neugierig Würfel
Dies ist, wie das Spiel funktioniert: Jeder Spieler wählt einen Würfel und die beiden Spieler dann ihre jeweiligen Würfel zugleich rollen. Wer bekommt den höchsten Wert gewinnt. Scheint fair genug - aber ist es?
Es kann (siehe unten) gezeigt werden, dass auf lange Sicht sterben A Schläge sterben B (es gegen B oft mehr gewinnen werden, als es gegen B verlieren werden), und dass die Form B Beats sterben C. Es scheint also A die starke Matrize und C die schwachen sterben. So könnte man erwarten, dass auf lange Sicht, sterben A Beats C sterben:
Wenn dies der Fall wäre, dann würden wir die Würfel transitiv nennen. wie der Gewinn Transfers über eine Chip B in der Mitte.
Aber es ist nicht der Fall! In der Tat geht die Gewinn Eigenschaft im Kreis - wie in einem Spiel von Rock, Paper, Scissors - mit klopfendem Form B sterben, B Schlagen sterben C sterben und sterben C Schläge sterben A (auf lange Sicht). Es gibt keine starken oder schwachen sterben; die Würfel sind, was nicht-transitive genannt wird. Aber wie kann das sein?
Gewinnchancen
Mal sehen, warum sterben A Schläge B auf lange Sicht sterben.
Wenn Sie sterben rollen A gibt es zwei mögliche Ergebnisse; Sie entweder eine 3 oder eine 6 würfeln Die Wahrscheinlichkeit des Rollens ein 3 5/6, während die Wahrscheinlichkeit, ein 6 Walzen 1/6 ist. Auf der anderen Seite, sterben B entweder A 2 oder A 5, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 rollen kann. Also insgesamt, wenn wir sterben A rollen und sterben zusammen B haben wir vier mögliche Ergebnisse, wie in der folgenden Baumdiagramm dargestellt.
Wir finden die Wahrscheinlichkeit jedes mögliche Ergebnis durch die Wahrscheinlichkeiten entlang dem Diagramm zu multiplizieren. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, ein mit 5 A und einer Matrize 2 mit Düse B Roll 5/6 x 1/2 = 5/12.
Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, die eine gewinnt sterben, summieren sich die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse sterben, wo ein Schlägen sterben B. Also in diesem Fall sterben die Wahrscheinlichkeit, eine Beats sterben B (für die wir P (A> B) schreiben) 5 / 12 + 1/12 + 1/12 = 7/12 - wichtiger ist, das mehr als 1/2 ist. So in einem Wettbewerb von mehreren Spielen sterben A wird erwartet, häufiger zu gewinnen, als B. sterben
Double Whammy
Nach einigen Niederlagen könnte dein Gegner misstrauisch werden, so dass es Zeit ist, sauber zu kommen und zu erklären, dass Sie mit nicht-transitiven Würfeln zu tun hat. Sie können Ihre Gegner eine neue Chance bietet geben Ihre sterben zuerst zu holen, also sollten sie einen Würfel mit einer besseren Gewinnchance holen können. Sie können sogar eine Änderung im Spiel bieten: jeder von euch jetzt rollt zwei ihre gewählte Art des Würfels. Sicherlich bedeutet dies, dass dein Gegner hat sich verdoppelt nur ihre Gewinnchancen?
Nicht so! Erstaunlicherweise mit zwei Würfeln der Reihenfolge der Kette Flips.
Die Kette kehrt so der Kreis des Sieges nun einen Kreis der Niederlage wird. Nun sterben A Beats C sterben, sterben C Beats sterben B und sterben B Beats A sterben, so dass Sie das Spiel erneut gewinnen!
Die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln ist um 57%. Die vollständigen Wahrscheinlichkeiten sind:
P (A> C) = 671/1296,
P (C> B) = 85/144,
P (B> A) = 85/144.
Ein Wort der Warnung allerdings: Obwohl die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schlag sterben C größer als 1/2 stirbt, ist es ein schlanker Sieg. Auf kurze Sicht, sagen weniger als 20 Rollen, die Wirkung ist näher an 50-50, so dass Sie immer noch etwas Glück auf Ihrer Seite benötigen.
Efron Würfel
Dieses Mal sind die Würfel Werte verwenden 0 bis 6. Jeder Chip hat Werte:
Nach wie vor bilden die Würfel einen Kreis mit klopfendem Form B sterben, B Schlagen sterben C sterben, C Schlagen Tempel D, sterben und D Schlagen Form A sterben, und sie jeweils tun dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.
Wir haben auch zwei Paare Würfel sie auf dem Kreis gegenüberliegt. Tatsächlich sterben B Beats D sterben, aber ein sterben und sterben C jeweils eine 50-50 Chance zu gewinnen, weder sterben dominiert.
Drei-Spieler-Spiele
Das ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Gegner zu schlagen, aber was ist die Chance, beide zugleich zu schlagen. Wenn die Würfel regelmäßige Messe Würfel waren, mit zwei konkurrierenden Würfel eine 50-50 Chance auf den Sieg haben (ohne Berücksichtigung Unentschieden), dann ist die Chance des Schlagens zwei Gegner gleichzeitig würde bei knapp über 25% liegen. Es ist nicht genau 25%, da das Ereignis ein Spieler zu schlagen, nicht unabhängig von der Veranstaltung ist es, den anderen zu schlagen. Dies liegt daran, wenn Sie eine hohe Zahl rollen, die Sie wahrscheinlich beide schlagen. Im Fall des Würfels van Deventer, die Chance auf beiden Gegner gleichzeitig zu schlagen ist um 39%. Auch wenn Sie also den Vorteil, gegen beide Gegner haben, ist es, beide Spieler schlagen noch eine Herausforderung.
Ist es möglich, eine Reihe von nicht-transitiven Würfeln mit einer höheren Chance schlägt zwei Spieler gleichzeitig zu konstruieren und möglicherweise mit noch weniger Würfeln? Ja, so ist es. Ich habe einen solchen Satz unten entwickelt.
Grime Würfel
Hier ist ein Satz von fünf nicht-transitiven Würfeln:
Diese Würfel verwenden, um Werte von 0 bis 9, wie folgt:
Wie bei anderen Gruppen von Würfeln haben wir gesehen, haben wir eine Kette: A> B> C> D> E> A.
Jedoch innerhalb dass wir haben auch eine zweite Kette: A> C> E> B> D> A.
Die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Würfel beträgt 64,7%. Die genauen Wahrscheinlichkeiten
P (A> B) = 13/18,
P (B> C) = 2/3,
P (C> D) = 2/3,
P (D> E) = 13/18,
P (E> A) = 25/36,
P (A> C) = 7/12,
P (B> D) = 5/9,
P (C> E) = 7/12,
P (D> A) = 13/18,
P (E> B) = 5/9.
Das bedeutet, dass zwei Würfel gegeben, man kann nicht immer eine dritte Form finden, die sowohl schlägt. Zum Beispiel ist dies der Fall, wenn die beiden gegebenen Würfel sind C und E.
Wenn unsere ursprünglichen Satz von drei nicht-transitive Würfel war wie ein Spiel von Rock, Paper, Scissors. Dieses Diagramm ist näher an das verwandten, aber noch extremen, nicht-transitive Spiel Rock, Papier, Schere, Echse, Spock
Mit zwei Würfeln bleibt die erste Kette gleich. Aber die zweite Kette jetzt dreht, so A> D> B> E> C> A.
Die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit für zwei Würfel beträgt 59,2%. Die genauen Wahrscheinlichkeiten
P (A> B) = 7/12,
P (B> C) = 5/9,
P (C> D) = 5/9,
P (D> E) = 7/12,
P (E> A) = 625/1296 (eine schlanke Niederlage, aber auf kurze Sicht die Wirkung ist 50-50),
P (A> D) = 56/81,
P (B> E) = 56/81,
P (C> A) = 85/144,
P (D> B) = 16/27,
P (E> C) = 85/144.
Zum Beispiel wählt, wenn ein Gegner B und die anderen Gegner sterben wählen C sterben, dann sollten Sie einen Pick sterben und die eine Würfel-Version des Spiels spielen. Dann wird gemäß dem ersten Diagramm oben, haben Sie eine bessere Chance zu gewinnen als jeden einzelnen Gegner.
Auf der anderen Seite, wenn ein Gegner wählt sterben C und die anderen Gegner wählen E sterben, dann sollten Sie sterben B und spielen die zwei Würfel-Version des Spiels wählen. Dann wird gemäß dem zweiten Diagramm rechts, können Sie erwarten, wieder jeden Gegner zu schlagen.
Ein Glücksspiel
Aber wir können die beiden anderen Spieler zur gleichen Zeit zu schlagen erwarten? Nun, wir haben sicherlich die Chancen verbessert werden, wobei die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, beide Gegner jetzt schlagen bei rund 44% stehen. Das ist eine 5% ige Verbesserung gegenüber van Deventer ‚s Würfeln und eine 19% Verbesserung gegenüber Fair-Würfel.
Aber wenn die Chancen von zwei Spielern schlagen nicht mehr als 50% ist, wie können wir gewinnen? Betrachten Sie das folgende Glücksspiel:
Wenn die Würfel Messe, dann würde jeder Spieler erwartet Null zu gewinnen, da jeder Spieler erwarten würde, die Hälfte der Zeit zu gewinnen und die Hälfte der Zeit zu verlieren.
Mit van Deventer ‚s Würfel sollte man erwarten, dass beide Spieler schlagen 39% der Zeit und verlieren beide Spieler 28% der Zeit, die Ihnen einen Nettogewinn von 22 £.
Aber mit Grime Würfeln, sollten Sie erwarten beiden Spieler 43,8% der Zeit zu schlagen, aber nur für beiden Spieler 22.7% der Zeit verlieren, Ihnen einen durchschnittlichen Nettogewinn geben näher zu £ 42! (Und möglicherweise den Verlust von zwei Freunden).
Dieser Satz ist der beste Satz von fünf nicht-transitiven Würfeln mit diesen Eigenschaften, die ich gefunden habe.
Ich lade Sie ein, sich diese Spiele ausprobieren. Sie sind einfach durch entweder schriftlich auf leere Würfel zu machen, oder ein paar alte Würfel zu ändern. Probieren Sie sie auf Ihren Freunden und genießen Sie Ihre Erfolge und Misserfolge!
Hier ist eine weitere Herausforderung
Für die sehr daran interessiert, hier ist ein Satz, dass nutzt mathematische Konstanten, um zu versuchen: