Partialbruchentwicklung
Als ein Beispiel für Partialbruchentwicklung, betrachtet die Fraktion:
Wir können dies als eine Summe von einfachen Fraktionen vertreten:
Aber wie bestimmen wir die Werte von A1. A2. und A3?
Wenn wir eine Situation wie die oben gezeigt haben, gibt es eine einfache und unkomplizierte Methode für die unbekannten Koeffizienten A1 zu bestimmen. A2. und A3.
Für A1. multiply F (s) durch S,
und stellen Sie dann s = 0.
Für A2. multiply F (s) mit s + 2 und Menge S = -2.
Ebenso für A3 multiplizieren mit s + 5 und s = -5 eingestellt
So ist die letzte Erweiterung ist
Das Ergebnis kann einfach überprüft werden, indem alle der erweiterten Bedingungen über einen gemeinsamen Nenner setzen.
Das oben angegebene Beispiel zeigt, dass Partialbruchentwicklung eine komplexe Fraktion in eine Summe von einfacheren Fraktionen leicht erweitern. Allerdings gibt es viele Situationen, in denen die Expansion nicht so einfach ist. Die Fälle werden wir berücksichtigen sind
- Order of Zählerpolynom ist nicht geringer als die des Nenners. Partialbruchentwicklung kann nur durchgeführt werden, wenn die Ordnung des Nennerpolynoms (die untere Laufzeit der Fraktion) größer ist als die Ordnung des Zählers ist (die obere term). Ist diese Bedingung nicht erfüllt ist, müssen wir einen zusätzlichen Schritt, bevor Sie fortfahren mit der Expansion durchzuführen.
- Distinct reelle Wurzeln. Das Problem, das oben gelöst wird, wie der Fall von verschiedenen, realen Wurzeln beschrieben. Das bedeutet, dass jeder Begriff nur einmal im Nenner erscheint, und die Wurzel jeder Term im Nenner ist eine deutliche reelle Zahl. In dem obigen Beispiel wurden die Wurzeln bei 0, -2 und -5.
- Wiederholte reelle Wurzeln. Eine weitere Möglichkeit ist ein Fall von wiederholten Wurzeln. Beispielsweise
wobei die Wurzel bei -2 wiederholt. - Komplexe Wurzeln. Zusätzliche Schwierigkeit ergibt sich, wenn der Nenner nicht auf ein Produkt der realen Wurzeln reduziert werden. Zum Beispiel, wenn
- Eine exponentielle (oder eine andere Funktion) im Zähler. Obwohl dies nicht wirklich ein Sonderfall ist, verwirrt es oft Studenten, also werden wir diskutieren, was zu tun ist, wenn Sie auf diese besondere Art von Problem kommen.
Die Partialbruchentwicklung nachstehend beschriebene Verfahren kann nur verwendet werden, wenn die Ordnung des Nennerpolynoms größer ist als derjenige des Zählers.
Beispiel: Order of Numerator Equals Order of Denominator
Zähler und Nenner hat, die beide zweite Ordnung sind. Bevor eine Partialbruchentwicklung durchführt, muß die Fraktion so manipuliert werden, dass die Reihenfolge des Zählers geringer ist als die des Nenners. Eine einfache Möglichkeit, dies zu tun, ist eine Division auf dem Anteil zu verwenden.
Um von 3 die s 2 fällt aus, mehrfach zu erhalten.
so ist das Ergebnis 3 mit einem Rest von -39s-58. Oder um es anders auszudrücken
Partialbruchentwicklung kann nun auf die restlichen fraktionierten Dauer von F (s) angewandt werden.
Durchführen Partialbruchzerlegung eines Ausdrucks mit unterschiedlichen (d.h. nicht wiederholt) reelle Wurzeln. Ein Beispiel hierfür wurde oben getan. Im Algemeinen
wo die ai sind alle einzigartig. In diesem Ausdruck D (s) ist das Nenner-Polynom der Ordnung n, und N (s) ist das Polynom, deren Ordnung Zähler kleiner als n ist. Wir wollen eine Partialbruchentwicklung auszuführen, so dass F (s) wie folgt ausgedrückt wird:
Beispiel: Distinct Echt Roots
Daraus ergibt sich ein Vier-mal-vier-System von Gleichungen, die für A1 bis A4 gelöst werden können.
Oder, ausgedrückt in Matrixform
Lösung eines vier-mal-vier-System von Gleichungen ist offensichtlich komplizierter als die Verwendung der Vertuschung Methode ist A1 zu finden. A3 und A4. gefolgt von der Differenzierungsmethode A2 zu finden. Es stellt sich die Frage: warum die Kreuzmultiplikationstechnik verwenden? Die Antwort ist, dass die Quermultiplikationstechnik muss nicht isoliert betrachtet werden. Die Vertuschung Verfahren können verwendet werden, A1 zu finden. A3 und A4. Dann kann der Wert von A2 gefunden werden unter Verwendung des Ausdrucks (erhalten unter Verwendung von Kreuzmultiplikation)
Ein weiterer Fall, oft kommt ist, dass der konjugiert komplexen Wurzeln. Betrachten wir den Anteil:
Der zweite Term im Nenner nicht in real berücksichtigt werden. Dies lässt uns mit zwei Möglichkeiten - entweder die komplexen Wurzeln akzeptieren, oder einen Weg finden, den Term zweiter Ordnung aufzunehmen.
Beispiel: Komplexe Wurzeln; Methode 1 - Verwendung der Komplex (erste Ordnung) Wurzeln
Man beachte, dass A2 und A3 muß komplexes Konjugate voneinander entfernt sein, da sie auf dem imaginären Teil bis auf das Vorzeichen gleich sind. Die Durchführung der erforderlichen Berechnungen:
Beispiel: Komplexe Wurzeln; Methode 2 - Verwendung des Polynoms zweiter Ordnung
Eine weitere Möglichkeit, den Anteil zu erweitern, ohne auf komplexe Zahlen zurückgegriffen wird die Expansion durchzuführen, wie folgt.
Beachten Sie, dass der Zähler des zweiten Term ist nicht mehr eine Konstante ist, sondern ein Polynom erster Ordnung. Von oben (oder mit der Cover-up-Methode) wissen wir, dass A = -0,2. Wir können die Mengen B und C aus Quer Multiplikation finden.
Wenn wir wie Kräfte der „s“ gleichsetzen wir bekommen
Reihenfolge der
Koeffizient
linke Seite
Koeffizient
Da wir wissen bereits, dass A = -0,2, der erste Ausdruck (0 = A + B) sagt uns, dass B = 0,2, und der letzte Ausdruck (3 = 5 A + 5C) sagt uns, dass C = 0,8. Wir können den mittleren Ausdruck verwenden (1 = 4A + 5B + C) unsere Berechnungen zu überprüfen. Schließlich erhalten wir
Eine Situation, die oft Studenten verwirrt ist, wenn es ein exponentieller Term im Zähler ist. Zum Beispiel kann die Funktion
kann nicht auf eine Form vereinfacht werden,
Stattdessen wird es vereinfacht
Die Mengen, A1, A2 und A3 in der gleichen Weise wie für den Fall von verschiedenen reellen Wurzeln (oben) gefunden. Damit