punktierte magenta). Niederfrequenzharmonischen in der Summe sind dünn gepunktete blaue Linien (aber Harmonischen mit $ a_n0 $ werden nicht angezeigt Sie können n ändern, indem Sie die Schaltflächen klicken Nach wie vor Notiz...:
- Wie Sie Sinuswellen zunehmend höherer Frequenz hinzufügen, verbessert sich die Annäherung.
- Die Zugabe von höheren Frequenzen besser approximiert die schnellen Änderungen oder Details, (d.h. die Diskontinuität) der ursprünglichen Funktion (in diesem Fall ist die Rechteckwelle).
- Gibbs Überschreitung besteht auf beiden Seiten der Diskontinuität.
- Wegen der Symmetrie der Wellenform, nur ungeradzahlige Harmonische (1, 3, 5) ist erforderlich, um die Funktion zu approximieren. Die Gründe hierfür werden im Folgenden erörtert
- Die rechte Taste zeigt die Summe aller Harmonischen bis zur 21. Harmonischen, aber nicht alle der einzelnen Sinusoide sind auf dem Grundstück explizit dargestellt. Insbesondere Harmonischen zwischen 7 und 21 sind nicht gezeigt.
Beispiel 2: Sonderfall, Kapazität = 40%
Nun wird der Fall betrachtet, wenn das Tastverhältnis 40%, A = 1. und T = 2 ist. In diesem Fall a0 = mittel = 0,4 und für n ≠ 0:
Die Werte für einen sind in der Tabelle unten angegeben (Hinweis: dieses Beispiel auf der vorherige Seite verwendet wurde).
Durchschnittlich + 1 st Harmonische bis zu 2. Harmonischen. 3. Harmonischen. 4.. 21.
Das Diagramm zeigt die Funktion xT (t) (blau) und die partielle Fourier-Summe (von n = 0 bis n = N) (rot)
Beachten Sie, dass, weil dieses Beispiel mit dem vorherigen ähnlich ist, sind die Koeffizienten ähnlich, aber sie sind nicht mehr gleich Null für n gerade.
Auch Rechteckwelle (Exploiting Symmetrie)
In Probleme mit geraden und ungeraden Funktionen, können wir die inhärente Symmetrie nutzen das Integral zu vereinfachen. Wir werden später andere Symmetrien nutzen. Betrachten Sie das Problem oben. Wir haben einen Ausdruck für eine. n ≠ 0
Wenn xT (t) gerade ist, dann ist das Produkt xT (t) · cos (n · ω0 t) selbst (das Produkt von zwei sogar Funktionen ist gerade). Wir können dann die Tatsache nutzen, dass für eine gleichmäßige Funktion, e (t),
welches erzeugt die gleiche Antwort wie zuvor. Dies wird oft einfacher sein, das ursprüngliche Integral zu bewerten als, weil einer der Integrationsgrenzen Null ist.
Auch Rechteckwelle (Exponential-Serie)
Betrachten wir wieder die Pulsfunktion. Wir können auch vertreten xT (t) durch die Exponential Fourier-Reihen
Nach wie vor ist das Integral von -T / 2 bis + T / 2 und der Nutzung der Tatsachen, dass die Funktion für konstant ist | t | Eulersche Identität diktiert, dass e + j & thgr; -e -jθ = 2jsin (θ) so e -jθ -e + j & thgr; = -2jsin (θ). Betrachten wir die DreieckwellenAuch Triangle Welle (Cosinus-Serie)
Der mittlere Wert (das heißt die 0-te Fourierreihenkoeffizienten) ist a0 = 0 ist. Für n> 0 die anderen Koeffizienten gerade Symmetrie der Funktion wird genutzt geben
Zwischen t = 0 und t = T / 2 die Funktion durch xT definiert ist (t) = A-4at / T so
Führen Sie die Integrationen (entweder von Hand mit partieller Integration, oder mit einer Tabelle von Integralen, oder durch den Computer) und nutzt die Tatsache, dass ω0 · T = 2 · π
Da sin (π · n) = 0 vereinfacht dies
Diese Antwort ist richtig, aber darauf hingewiesen, dass
ergibt sich ein noch einfacheres Ergebnis
Beispiel 3: Dreieckwellen
Wenn xT (t) ist eine Dreieckswelle mit A = 1. die Werte für ein in der Tabelle unten angegeben (Hinweis: dieses Beispiel auf der vorherige Seite verwendet wurde).
Durchschnitt + 1 st Harmonische bis zur 3. Harmonischen. 5. Harmonischen. 7.. 9.
Odd-Funktion (Sägezahn)
Bisher betrachtet die Funktionen haben alle selbst gewesen. Das folgende Diagramm zeigt eine ungerade Funktion.
In diesem Fall ist eine Fourier-Sinus-Serie angemessen
Am einfachsten ist es von -T / 2 bis + T / 2 zu integrieren. Über dieses Intervalls $ X_t (t) = 2Bei / T $.
Durchführen der Integration (und unter Verwendung der Tatsache, dass T = 2 · π · & ohgr; 0) die integralen Ausbeuten
Mit Hilfe von zwei Vereinfachung, sin (π · n) = 0 und cos (π · n) = (- 1) n gibt
Abgesehen: Verwendung Symmetrie
In diesem Fall, da xT (t) ungerade ist und durch eine andere ungerade Funktion (sin (n · ω0 t)) multipliziert, ihr Produkt selbst und das Integral wie folgt umgeschrieben werden:
Beispiel 4: Odd Sägezahn
Wenn xT (t) ist eine Sägezahnwelle mit A = 1. die Werte für bn sind in der Tabelle unten angegeben
Durchschnittlich + 1 st Harmonische bis zu 2. Harmonischen. 3.. 4.. 5.. 20 th
Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind
Da dies keine offensichtlichen Symmetrien hat, genügt eine einfache Sinus oder Kosinus-Serie nicht. Für die trigonometrischen Fourier-Reihen erfordert diese drei Integrale
Allerdings ist eine Exponentialreihe erfordert nur ein einziges integrales
Aus diesem Grund unter anderem ist die Exponential Fourier-Reihen oft einfacher, mit zu arbeiten, obwohl es die einfache Visualisierung der trigonometrischen Fourier-Reihen lieferte fehlt.
Beispiel 5: Weder gerade noch ungerade
In diesem Fall aber nicht im Allgemeinen, können wir leicht die Fourier-Reihen-Koeffizienten finden, indem Sie erkennen, dass diese Funktion nur die Summe der Rechteckwelle ist (bei 50% Einschaltdauer) und die Sägezahn so
Durchschnittlich + 1 st Harmonische bis zu 2. Harmonischen. 3.. 4.. 5.. 20 th
- Wie Sie Sinuswellen immer höherer Frequenz hinzufügen, wird die Annäherung besser und besser, und diese höheren Frequenzen annähern besser die Details, (das heißt die Änderung der Steigung) in der ursprünglichen Funktion.
- Es ist Gibb'schen Überschreitung durch die Diskontinuitäten verursacht.
Auswirkung der Funktion Symmetrie auf Koeffizienten
Wenn die Funktion xT (t) bestimmte Symmetrien hat, können wir die Berechnung der Koeffizienten vereinfachen.
Symmetry trigonometrische Reihe und Symmetrie
xT (t) hat Halbwellensymmetrie.
Eine Funktion kann Halbwellensymmetrie
ohne entweder gerade oder ungerade ist.
Die ersten beiden sind Symmetrien wurden in den Erörterungen der Impulsfunktion (xT (t) ist gerade) und der Sägezahnwelle zuvor diskutiert (xT (t) ist ungerade).
Halbwellen-Symmetrie ist das Diagramm unten dargestellt.
Die Top-Funktion, xT1 (t). ungerade ist (xT1 (t) = - xT1 (-t)), aber keine Halbwellensymmetrie aufweisen. Die Bodenfunktion, xT2 (t) ist nether gerade noch ungerade, aber da xT2 (t) = - xT2 (t-T / 2). es hat Halbwellensymmetrie. Diese zu visualisieren vorstellen Verschieben der Funktion um eine halbe Periode (T / 2); für Halbwellensymmetrie sollte die verschobene Funktion das Spiegelbild der ursprünglichen Funktion (um die horizontale Achse) sein, wie unten gezeigt
Der Grund, warum die Koeffizienten der geraden Harmonischen Null kann unten in Zusammenhang mit dem Diagramm verstanden werden. Der obere Graph zeigt eine Funktion, xT (t) mit Halbwellensymmetrie zusammen mit den ersten vier Harmonischen der Fourier-Reihe (nur sines benötigt werden, weil xT (t) ist ungerade). Die untere Grafik zeigt die Harmonischen multipliziert mit xT (t).
Nun stellen Sie sich die Produktterme von -T / 2 bis + T / 2 zu integrieren. Die ungeraden Terme (aus dem ersten (rot) und dritter (Magenta) Harmonische) hat ein positives Ergebnis (weil sie über Null mehr sind, als sie unter Null sind). Die gleichen Bedingungen (grün und cyan) auf Null integrieren (weil sie gleich oben sind und unter Null). Obwohl dies ein einfaches Beispiel ist, gilt das Konzept für kompliziertere Funktionen, und für höhere Harmonische.
Die einzige Funkt ion mit Halbwellensymmetrie diskutiert war die Dreieckwelle und in der Tat werden die Koeffizienten mit geraden Indizes gleich Null sind (wie alle der bn Bedingungen wegen der gerade Symmetrie sind). Die Rechteckwelle mit 50% Tastverhältnis würde Halbwellensymmetrie haben, wenn sie um Null zentriert wurden (das heißt auf der horizontalen Achse zentriert). In diesem Fall wäre der a0 Begriff Null und wir haben bereits gezeigt, dass alle Bedingungen mit geraden Indizes gleich Null sind, wie erwartet.
Vereinfachungen können auch basierend auf Viertelwellensymmetrie gemacht werden. aber diese werden hier nicht diskutiert.
Exponential-Serie und die Symmetrie
Da die Koeffizienten der exponentiellen Fourier-Reihen cn sind mit den trigonometrischen Reihen im Zusammenhang mit
(Unter der Annahme xT (t) ist real) wir die Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Serie können Sie ein und bn und damit cn zu finden.
Doch zusätzlich enthalten die Koeffizienten cn einige Symmetrien ihrer eigenen. Bestimmtes,
Da die Funktion selbst ist, erwarten wir die Koeffizienten der exponentiellen Fourier-Reihen real und sogar zu sein (aus Symmetrieeigenschaften). Darüber hinaus haben wir bereits die Koeffizienten der trigonometrischen Reihen berechnet. und könnte leicht jene der Exponentialreihe berechnen. Aber lassen Sie uns es aus ersten Prinzipien zu tun. Die Exponential Fourier-Reihen-Koeffizienten sind gegeben durch
Wir können die Integrationsgrenzen ändern / 2 bis + -TP und Tp / 2 (da die Funktion Null anderswo) und fahren (die Funktion einen in diesem Intervall ist, so können wir es Drop). Wir machen auch Gebrauch von der Tatsache der ω0 = 2π / T und die Eulersche Identität für Sinus.
Der letzte Schritt bei der Ableitung durchgeführt wird, so dass wir die sinc () Funktion (ausgesprochen wie „sink“) verwenden können. Diese Funktion kommt häufig in Fourier-Analyse.
Mit dieser Definition vereinfachen die Koeffizienten
Abgesehen: die "sinc ()" Funktion
Die sinc-Funktion hat mehrere wichtige Funktionen:
Das Diagramm unten zeigt cn vs n für verschiedene Werte des Tastverhältnisses, Tp / T.
Einschaltdauer = 0,1. 0,25. 0,5. 0,75. 0,9
Die Grafik links zeigt die Zeitbereichsfunktion. Wenn Sie den mittleren Knopf drücken, erhalten Sie eine Rechteckwelle mit einem Tastverhältnis von 0,5 sehen (das heißt es hohe 50% der Zeit ist). Die Periode der Rechteckwelle ist T = 2 · π ;. Die Grafik auf der rechten Seite die Werte cn vs n als rote Kreise vs n dargestellt (die untere der beiden horizontalen Achsen; ignorieren die obere Achse jetzt). Die blaue Linie geht durch die horizontale Achse, wenn das Argument der sinc () Funktion, n · Tp / T eine ganze Zahl ist (außer wenn n = 0 ist.). Insbesondere wird der erste Durchgang der horizontalen Achse gegeben durch n · Tp / T = 1 oder n = T / Tp (man beachte, dies nicht eine ganzzahlige Wert von Tp). Es gibt mehrere wichtige Merkmale zu beachten, wie Tp variiert wird.