Proving Irrationalität - Mathematik Stapelaustausch
Es gibt viele Beweise von Irrationalität, und einige von ihnen sind sehr verschieden voneinander. Die einfachste, die ich kenne, ist ein Beweis dafür, dass $ \ log_2 $ 3 irrational ist. Hier ist es: nicht vergessen, dass zu sagen, dass eine Zahl rational ist zu sagen, dass es $ a / b $ ist, wo ein $ und $ b $ $ sind ganze Zahlen (zum Beispiel $ 07.05 $, etc.). So nehme \ $ log_2 3 = a / b $. Da dies eine positive Zahl ist, können wir $ a $ und $ b $ nehmen positiv. $$ dann 2 ^ = 3 $$ $$ 2 ^ a = 3 ^ b. $$ Aber das sagt eine gerade Zahl eine ungerade Zahl ist gleich. Das ist unmöglich. Daher kann $ \ log_2 $ 3 nicht rational.
Die bekannteste und älteste Nachweis der Irrationalität ist ein Beweis dafür, dass $ \ sqrt $ irrational ist. Ich sehe, dass das ist schon hier gepostet. Hier ist ein weiterer Beweis für dieses gleiche Ergebnis:
Angenommen, es ist vernünftig, das heißt $ \ sqrt = n / m $. Wir können positive $ n $ und $ m $ zu nehmen und die Fraktion werden in niedrigsten Begriffe. Dann ein bisschen Algebra zeigt, dass $ (2m-n) / (n-m) $ bis $ \ sqrt $ auch gleich ist, aber in noch niedrigeren Konditionen. Das ist ein Widerspruch. Daher ist es unmöglich, für $ \ sqrt $ rational zu sein.
Es ist auch nicht sehr schwer, diesen $ e $ zu zeigen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist irrational.
Um zu zeigen, dass $ \ pi $ irrational ist, ist viel schwieriger --- in der Tat so hart, dass es erst im 18. Jahrhundert gemacht wurde.
„Um zu zeigen, dass $ \ pi $ irrational ist, ist viel schwieriger --- in der Tat so hart, dass es erst im 18. Jahrhundert gemacht wurde.“ Nur für das Protokoll (und ein eher kleineres nit Kommissionierung), $ e $ wurde bewiesen, erste irrational in 1737 (von Euler) und $ \ pi $ wurde zunächst irrational bewies im Jahr 1767 (von Lambert), die beide im 18. Jahrhundert, so die Teil über „erst im 18. Jahrhundert fertig“ ist ein wenig fehl am Platz (aber nicht der Teil über $ \ pi $ härter irrational zu beweisen, natürlich). Der Beweis für $ \ log_3 $ ist ein schönes Beispiel durch die Art und Weise. Peter, sollten Sie bei Ivan Niven Buch Zahlen aussehen: Rational und irrational. - Dave L. Renfro 8. September '11 um 17:34 Uhr
Nun, $ \ pi $ wurde darüber nachgedacht, in der alten Zeiten --- im dritten Jahrhundert vor Christus von Archimedes, die zeigten, dass $ 3 + 10/71 < \pi < 3 + 1/7$. It was two millennia after that that $\pi$ was shown to be irrational. I suspect that $e$, on the other hand, might not have been considered until the 1500s or 1600s. So it took a much shorter time. - Michael Hardy Sep 8 '11 at 17:56
Und manchmal ist es möglich, sie einfach zu beweisen „direkt“.
Eine reelle Zahl $ r $ ist rational, wenn es ganze Zahlen existieren a $ und $ b $, $ b \ neq $ 0, so dass $ \ display r = $ \ frac $.
Zum Beispiel beweist die alten Griechen, dass $ \ sqrt $ durch Widerspruch nicht rational war:
Ebenso kann man, dass für jede positive ganze Zahl $ n $ zeigen und jede positive ganze Zahl $ m $, $ \ sqrt [m] $ ist entweder eine ganze Zahl, oder es ist irrational (der Beweis verwendet entweder einzigartige Faktorisierung von ganzen Zahlen in Primfaktoren oder etwas ähnlich).
Hier ist ein weiteres Beispiel für etwas, das wir wissen, über rationals und irrationale: Es ist eine logische Folge einen Satz von Hurwitz aus dem Jahr 1891:
Wenn $ x $ irrational ist, dann gibt es unendlich viele Zahlen $ p $ und $ q $, $ q \ neq 0 $, mit $ p $ und $ q $ keine gemeinsamen andere Faktoren als $ 1 $ teilen und $ -1 $, so dass $$ \ left | x- \ frac\ Right | \ Lt \ fracq ^ 2>. $$
Wenn Sie, dass für eine bestimmte $ x $ zeigen kann, ist die Ungleichheit nur endlich viele Lösungen hat, dann ist die Schlussfolgerung, dass $ x $ rational sein muss.
Ebenso gibt es Sätze, die uns über algebraische Zahlen (Wurzeln von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten) erzählen. Jede rationale Zahl ist algebraische (da $ \ frac $ ist die Wurzel von $ bx-a $); Wenn Sie eine Zahl ist nicht algebraische beweisen kann, dann muss es irrational sein. Zum Beispiel kann man das $ e $ und dass $ \ pi $ sind transzendental, zeigt aber beweisen, dass sie nicht Wurzeln jedes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten sein kann; insbesondere können sie entweder nicht vernünftig sein.
Ich gebe das folgende Beispiel.
Aussage. Wenn es existieren zwei Integer-Sequenzen $ a_ $ und b_ $ $, so dass $$ 0<|b_\alpha -a_|\rightarrow 0,$$ then $\alpha $ is an irrational number.
Beweis. Es sei angenommen, $ \ alpha = p / q \ in \ mathbb $. Für $ n $ groß genug, um die ganze Zahl Folge $ \ left \ vert PB_-qa_ \ right \ vert <1$ and $pb_-qa_\neq 0$, which is impossible.
In seinem Beweis für die Irrationalität von $ \ zeta (3) eingeführt $ Roger Apéry die folgenden Sequenzen (siehe diesen Artikel von van der Poorten und diese, in Französisch, Stéphane Fischler):
Die Sequenzen $ a_ = 2d_ u_ ^ b_ und $ $ = 2d_ ^ v_ $, wobei $ d _ = \ text (1,2, \ ldots, n) $, sind ganzzahlige Sequenzen, deren Verhältnis konvergiert $ \ zeta (3) $
$$ 0< b_\zeta (3)-a_=O\left(\beta^n\right) ,$$ with $\beta=\left( 1-\sqrt\right) ^e^<1.$
Siehe Beispiele 1 und 2 für Beweise für die Irrationalität von $ \ sqrt $ und $ e $ in diesem Eintrag von The Tricky
Um zu beweisen, dass eine Reihe irrational ist, zeigt, dass es fast rational
Grob gesagt, wenn Sie $ \ alpha $ gut durch rationals nähern, dann ist $ \ alpha $ irrational. Dies erweist sich als ein sehr nützlicher Ausgangspunkt für Proofs von Irrationalität zu sein.
Es ist sehr einfach, eine unendliche Menge von irrationalen zu konstruieren, die darüber hinaus sind $ \ rm \ mathbb Q $ -linear unabhängig, nämlich $ \, \ rm \\> $ mit $ \ rm \\> = $ alle ungeraden Primzahlen. Denn wenn $ \ rm \ c_1 \ log_2p_1 + \ cdots + \ c_ \ log_2p_ = \, C_O, \, $ $ \ rm \, c_ \ in \ mathbb Q, $ dann von $ \ rm durch einen gemeinsamen Nenner aller Skalierung \ c, _, \, $ können wir davon ausgehen, dass alle \ $ \ rm c_ \ in \ mathbb Z \ $ Potenzieren $ \, \ rm x \ 2 ^ $ ergibt $ \ rm \ p_1 ^ \ cdots p_n ^ = 2 ^ \, $ daher alle rm \ $ \, c_ = 0 \, $ durch Einzigartigkeit prime Faktorisierungen (alle Primzahlen sind verschieden). Der Sonderfall $ \ rm \, n = 1 \, \ Rightarrow \, \ log_2p_ \ not \ in \ mathbb Q. \ \ $ QEDHinweis $ \ $ Siehe auch ähnliches Beispiel in meinem Beitrag hier.