Schnelle Fourier-Transformation
1. Digital Audio
Pulse Code Modulation (PCM) ist die häufigste Art von digitaler Audio-Aufnahme, verwendet, um Compact Disks und WAV-Dateien zu machen.
In PCM-Aufzeichnungshardware, wandelt ein Mikrophon Schallwellen in einer veränderlichen Spannung. Dann wird eine Analog-Digital-Wandler tastet die Spannung in regelmäßigen Zeitintervallen. Zum Beispiel in einer Compact-Disc Audio-Aufnahme, gibt es 44.100 Proben pro Sekunde aufgenommen.
Die Daten, die von einer PCM-Aufnahme resultiert, ist eine Funktion der Zeit. Wie funktioniert das?
Stellen Sie sich vor, dass Sie waren sehr klein und könnte Ihre Freundin Trommelfells passen. Nehmen wir an, dass Sie die Dinge in sehr langsamen Bewegung sehen konnte, und dass Sie die Position des Trommelfells aufnehmen könnten, sobald jeder 44100. einer Sekunde. Deine Augen sind so gut, dass Sie 65.536 unterschiedliche Positionen der Oberfläche des Trommelfells bemerken können, wie sie hin und her in Reaktion auf eingehende Schallwellen bewegen.
Wenn Ihr Freund ist mit dem Klang einer Flöte zu hören, und Sie notieren Sie die Positionen des Trommelfells, die Sie bemerken, dann würden Sie eine digitale PCM-Aufnahme haben - eine Reihe von Zahlen.
Wenn Sie später Ihre eigene Trommelfells machen könnte hin und her in Übereinstimmung mit den Tausenden von Zahlen bewegen Sie nach unten geschrieben hatte, würden Sie die Flöte hören genau so, wie es ursprünglich klang. Wir haben von gegangen:
satter Sound mit Grund- und Obertönen
→ Zahlen
→ satter Klang mit Grund- und Obertönen
Um der Lage sein, aus der Reihe der Zahlen zu konvertieren zu klingen, müssen wir die Fourier-Transformation anzuwenden.
Lesen Sie weiter unten # 8681;
2. Frequenzinformationen als Funktion der Zeit
Eine Analogie für die Art der Sache eines Fourier-Transformation tut, ist ein Prisma, das in ein Spektrum von Farben weißes Licht aufspaltet.
Weißes Licht besteht aus allen sichtbaren Frequenzen (rot, orange, gelb, grün, blau, indigo und violett) zusammen gemischt (ähnlich wie die Informationen auf einer CD Klänge aller Frequenzen zusammengemischt haben) und das Prisma bricht sie auseinander, so können wir sehen, die einzelnen Frequenzen (ähnlich wie der CD-Spieler spaltet die Tonfrequenzen auseinander, so dass sie an die Lautsprecher verstärkt und gesendet werden).
In unserem inneren Ohren ermöglicht die Cochlea uns feine Unterschiede in den Klängen zu hören unsere Ohren kommen. Die Cochlea besteht aus einer Spirale aus Geweben mit Flüssigkeit und Tausenden von winzigen Härchen gefüllt, die allmählich kleiner von der Außenseite der Spirale nach innen bekommen. Jedes Haar ist mit einem Nerv verbunden, die in die Gehörnervenbündel-Feeds an das Gehirn gehen. Die längeren Haare schwingen mit niedrigeren Frequenztöne, und die kürzeren Haare mit höheren Frequenzen. Somit dient die Cochlea des Luftdrucksignal erfährt durch das Trommelfell in den Frequenzinformationen zu transformieren, das durch das Gehirn als Tonalität und Textur interpretiert werden kann.
Die Cochlea wandelt Schallwellen in elektrische Signale um.
Die Fourier-Transformation ist eine mathematische Technik, für eine ähnliche Sache tun - Lösung alle Zeitbereichs-Funktion in ein Frequenzspektrum. Die schnelle Fourier-Transformation ist eine Methode, dies zu tun Prozess sehr effizient.
3. Die Fourier-Transformation
Da wir in diesem Kapitel bereits gesehen haben, die Fourier-Transformierte auf der Entdeckung zugrunde, dass es möglich ist, jede periodische Funktion der Zeit f (t) zu nehmen und es in eine äquivalente unendliche Summierung von Sinuswellen und Kosinuswellen mit Frequenzen, die beim Start beheben 0 und die Erhöhung der ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz f0 = 1 / T. wobei T die Periode von f (t). Die sich ergebende unendliche Reihe ist die Fourier-Reihe genannt:
`F (t) = (a_0) / 2` `+ sum_ (n = 1) ^ oo (a_n \ cos \ nt + b_n \ sin \ nt)`
Die Aufgabe einer Fourier-Transformation alle ein, um herauszufinden, und bn Werte eine Fourier-Reihe, da die Grundfrequenz und die Funktion f (t) zu erzeugen.
In unserem Beispiel CD, die eine Abtastrate von 44100 Abtastungen / Sekunde aufweist, wenn die Länge der Aufzeichnungs 1024 Abtastungen ist, dann ist die Menge an Zeit durch die Aufzeichnungs repräsentierte
Sekunden, so wird die Grundfrequenz f0 in Hz
Wenn Sie diese 1024 Abtastwerte mit der FFT (Fast Fourier Transformation) -Prozesses, wird der Ausgang der Sinus- und Cosinus-Koeffizienten an und für die Frequenzen bn
43 066 Hz,
2 x 43 066 = 86 132 Hz,
3 x 43 066 = 129. 20 Hz usw.
Lassen Sie uns sagen, dass wir die FFT verwenden, um eine Reihe von Zahlen auf einer CD zu verarbeiten, in einen Ton.
So ist die Fourier-Reihen wären:
`F (t)` `= 1,6 / 2`` + sum_ (n = 1) ^ 5 (((- 1) ^ n) / NCOs \ `270.59nt`
= 0,8-1,0 cos 270.59t + sin 270.59t + 0,5 cos 541.18t + 0,333 sin 541.18t - 0,333 cos 811.77t + 0,2 sin 811.77t + 0,25 cos 1082.4t + 0,14286 sin 1082.4t - 0,2 cos 1353.0t + 0,11111 sin 1353,0 t +.
Hier ist die grafische Darstellung:
Wir haben eine Schallwelle aus den digitalen Daten von der CD in das Soundsystem des CD-Players eingespeist rekonstruieren.