Integration durch Partialbruchzerlegung

DAS VERFAHREN ZUR INTEGRATION VON Partialbrüche

Alle folgenden Probleme verwenden, um die Methode der Integration durch Teilfraktionen. Dieses Verfahren basiert auf dem einfachen Konzept Fraktionen der Zugabe von auf einen gemeinsamen Nenner zu bekommen. Beispielsweise,

Dieses Konzept kann auch mit Funktionen verwendet werden. Beispielsweise,

Nehmen wir nun an, dass es Konstanten und damit

Es kann gezeigt werden, dass eine solche Konstanten existieren immer für die rationale Funktion, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind. Sie sind

1. Beide sind und Polynome (Konstanten zusammen mit positiven ganzzahligen Potenzen von nur)

und

2. der Grad (höchste Macht) von kleiner als der Grad an.

Lassen Sie uns gehen. Bisher haben wir

(Holen Sie sich einen gemeinsamen Nenner und die Fraktionen hinzufügen.)

Da die Fraktionen in der obigen Gleichung die gleichen Nenner haben, folgt daraus, dass ihre Zähler gleich sein müssen. So,

Die rechte Seite dieser Gleichung kann eine Funktion davon bis 6 für alle Werte von gleich betrachtet werden. Insbesondere muss es auch für bestimmte Werte von wahr sein. Zum Beispiel, wenn wir entscheiden,

Wenn wir entscheiden,

Es soll beachtet werden, dass und wurden für die Verwendung in der Gleichung (**) für ihre Bequemlichkeit von `` eliminiert“Ausdrücke in der Gleichung gewählt. Doch alle andere zwei Möglichkeiten für die exakt gleichen Werte führen und (nach zwei Lösungs Gleichungen mit zwei Unbekannten). Probieren sie es aus. nach diesem Verfahren, um die Vertrautheit einige Zeit zu sparen, in die Gewohnheit von dem Schritt in Gleichung (*) direkt zu dem Schritt in Gleichung (** gehen). Hier ist ist ein weiterer wichtiger Punkt zu berücksichtigen, wenn die Methode der partiellen Fraktionen auf die rationale Funktion anwenden. Wenn der Grad (höchste Leistung) gleich oder größer als der Grad der, dann müssen Sie Polynomdivision verwenden, um die gegebene rationale Funktion neu zu schreiben als die Summe aus einem Polynom und eine neuen rationalen Funktion erfüllt Bedingung 2 oben. zum Beispiel Polynomdivision führt zu

wo die rationale Funktion auf der rechten Seite der Gleichung Bedingung erfüllt 2. Es gibt noch andere Punkte zu beachten. Es sei daran erinnert, dass die komplexe Zahl, so dass und. Darüber hinaus, wenn zwei komplexe Zahlen gleich sind, dann ihre reellen und komplexen Komponenten sind gleich. Das heißt, wenn

Nehmen wir nun an, dass es Konstanten und damit

Da ist ein irreduzibles quadratischer Ausdruck, unter der Annahme, nur dass

(Holen Sie sich einen gemeinsamen Nenner und die Fraktionen hinzufügen.)

Da die Fraktionen in der obigen Gleichung die gleichen Nenner haben, folgt daraus, dass ihre Zähler gleich sein müssen. So,

Diese Gleichung kann zwei Funktionen, von denen für alle Werte von einander gleich sind in Betracht gezogen werden. Insbesondere muss es auch für bestimmte Werte von wahr sein. Zum Beispiel, wenn wir `` bequem“wählen

Wenn wir entscheiden,

Wir werden die Vertrautheit mit den folgenden Regeln der Differenzierung übernehmen.

ein.)
b.)
c.)

Nehmen wir an, auch die Kenntnis der folgenden bekannten, grundlegenden unbestimmten Integral Formeln.

. wo eine Konstante
. wo eine Konstante

Die meisten der folgenden Probleme sind durchschnittlich. Ein paar sind anspruchsvoll. Es wird davon ausgegangen, dass Sie mit der Methode der u-Substitution beherrschen. Machen Sie eine sorgfältige und genaue Verwendung der Differential Notation und und vorsichtig sein, wenn arithmetisch und algebraische Ausdrücke zu vereinfachen. Lösungen für alle folgenden Probleme wird die Gleichung (*) Gleichung (**) shortcut dargestellt in den beiden Beispielen oben angegebenen verwenden.

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