logarithmische Funktionen
Was ist ein Log und Warum Them wir brauchen?
Ich muss zugeben, dass Protokolle eines meiner Lieblingsthemen in Mathe sind. Ich bin mir nicht ganz sicher, warum, aber man kann mit ihnen so viele tolle Sachen tun! Wir werden bald sehen, dass Protokolle verwendet werden können, um „die Variable im Exponenten runter“, so dass wir für sie lösen können. Aber Logarithmen sind auch für viele andere Dinge verwendet werden, einschließlich früh Berechnungen durchzuführen - vor Taschenrechnern und Computern um waren. Haben Sie schon einmal von einem Rechenschieber gehört? (Fragen Sie Ihre Eltern ...)
Ein Rechenschieber verwendet wurde (unter anderem) zu multiplizieren, und eine große Zahl dividieren durch Hinzufügen und ihre Exponenten subtrahiert wird. Die Zahlen auf den Rechenschieber hatte verschiedene Skalen ( „logarithmische Skalen“, was bedeutet, dass der Abstand zwischen den Zahlen exponentiell erhöhen) und man konnte einfach eine Nummer nachschlagen, und das Lineal verschieben auf eine andere Nummer über die Zahl, die Sie erhalten möchten. Wenn dies zu tun, fügen Sie und Exponenten subtrahieren, so multipliziert und große Zahlen. Genius!
Definition von Logarithmen
Denken Sie daran: Ein Protokoll in Exponenten ist. Also, wenn Sie das Protokoll von etwas nehmen, Sie bekommen einen Exponenten zurück. Die beiden folgenden Gleichungen sind zwei verschiedene Möglichkeiten, um die gleiche Sache zu sagen, aber die erste ist eine exponentielle Gleichung, und die zweite ist eine logarithmische Gleichung.
Beachten Sie, dass b ist die Basis des Protokoll genannt, und muss größer als 0 (also müssen wir nicht mit komplexen Zahlen umgehen). Auch kann die Basis nicht seine 1. oder die Gleichungen nicht exponentiell oder logarithmisch sein.
Der y in der Log-Gleichung ist das Argument genannt, und es muss größer als 0 wieder sein, um komplexe Zahlen zu vermeiden.
Um darzustellen, wie diese beiden Gleichungen in Beziehung stehen, oft ein „loop“ dargestellt, was zeigt, dass mit dem x gleich y b angehoben. Auch hier ist y das Argument des Stammes genannt, und man kann es als \ schreiben (_> x \) oder \ (_> (x) \). Lernen Sie diese gut!
Hinweis. Wenn es keine b neben dem Protokoll ist, dann wird die Basis sein 10 angenommen.
Hier sind einige Beispiele, bei denen wir eine exponentielle Funktion in eine Log-Funktion und eine Log-Funktion einer Exponentialfunktion ändern. Siehe die Schleife?
Die meisten der Logarithmen, die Sie mit arbeiten müssen Sie entweder eine Basis von „10“ oder Base „e“ (weil wir in der Basis 10 mit unserem Zählsystem beschäftigen werden). Ein Logarithmus mit Basis 10 ist ein Zehnerlogarithmus bezeichnet. und wenn Sie „log“ ohne einen kleinen Index für die Basis zu sehen, vorausgesetzt, dass Sie es Basis ist 10. So \ (\ log \ left (1000 \ right) = 3 \) und \ (_> \ left (1000 \ right) = 3 \), aber wir brauchen nicht die 10. Logarithmus mit Basis e ist der „natürliche Logarithmus“ genannt und wird geschrieben als \ (ln \ left (x \ right) \). So schreiben wir \ (_> \ left (x \ right) \) als \ (ln \ left (x \ right) \).
viele Anwendungen sowohl in Technik und Wirtschaft wieder hat die Basis „e“.
Sie können Grafik-Taschenrechner-Tasten verwenden, um die grundlegenden Protokolle zu finden: LOG (Basis 10) und LN. Für Protokolle mit anderen Basen, können Sie eine Funktion namens LogBase unter MATH (oder ALPHA FENSTER 5), oder verwenden, was wir einen „Wechsel der Basis“ Formel nennen, dass wir hier vorstellen werde und unter etwa mehr in Grund Log Eigenschaften sprechen . Wir haben gelernt, wie Exponenten setzen in den Rechner (mit ^) hier in den Exponenten und Radikalen in Algebra Abschnitt.
Beachten Sie, dass Sie auch Ihren Rechner logarithmischer Regressionen ausführen können. mit einer Reihe von Punkten, wie haben wir hier im Abschnitt Exponentialfunktionen.
Hier sind einige Beispiele von Eltern Protokoll Graphen. Noch einmal, ich erinnere mich immer, dass der „Ankerpunkt“ der Exponentialfunktion, die wir gesehen haben ist (bevor eine Verschiebung des Graphen) (0, 1) (seit dem „e“ in „exp“ sieht aus wie ein „0 Runde „) und der‚Ankerpunkt‘eines Protokolls functionis (1, 0), (da dies sieht aus wie der‚lo‘in‚log‘). Wir müssen auch bedenken, dass, wenn die Funktion verschiebt sich dieser „Ankerpunkt“ bewegt. Beachten Sie auch, dass der Graph einer Log-Funktion (eine übergeordnete Funktion: eine, die nicht verschoben wird) eine Asymptote von x = 0 ist.
Diese Eltern Grafiken können wie die anderen Eltern Graphen in der übergeordneten Funktionen und Transformationen Abschnitt umgewandelt werden.
Wenn mit Protokollen arbeiten, gibt es bestimmte Verknüpfungen, die Sie immer und immer wieder verwenden können. Es ist wichtig, diese zu verstehen, aber später, wenn sie in Betrieb nehmen, mit ihnen vertraut, so dass Sie sie schnell verwenden. Denken Sie an einige der Regeln als „Aufheben“ die Protokolle mit den Exponenten. Und vergessen Sie nicht das Protokoll „Schleife“:
Nun zu den wichtigen Protokolleigenschaften. Diese Eigenschaften werden von der Tatsache abgeleitet, dass wir Exponenten hinzufügen, wenn wir Begriffe mit Exponenten multipliziert. wir subtrahieren Exponenten, wenn wir teilen. und wir multiplizieren Exponenten, wenn wir sie auf eine Leistung zu erhöhen. Diese sind leistungsfähige Eigenschaften, die wir verwenden müssen Variablen in Exponenten zu isolieren, so dass wir für sie lösen können. Sie werden diese auswendig lernen müssen, und denken Sie daran, dass für die ersten drei, müssen Sie mit Protokollen mit der gleichen Basis zu tun haben:
Und vergessen Sie nicht die Grundlagen:
Jetzt werden wir diese Eigenschaften verwenden, um Protokolle zu erweitern und zu verdichten. Protokolle allgemein Spreizmittel „innen Multiplikation“ (mit nur einem log) auf „außerhalb Zugabe“ (mit mehreren Protokollen) drehen. Kondensieren Logs bedeutet im Allgemeinen die „Außen Zugabe“ (mit mehreren Protokollen) in die „Innenseite Multiplikation“ (mit nur einem log) drehen.
Warum brauchen wir das alles tun? Wir müssen Protokolle erweitern und zu verdichten Protokoll Probleme zu lösen. Beachten Sie, dass, wenn Protokolle erweitert, es ist generell eine gute Idee, um die Macht der Regel zuletzt (es sei denn ganze Begriffe auf eine Leistung erhoben werden, wie in dem dritten Beispiel) anzuwenden. Beachten Sie auch, dass diese Protokolle können mit oder ohne die Argumente in Klammern geschrieben werden (zum Beispiel als \ (_> 5 ^> \, \, \, \ text \, \, \, \, _> \ left (5 ^> \ right) \), die als \ unterscheidet (_> 5x \ right)> ^> \)).
Nun wollen wir den anderen Weg gehen. Wenn Protokolle Kondensieren, dann ist es im Allgemeinen besser, zuerst die Macht Regel anzuwenden.
Jetzt können wir alle diese Tools verwenden, um Log-Gleichungen zu lösen! Denken Sie daran, wieder, dass Mathematik ist nur die Verwendung von Tools, die Sie müssen lernen, Probleme zu lösen.
Denken Sie daran, immer Ihre Antwort zu überprüfen, um sicherzustellen, dass das Argument der Protokolle (was das Protokoll direkt ist folgende) positiv!
Lassen Sie uns springen gerade in und etwas zu lösen versuchen. Es sind die grundlegenden Möglichkeiten Protokoll Probleme zu lösen:
1. Verwenden Sie die Leistungsregel die Exponenten unten zu erhalten, wenn die Variable im Exponenten sind (wahrscheinlich die am häufigsten verwendeten „Werkzeug“). Bevor Sie dies tun, erhalten die Basis / Exponent von selbst und die ln nehmen oder von jeder Seite einloggen. Sie werden dies in der Regel verwenden, wenn Sie Protokolle haben nicht in der Gleichung, aber Variablen in den Exponenten haben. Wir verwenden in der Regel ln statt log. es sei denn, uns mit der Basis 10 zu tun hat.
Wir können auch das Protokoll mit der Basis unter dem Exponenten, wie im zweiten Fall des ersten Beispiels verwenden:
Hinweis. Sie könnten aufgefordert werden, einfache Probleme wie diese zu lösen mit dem Log „Schleife“ und die Änderung der Basisformel statt:
2. Wenn das gleiche Protokoll und derselben Basis auf beiden Seiten sind, können Sie Argumente von Protokollen gleich zueinander gesetzt gerade:
3. Wenn x unter einem komplizierten Exponenten ist, jede Seite mit dem Kehrwert dieses Exponenten erhöhen. Normalerweise verwenden Sie diese Option, wenn Sie Variablen Exponenten erhoben haben. Diese sind nicht wirklich Probleme einzuloggen, aber Sie werden sehen, wie sie:
5.Add um eine Basis zu beiden Seiten, die die Basis des Protokolls ist; wenn Sie einen „ln“ in dem Problem haben, verwendet Basis „e“. Sie werden dies in der Regel verwenden, wenn Sie Protokolle in der Gleichung haben; Sie können diese Schleife anstelle der Verwendung des Protokolls verwenden. Einige davon werden Ihnen bekannt vorkommen!
Lassen Sie uns einige Probleme tun und sehen, welche Techniken, die wir verwenden:
Hier sind ein paar mehr:
Auch hier verwenden wir in der Regel Protokolle Probleme zu lösen, wo wir eine Variable im Exponenten haben; wir können die Energie-Regel „erhalten die Exponenten down“ verwenden.
Lassen Sie sich zunächst das Problem früher wiederholen, um zu sehen, wie viel einfacher es ist, Protokolle zu verwenden, als „Vermutung und überprüfen“, wenn die Variable im Exponenten ist.
(B) Nun können wir endlich Protokolle verwenden anstelle von „Guess Check“:
Bevölkerungswachstum Problem
Viele Male Probleme geben Ihnen die exponentielle Formel, und Sie im Grunde in stecken müssen, um die Antworten zu bekommen:
(B) Wie viele Jahre dauert es, bis die Bevölkerung zu verdoppeln?
(C) Während welchem Jahr wird die Bevölkerung verdoppeln?
Continuous Compounding Problem:
Madison wirklich will, um ein Auto zu kaufen. Sie braucht eine Anzahlung von $ 4000. Wenn sie $ 3500 jetzt mit Interesse Einlagen kontinuierlich bei 3% Compoundierung, wie viele Jahre wird es dauern, sie genug, um zu retten, das Auto zu kaufen?
Verwenden von Protokollen finden Sie die Rate Problem:
Eine große Kolonie von Flöhen wächst exponentiell auf dem Familienhund (igitt!). Es gibt 400 flüchtet zunächst.
(A) Wenn es 600 Flöhe nach 1 Tag, wie viele wird es nach 5 Tagen sein?
(B) Wie lange dauert es, bis noch 10.000 Flöhe?
Neubetrachtung Half Life Problem
Wir können Halbwertszeit Probleme mit zwei verschiedenen Methoden lösen; wir werden beide Methoden hier verwenden. Wir lösten eine Halbwertszeit Problem, das oben im Abschnitt Exponents, aber wenn Sie eine Zeit finden müssen (eine Variable im Exponenten), dann müssen Sie Protokolle verwenden.
Eine chemische Substanz hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden.
(A) Wie viel von einer 40-Gramm-Probe bleibt nach 18 Stunden?
(B) Wie lange, bis es nur 2 Gramm übrig?
Lösung (Methode 1, wie wir in dem Exponentialfunktionen Abschnitt verwendet wird):
Lösung (Methode 2):
Manchmal werden Sie lernen, eine Halbwertszeit Problem mit der \ (A = P ^> \) Formel zu lösen und die k ersten bekommen, wie wir in der Floh Problem zuvor. Diese Methode scheint ein wenig schwieriger, aber manchmal Sie sind für die Halbwertszeit Gleichung mit dem k darin gefragt.
Lernen Sie diese Regeln, und üben, üben, üben!
Zur Übung. Verwenden Sie das Mathway Widget unten, um zu versuchen ein ein Log Problem zu kondensieren. Klicken Sie auf Senden (den blauen Pfeil nach rechts des Problems) und klicken Sie auf Schreiben als Einzel Logarithm die Antwort zu sehen.
Sie können auch Ihr eigenes Problem, oder klicken Sie auf die drei Punkte in der oberen rechten Ecke tippen und klicken Sie auf „Beispiele“ thema aufschlüsseln.
Wenn Sie auf Tippen Sie auf Schritte anzuzeigen. oder klicken Sie hier. Sie können eine kostenlose Testversion an Mathway registrieren. und dann ein Upgrade auf ein bezahltes Abonnement jederzeit (um jede Art von mathematischem Problem ist gelöst!).
Auf zum Lösen von Ungleichungen - Sie sind bereit!
10 Gedanken zu „logarithmischen Funktionen“
Ich habe Probleme mit mit logarithmischen Graphen gemischt Transformationen zu tun. Die übliche Ordnung scheint nicht die richtige Antwort (Spiegeln 1., Stretching / schrumpft, dann letzte Verschiebung) zu geben. In meinem prof Beispiel g (x) = ln (1-x), er zuerst verschoben, dann reflektiert. so bewegt sich die vertikale Asymptote tun zu x = 1 anstelle von x = -2 (das ist, was es ist, wenn man 1. reflektieren dann drehen). Ich kann nicht eine Erklärung von ihm, erhalten so dass ich jetzt bin verwirrt.
Sorry, ich meinte „anstelle von x = -1“ weiter oben.
Danke für's schreiben! So wie ich es tun, ist eine -1 aus dem (1-x) zu nehmen, um ln (- (x-1)), so würden wir zuerst über die y-Achse drehen und dann 1 Einheit nach rechts bewegen. Dann würde die Asymptote bei x = 1 sein. Aber wenn Sie die -1 aus nicht nehmen Sie, müssen Sie zuerst verschieben, und dann zu reflektieren. Ist das sinnvoll? Auch grafisch darstellen es auf dem Grafik-Taschenrechner zu sehen. Lisa
Beeindruckend. Das macht es so einfach, meinen Fehler zu sehen. Ich danke dir sehr!