Inverse Funktionen (Trig ohne Tränen Teil 9)
Was ist eine Inverse?
Ein inverser ist das mathematische Äquivalent eines Undo. Zum Beispiel, wenn Sie sich einen Winkel A = 40 ° haben, können Sie eine ≈ 0.64 sin finden. Aber Sie müssen die andere Richtung gehen, wenn Sie ein Dreieck sind zu lösen. Zum Beispiel könnten Sie sin B = 0,82 und haben zu finden, den Winkel B. Sie sind nicht zu fragen, was ist der Sinus von einem gewissen Winkel, sondern vielmehr: „Was Winkel hat eine Sinus gleich 0,82?“ Bekommen
Ist arcsin eine Funktion? Nun, schauen Sie auf die Grafik von y = 0,82 gegen y = sin x. Wo sie sich kreuzen ist arcsin (0,82), und natürlich gibt es viele mögliche Antworten. Obwohl also die Sünde eine Funktion, arcsin ist nicht. Der Rechner gibt Ihnen eine Antwort von ca. 55 °, aber das ist nur eine von unendlich vielen. Sie wissen aus Gleichung 22, dass sin (180 ° - x) = sin x. und seit 180 ° - 55 ° = 125 °, sin 125 ° = sin 55. Aber alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch. alle 360 ° für immer, so unendlich viele Winkel (oder Zahlen) einen Sinus von 0,82 zu wiederholen:
arcsin (0,82) ≈ (55 + 360K) ° und (125 + 360K) °, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
arcsin (0,82) ≈ (0,96 + 2πk) und (2,18 + 2πk) ist, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Hauptwerte
So arcsin (0,82) ist alle Zahlen (oder Winkel), dessen Sinus 0,82. Aber wenn wir wollen eine inverse Sinusfunktion. wir haben eine einzige Antwort haben. Die einzige Antwort ist der Hauptwert genannt und geschrieben Arcsin (0,82):
Arcsin (0,82) ≈ 55 °, oder 55π / 180 = 0,96 im Bogenmaß.
Arcsin (x), mit dem Großbuchstaben, ist der Hauptwert von arcsin (x). Klein arcsin (x) ist, alle möglichen Zahlen oder Winkel, dessen Sinus x. Die gleiche Konvention gilt für die anderen fünf Funktionen. (Siehe Notation. Unten, für andere Arten des Schreibens der inversen Beziehung und die inverse Funktion.)
Jetzt alles, was wir brauchen, ist eine Regel, die wichtigsten Werte aller inversen trigonometrischen Funktionen für die Kommissionierung. Wir wollen ein kontinuierliches Intervall, ohne Lücken, und wir wollen, dass Intervall Bereich von 0 ° bis 90 ° (0 bis & pgr; / 2) umfassen. Es stellt sich heraus, dass die sechs Funktionen können nicht alle die gleiche Reichweite haben.
Für Arcsin. die einzige Möglichkeit, dass diese Anforderungen erfüllt, ist, daß Arcsin x eine Zahl in dem Intervall zurückkehren muß [-π / 2, + π / 2], die die gleichen wie [-90 °, + 90 °].
Die inverse Tangens Arctan. fast gleich ist. Aber da gibt es keinen Wert für tan (± 90 °) oder tan (± π / 2), wobei der Bereich von arctan offenes Intervall (-π / 2, + π / 2) oder (-90 °, + 90 °) .
Was ist Arccos. Der Kosinus ist positiv in beiden Quadranten I und Quadranten IV, so dass der Arkuskosinus einer negativen Zahl muss in Quadranten II oder III Quadranten fallen. Thomas (Calculus und Analytische Geometrie, 4. Auflage) löst dieses Problem in einer ordentlichen Art und Weise. Denken Sie daran, aus der Gleichung 2, dass
Es macht eine schöne Symmetrie zu schreiben
Arccos x = π / 2 - Arcsin x
Und das ist, wie Thomas die inverse Kosinus-Funktion definiert. Da der Bereich von Arcsin das geschlossenen Intervall [-π / 2, + π / 2], ist der Bereich der Arccos π / 2 minus dass, [0, π] oder [0 °, 180 °].
Sobald der Bereich für arctan definiert ist, gibt es wirklich nur eine vernünftige Art und Weise arccot zu definieren:
cot x = tan (π / 2 - x) ⇒ arccot x = π / 2 - arctan x
was das einzelne offene Intervall (0, π) oder (0 °, 180 °) als der Bereich.
Thomas definiert die Arcsec und Arccsc Funktionen der gegenseitigen Beziehungen aus Gleichung 5:
Das bedeutet, dass Arcsec und Arccsc die gleichen Bereiche wie Arccos und Arcsin sind.
Hier sind die Domänen (Eingänge) und Bereiche (Ausgänge) alle sechs inversen trigonometrischen Funktionen:
Denken Sie daran, dass die inversen Beziehungen arcsin usw. sind mehrdeutig, nicht auf die obigen Bereiche der Funktionen beschränkt. Wenn Sie das Kapital A in der Funktion Namen, wissen Sie, Sie über die Funktion reden; sonst muss man vom Kontext abhängig.
In diesem Buch wird arcsin die vieldeutige inverse Beziehung mit Klein ein, und der inversen Funktion ist Arcsin mit Kapital A. Das ist eine gemeinsame Wahl in den USA ist, aber es ist nicht die einzige Wahl.
- Einige Bücher, darunter Thomas, verwenden Sie sin -1 für die Funktion. Das ist eigentlich eine logische Wahl, da -1 der normale Weg ist eine inverse Funktion zu bezeichnen. Aber das Problem ist, dass es macht Dich die Sünde denken -1 (x) als 1 / sin (x), auch wenn sie nicht die überhaupt gleich.
- Viele Rechner verwenden sin -1 für den Funktionsnamen, obwohl einige Klein arcsin verwenden.
- Excel und viele Programmiersprachen verwenden asin für die Funktion.
- Außerhalb der US-Klein arcsin bedeutet oft den Hauptwert, und wenn Sie die mehrdeutigen Beziehung wollen, müssen Sie eine Umschreibung verwenden.
Weil es so viele Konventionen sind, erklären Autoren im Allgemeinen die Notation sie verwenden, so dass für beobachten.
Funktionen von Arcfunctions
Manchmal müssen Sie Ausdrücke auswerten wie
Das sieht beängstigend, aber es ist eigentlich ein Stück Kuchen. Sie können in zwei einfachen Schritten, mit dieser Methode jede trigonometrische Funktion einer inversen trigonometrischen Funktion vereinfachen:
Denken Sie an der inneren arcfunction als Winkel. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und Beschriftung, die Winkel und die beiden entsprechenden Seiten.Beispiel 1: cos (arctan x)
Da dieses Lehrbuch hilft Ihnen,
klicken Sie bitte zu spenden! Da dieses Lehrbuch hilft Ihnen,
Bitte spenden an
BrownMath.com/donate.
Lassen Sie sich einen Namen zu, dass „Winkel, das“ geben. Nennen Sie es ein:
von denen Sie wissen, dass
Alles was Sie jetzt tun müssen, ist cos A. zu finden und das ist einfach, wenn Sie ein kleines Bild zeichnen.
Der nächste Schritt ist die dritte Seite zu finden. Hier wissen Sie, die zwei Beine, so verwenden Sie den Satz des Pythagoras die Hypotenuse zu finden, √ 1 + x ². (Für einige Probleme, wissen Sie, ein Bein und die Hypotenuse, und Sie werden den Satz verwenden das andere Bein zu finden.)
Wenn Sie alle drei Seiten Längen haben, können Sie den Wert einer Funktion von A. In diesem Fall Sie cos A. müssen aufschreiben, die benachbarte Seite über Hypotenuse ist:
Aber cos A = cos (arctan x). Deswegen
cos (arctan x) = 1 / √ (1 + x ²)
und es gibt die Antwort.
Beispiel 2: cos (Arcsin x)
Lesen dies als „der Kosinus des Winkels A, dessen Sinus x“. Zeichnen Sie Ihr Dreieck und Label Winkel A. (Bitte eine Minute dauern, und die Zeichnung machen.) Sie wissen aus Gleichung 1, dass
Als nächstes wird für die dritte Seite zu lösen, wobei (1-x ²) ist √, und schreibt das auf. Nun müssen Sie cos A., die die benachbarten Seiten über der Hypotenuse ist, das ist √ (1-x ²) / 1. Antworten:
cos (Arcsin x) = √ (1-x ²)
Dort gehen Sie: schnell und schmerzlos.
Beispiel 3: cos (arctan 1 / x)
Jetzt können Sie nach unten cos A. schreiben, die benachbarte über Hypotenuse ist:
Aber dieses Beispiel hat ein Problem, das in den früheren Beispielen nicht auftritt.
Es sei x negativ ist, sagen -√3. Dann arctan (-1 / √3) = -π / 6 und cos (-π / 6) = + (√3) / 2. Aber die Antwort oben, x / √ (1 + x ²), Erträge -√3 / √ (1 + 3) = - (√3) / 2, die das falsche Vorzeichen hat.
Was schief gelaufen ist? Das Problem ist, dass Arctan ergibt Werte in (-π / 2, + π / 2), die die Quadranten IV und I. Aber der Cosinus ist immer positiv auf diesem Intervall. Daher cos (arctan x) ergibt immer ein positives Ergebnis. Denken Sie daran, auch aus der Gleichung 22, die cos (-A) = cos A. Um dies zu gewährleisten, verwenden Sie die absoluten Wert Zeichen, und die wahre endgültige Antwort ist
Warum jedes Beispiel dieses Problem nicht haben? Die früheren Beispiele nur den Platz einer Variablen beteiligt, die von Natur aus nicht-negative ist. Nur hier, wo wir eine ungerade Macht haben, spielt es eine Rolle. Ja, das gilt für die erste Leistung, auch wenn der Exponent 1 nicht geschrieben wird.
Arcfunctions der Funktionen
Wir können sofort sagen, dass es keine reine algebraische entspricht einer arcfunction einer trigonometrischen Funktion. Das heißt, es wird nicht schön ordentlich Verfahren sein, da es für die Funktionen von arcfunctions war
Warum? Die sechs trigonometrischen Funktionen sind alle periodischen und damit jede Funktion eines von ihnen auch periodisch sein müssen. Aber keine algebraischen Funktionen sind periodisch, mit der Ausnahme trivialen wie f (x) = 2, und somit keine Funktion einer trigonometrischen Funktion kann durch algebraische Operationen rein dargestellt werden. Wie wir sehen werden, können einige dargestellt werden, wenn wir nicht-algebraischen Funktionen wie mod und Boden hinzuzufügen.
Beispiel 4: Arccos (sin u)
Dies ist der Winkel, dessen Kosinus sin u. Zu kommen mit einer einfacheren Form, x gleich den gewünschten Ausdruck festgelegt, und die Gleichung zu lösen, indem Kosinus beiden Seiten unter:
Dies könnte gelöst werden, wenn wir es irgendwie sündigen verwandeln können (etwas) = sin u oder cos x = cos (etwas anderes). In der Tat können wir Gleichung 2 verwenden, das zu tun. Es sagt uns, dass
und Kombinieren, dass mit dem oben haben wir
Nun, wenn x in Quadrant I ist, der das Intervall [0, π / 2], u dann wird in Quadrant sein ich auch, und wir können schreiben
Arccos (sin u) = π / 2-U für U in Quadranten I
Aber diese Lösung funktioniert nicht für alle Quadranten. Zum Beispiel versuchen, eine Reihe von Quadranten II:
Arccos (sin (5π / 6)) = arccos (½) = π / 6
π / 2 - 5π / 6 = -π / 3
Offensichtlich n / 2-u keine allgemeine Lösung für Arccos (sin u) ist. Versuchen Sie die grafische Darstellung Arccos (sin x) und π / 2-x und Sie sehen das Problem: Die eine ist ein Sägezahn und das andere ist eine gerade Linie.
Die Wiederholung jeder 2π ist schwieriger zu reflektieren, aber dies gelingt es:
wobei „Boden“ bedeutet die größte ganze Zahl kleiner als oder gleich. Unordentlich, nicht wahr? (Beachten Sie auch, dass „Boden“ ist nicht eine algebraische Funktion.)
Es könnte ein bisschen kürzer mit mod gemacht werden (was auch nicht algebraische ist):
Arccos (sin u) = | π - mod (u + π / 2, 2π) |
wobei mod (a. b) ist der nicht-negativer Rest, wenn a durch b geteilt wird.
Beispiel 5: Arcsec (cos u)
Dieser, der Winkel, dessen Sekante ist cos u. hat eine sehr seltsame Lösung. Versuchen Sie, die Lösungsverfahren aus Beispiel 4 und Sie erhalten
Aber sec x = 1 / cos x. und deshalb
Denken Sie jetzt an dieser Gleichung. Die Werte des Kosinus sind alle zwischen -1 und +1. So ist die einzige Art und Weise ein Cosinus kann der reziproke eines anderen sein, wenn sie beide gleich 1 oder beide gleich -1; keine anderen Lösungen gibt.
Erster Fall: Wenn cos u = 1, dann ist u ein gerades Vielfaches von π, oder mit anderen Worten ein Vielfaches von 2π. Aber Arcsec 1 = 0, und deshalb
Arcsec (cos u) = 0, wenn u = 2kπ
Zweiter Fall: Wenn cos u = -1, dann ist u ein ungerades Vielfaches von π. Aber Arcsec (-1) = π, und deshalb
Arcsec (cos u) = π, wenn u = (2k + 1) π
Wenn u nicht ein Vielfaches von π ist, cos u wird weniger als 1 und größer als -1. Die Arcsec Funktion wird nicht für solche Werte festgelegt, und deshalb
Arcsec (cos u) nicht vorhanden ist, wenn u nicht ein Vielfaches von π ist,
Der Graph von Arcsec (cos u) ist eher neugierig: einzelne Punkte an den Enden eines unendlichen Sägezahn. (-3π, π), (-2π, 0), (-π, π), (0, 0), (π, π), (2π, 0), (3π, π).
Beispiel 6: arctan (sin u)
Indem man in der regulären Art und Weise, wir haben
Der wahrscheinlichste Ansatz ist derjenige von Beispiel 4. Versuchen Sie, die oben in tan (x) = tan (etwas) oder sin (etwas anderes) = sin u zu transformieren.
Wenn es irgendeine trig Identität oder eine Kombination ist, die verwendet werden können, das zu tun, ist es mir nicht bekannt. Ich vermute stark, dass arctan (sin u) kann nicht in einen algebraischen Ausdruck umgewandelt werden, auch bei der Verwendung von mod oder auf dem Boden, aber ich kann es nicht beweisen.
Übungsaufgaben
Um den größtmöglichen Nutzen aus diesen Problemen zu erhalten, arbeiten sie ohne zuerst die Lösungen zu suchen. Beziehen Sie sich auf das Kapitel Text, wenn Sie Ihr Gedächtnis aufzufrischen müssen.
Empfehlung. Arbeiten, um sie auf dem Papier - es schwieriger ist, sich selbst zu täuschen darüber, ob Sie wirklich ein Problem vollständig zu verstehen.
Sie werden komplette Lösungen für alle Probleme finden. Nicht nur Ihre Antworten, aber auch Ihre Methode überprüfen.
1 Die möglichen Ausgangswerte von x Arcsin umfassen ± π / 2, aber die möglichen Ausgangswerte der Arctan x nicht. Warum kann arctan x nie gleich -π / 2 oder π / 2?
2 Finden sec (Arcsin x). Denken Sie daran, eine Skizze zu machen, um Ihnen zu helfen. Wählen Sie einen Wert wie x = -0,7, als Testfall Ihre Antwort zu überprüfen.
3 Finden Sie sin (Arccos 1 / x). Denken Sie daran, eine Skizze zu machen, um Ihnen zu helfen. Wählen Sie einen Wert wie x = 1,3, als Testfall Ihre Antwort zu überprüfen.
Was gibt's Neues
Da dieses Lehrbuch hilft Ihnen,
klicken Sie bitte zu spenden! Da dieses Lehrbuch hilft Ihnen,
Bitte spenden an
BrownMath.com/donate.