Wie Partialbrüche zu tun
Die Zugabe von Rational Expressions
In der Arithmetik haben Sie gelernt, wie man Brüche hinzuzufügen. Sie fanden den kleinsten gemeinsamen Nenner, und dann multipliziert beide Zähler und Nenner eines jeden Begriff von dem, was nötig war der gemeinsame Nenner zu vervollständigen.
In der Algebra haben Sie diesen Prozess durch auf der Zugabe von rationalen Ausdrücken. Sie multipliziert erneut den Zähler und Nenner eines jeden Begriff von dem, was aus dem Nenner dieses Begriffes fehlt.
Bei der Diskussion über Polynome in Abschnitt 3.4. wir gelernt, dass jedes Polynom mit reellen Koeffizienten nur mit linearen und nicht reduzierbar quadratischen Faktoren berücksichtigt werden kann. Das bedeutet, dass es nur zwei Arten von Faktoren, die wir haben zu befürchten.
linear Factors
Irreduzible Quadratic Faktoren.
wiederholte Factors
Zum Beispiel, wenn Sie ein (x-2) 3. haben müssen Sie ein (x-2), ein (x-2) 2. und ein (x-2) 3 aufzunehmen.
Die Exponenten von 2 oder 3 ändert sich nicht, ob der Faktor linear oder quadratisch ist, nur, wie oft der Faktor ist. Jede dieser (x-2) Faktoren würde einen konstanten Term im Zähler erhalten, weil x-2 linear ist, unabhängig davon, welche Macht es wird angehoben.
unsachgemäße Bruch
Ein echter Bruch ist ein Bruchteil, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist. Für rationale Ausdrücke, bedeutet, dass der Grad im Zähler weniger als der Grad im Nenner. Falls Sie einen unechten Bruch haben, haben Sie zunächst lange Division auszuführen, um einen Quotienten und einen Rest zu erhalten.
Die Grundgleichung
Nach dem Einstellen der Partialbruch Gleichung auf, multiplizieren Sie beiden Seiten der Gleichung durch den kleinsten gemeinsamen Nenner der Fraktionen loszuwerden. Die resultierende Gleichung, ohne die Fraktionen wird die Grundgleichung genannt.
Technik 1 - Wählen Sie Werte für x
In dem Beispiel auf der rechten Seite, nehmen wir jeden Faktor im Nenner und geben ihm seinen eigenen Begriff auf der rechten Seite. Da jeder Faktor im Nenner linear ist und die rationale Ausdrücke sein muß richtige, wurde ein konstanter Term in jedem Zähler jeden Ausdrucks platziert. Wir multiplizieren mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner durch, ohne dass die Fraktionen, die bei der Gleichung zu gelangen. Diese Gleichung wird die Grundgleichung und ist genannt.
x + 2 = A (x - 4) + B x
„Nice“ Werte für x sind diejenigen, die jeder linearen Faktor verursachen Null. In diesem Fall x = 4 und x = 0 sind nett. „Nice“ Werte werden jeden Begriff mit Ausnahme verursachen für eine aus der Gleichung heraus zu fallen, und so werden Sie in der Lage sein, den Wert einer Variablen finden sehr schnell.
Wenn Sie x = 0 lassen, fällt der B Begriff aus und Sie erhalten.
0 + 2 = A (0-4) bzw. 2 = -4A. Solving, die A = -1/2 gibt.
Wenn Sie x = 4 lassen, fällt die Ein Begriff aus und Sie erhalten.
4 + 2 = B (4) oder 6 = 4B. Solving, die mit B = 3/2 ergibt.
Hinweis: Es gibt nur so viele schöne Werte, da es verschiedene (andere) lineare Faktoren. Wenn lineare Faktoren oder nicht reduzierbare quadratische Faktoren wiederholt werden (wiederholt oder nicht), werden Sie nicht genug „nett“ Werte zu holen. In solchen Fällen, dass, haben Sie praktisch, aber nicht so schön Werte holen und dann die bekannten Konstanten in der Gleichung ersetzen die anderen Konstanten zu finden. Stecken Sie einfach Zahlen wie x = 0, x = 1, usw.
Sie müssen so viele Werte für x holen, da es Konstanten gefunden werden.
Technik 2 - Erstellen eines System linearer Gleichungen
Die erste Technik von Werten für x Kommissionierung funktioniert sehr gut, wenn alle Faktoren sind verschiedene lineare Faktoren. Wenn es irgendwelche linearen Faktoren sind, dann erste Methode ist wahrscheinlich immer noch die bessere Technik zu verwenden. Wenn es jedoch nur irreduziblen quadratischen Faktoren sind, dann geht das Verfahren von Werten für x Kommissionierung kann chaotisch werden.
Es gibt einen anderen Weg, diese Probleme zu tun (eigentlich diese Technik funktioniert, wenn es lineare Faktoren, nur, dass die anderen einfacher und schneller ist).
2x 2 + x + 8 = Ax (x 2 + 4) + B (x 2 + 4) + Cx + D
Nun ist die Differenz kommt.
Gehen Sie weiter und erweitern (ausmultiplizieren) die Grundgleichung.
2x 2 + x + 8 + 3 = Ax + Bx 4AX 2 + 4B + Cx + D
und neu zu gruppieren, die Bedingungen durch gemeinsame Kräfte der Variablen x.
2x 2 + x + 8 + 3 = Ax + Bx 2 4AX + Cx + 4B + D
Faktor nun durch Macht die x aus.
2x 2 + x + 8 = (A) x 3 + (B) x 2 + (4A + C) x + (4B + D) (1)
Der nächste Teil funktioniert, weil, wenn zwei Polynome gleich sein werden, sie die gleiche Anzahl von ähnlichen Begriffen auf beiden Seiten haben. Also hier der Trick ist, beide Seiten der Gleichung gleichzusetzen zusammen mit ähnlichen Begriffen gleich.
Stellen Sie die 3 x Begriffe auf der linken Seite (von denen es keine) gleich den x 3 Terme auf der rechten Seite (von denen es A) an der ersten Gleichung 0 = A ankommen. Nun, das war recht einfach, und schon haben Sie den Wert für A.
Set der x 2 Begriffe auf der linken Seite (von denen es 2), die gleich den x 2 Terme auf der rechten Seite (von denen es B) an der zweiten eqation von 2 = B zu gelangen. Jetzt wissen Sie, B.
Für die x gibt es 1 auf der linken Seite und 4A + C auf der rechten Seite, so 1 = 4A + C.
Für die Konstanten gibt es 8 auf der linken Seite und 4B + D auf der rechten Seite, so 8 = 4B + D.
Achten Sie darauf, und vereinfacht die Antwort, wenn nötig.
Dieses Beispiel war eigentlich recht einfach, weil Sie in der Lage waren A und B finden rechts von der Fledermaus. Viele Male, müssen Sie ein viel größeres System von Gleichungen zu lösen, um die Werte zu finden.