PA LU-Faktorisierung mit schwenkbarem
PA = LU-Faktorisierung mit schwenkbarem
Definition (LU-Faktorisierung). Die nichtsinguläre Matrix A hat eine LU-Faktorisierung, wenn es als das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U ausgedrückt werden kann,
Theorem (LU-Faktorisierung withNOpivoting). Wenn Zeile Vertauschungen sind nicht das lineare System benötigt AX zu lösen = B. dann A die LU-Faktorisierung (veranschaulicht mit 4 × 4 Matrizen).
ProofLU FactorizationLU Faktorisierung
Mathematica-Unterroutine (limitierte Gauß-Jordan-Elimination).
Computer ProgramsLU FactorizationLU Faktorisierung
Mathematica Unterprogramm (landu).
Beispiel 1 gegeben. Finden Matrizen L und U, so daß LU A. =
Lösung 1.
Beispiel 2 gegeben. Finden Matrizen L und U, so daß LU A. =
Lösung 2.
Satz (A = LU; Faktorisierung withNOPivoting). Es sei angenommen, daß A eine Doolittle, Crout oder Cholesky-Faktorisierung aufweist. Die Lösung X an dem linearen System wird in drei Schritten gefunden:
1. Konstruieren Sie die Matrizen, wenn möglich.
2. Lösen Sie für die Verwendung von Vorwärts-Substitution.
3. Lösen Sie für die Substitution verwenden zurück.
ProofLU FactorizationLU Faktorisierung
Das obige Theorem wird davon ausgegangen, daß es keine Reihe Vertauschungen. Wir haben in Beispiel 3 ein Beispiel für eine nicht-singuläre Matrix A gesehen nicht direkt als A = LU faktorisiert werden kann. Wenn Zeile Vertauschungen erlaubt sind dann eine Faktorisierung einer „permutierten Matrix“ wird erhalten. Eine Permutation der ersten n positive ganze Zahlen sind. ist eine Anordnung dieser ganzen Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge. Zum Beispiel ist eine Permutation der fünf Zahlen. Die Standard-Grundvektoren für die in der nächsten Definition verwendet.
Definition (Permutation Matrix). Eine n × n-Matrix P Permutation ist eine Matrix mit genau einen Eintrag, dessen Wert „1“ in jeder Spalte und Zeile, und deren sämtliche anderen Eingaben sind „0“ Die Reihen von P sind eine Permutation der Reihen der Einheitsmatrix und P kann geschrieben werden
Die Elemente haben die Form
Satz. Angenommen, eine Permutationsmatrix ist. Das Produkt ist eine neue PA-Matrix, deren Reihen besteht aus den Zeilen einer rearrangierten in der neuen Reihenfolge.
Zum Beispiel wird die Permutationsmatrix vertauschen Zeilen 1 und 2 und auch die Zeilen 3 und 4 vertauscht werden.
Satz. Wenn A eine nichtsinguläre Matrix ist, so gibt es eine Permutationsmatrix P, so dass PA eine LU-Faktorisierung aufweist
Theorem (PA = LU; Faktorisierung mit schwenkbarem). Da A nicht singulär. Die Lösung X an dem linearen System wird in vier Schritten gefunden:
1. Konstruieren Sie die Matrizen.
2. Berechnen Sie den Spaltenvektor.
3. Lösen Sie für die Verwendung von Vorwärts-Substitution.
4. Lösen Sie für die Substitution verwenden zurück.
ProofLU FactorizationLU Faktorisierung
Computer ProgramsLU FactorizationLU Faktorisierung
Dies ist die zweite Version von LUfactor und verwendet mehr Schleifen und traditionelle Programmierung.
Mathematica Unterprogramm (LUfactor).
Verwenden Sie die Subroutine SolveLU die auf die Vorwärtssubstitution und Rücksubstitution Subroutinen ähnlich ist.
Mathematica Unterprogramm (SolveLU).
Beispiel 4. Verwendung PA = LU-Faktorisierung mit Verschwenken des linearen Systems zu lösen.
Lösung 4.
Beispiel 5. Verwendung PA = LU-Faktorisierung mit Verschwenken des linearen Systems zu lösen.
Lösung 5.
Anwendung Polynomial Curve Fitting
Satz (Least-Squares Polynomial Curve Fitting). Angesichts der Datenpunkte, die der kleinsten Quadrate Polynom vom Grad m von der Form
dass passt die n Datenpunkte wird durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystems erhalten
für die m + 1 Koeffizienten. Diese Gleichungen werden bezeichnet als die „Normalgleichungen“.
ProofLeast Squares PolynomialsLeast Squares Polynomials
Beispiel 6. Finden Sie die „kleinsten Quadrate Parabel“, die für die vier Datenpunkte.
Lösung 6.
Beispiel 7. Die „kleinsten Quadrate cubic“, die für die vier Datenpunkte.
Lösung 7.
Beispiel 8. Man betrachtet das lineare System AC = B in Beispiel 7, das heißt.
Ersetzen des Elements mit in Matrix A und lösen das neue System AC = B.
Lösung 8.
Old Lab Project (LU FactorizationLU Faktorisierung). Internet Hyperlinks zu einem alten Labor Projekt.
Forschungserfahrung für Absolventen
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