Fourier-Transformation für Dummies - Mathematik Stapelaustausch
Die alten Griechen hatten eine Theorie, dass die Sonne, der Mond und die Planeten in Kreisen um die Erde bewegen. Dies wurde bald als falsch gezeigt. Das Problem war, dass, wenn Sie die Planeten genau beobachten, manchmal sind sie nach hinten in den Himmel bewegen. So kam Ptolemäus mit einer neuen Idee - die Planeten in einem großen Kreis bewegen, aber dann um einen kleinen Kreis in der gleichen Zeit zu bewegen. Denken Sie halten einen langen Stock und drehte sich um, und zugleich am Ende des Stockes gibt es ein Rad, das spinnt. Der Planet bewegt sich wie ein Punkt auf der Kante des Rades.
Nun, wenn sie einmal begonnen wirklich genau beobachten, erkannten sie, dass auch dies nicht funktioniert hat, so setzten sie Kreise auf Kreise auf Kreisen.
Schließlich hatten sie eine Karte des Sonnensystems, der so aussah:
Diese „Epizyklen“ Idee entpuppt sich als eine schlechte Theorie. Ein Grund, warum es schlecht ist, ist, dass wir jetzt wissen, dass Planeten in Ellipsen um die Sonne umkreisen. (Die Ellipsen sind nicht perfekt, weil sie durch den Einfluss anderer gravitierenden Körper gestört sind, und durch relativistische Effekte.)
Aber es ist falsch für einen noch schlimmeren Grund, dass, wie in diesem wunderbaren Youtube Video veranschaulichte.
In dem Video von genug Kreise addieren, machten sie ein Planet Gesicht Homer Simpson nachzuspüren. Es stellt sich heraus, dass wir überhaupt eine Umlaufbahn machen können genug Kreise addieren, solange wir ihre Größe und Geschwindigkeit zu variieren, erhalten.
So ist die epicycle Theorie der Planetenbahnen ist ein schlechter nicht, weil es falsch ist, sondern weil es überhaupt nicht sagen nichts über Umlaufbahnen. Claiming „Planeten in Epizyklen bewegen“ ist mathematisch äquivalent zu der Aussage „Planeten bewegen sich in zwei Dimensionen“. Nun, das sagt nicht nichts, aber es ist nicht viel zu sagen, auch nicht!
Eine einfache mathematische Art und Weise darzustellen, „Bewegen im Kreis herum“ ist zu sagen, dass die Positionen in einer Ebene werden durch komplexe Zahlen dargestellt, so dass ein Punkt in der Ebene bewegt wird durch eine komplexe Funktion der Zeit dargestellt. In diesem Fall Bewegen auf einem Kreis mit dem Radius R $ $ $ und Winkelfrequenz \ omega $ wird durch die Position repräsentiert
Wenn Sie auf zwei Kreise bewegen, einen am Ende des anderen, Ihre Position ist
Wir können dann drei vorstellen, vier oder unendlich viele solche Kreise hinzugefügt werden. Wenn wir die Kreise haben alle möglichen Winkelfrequenz erlauben, können wir jetzt schreiben
Die Funktion $ R (\ omega) $ der $ Fourier von z (t) $ transformiert. Wenn Sie durch das Verfolgen jeder zeitabhängigen Pfad, den Sie wollen durch zwei Dimensionen starten, können Sie Ihren Weg perfekt emuliert werden von unendlich vielen Kreisen unterschiedlicher Frequenzen, die alle addiert, und die Radien dieser Kreise ist die Fourier Ihren Weg zu transformieren. Caveat: Wir müssen die Kreise ermöglichen, komplexe Radien zu haben. Das ist nicht komisch, though. Es ist die gleiche wie sagte die Kreise reale Radien haben, aber sie haben nicht alle an der gleichen Stelle beginnen. Zum Zeitpunkt Null, können Sie jedoch weit wollen Sie beginnen um jeden Kreis.
Wenn Sie Ihren Weg auf sich selbst schließt, wie es in dem Video der Fall ist, die Fourier-Transformation stellt sich heraus, um eine Fourier-Reihe zu vereinfachen. Die meisten Frequenzen sind nicht mehr notwendig, und wir können schreiben
wobei $ \ omega_0 $ ist die Winkelfrequenz mit der ganzen Sache assoziiert zu wiederholen - die Frequenz des langsamsten Kreises. Die einzigen Kreise wir brauchen, sind die langsamste Kreis, dann ein doppelt so schnell wie das, dann eine dreimal so schnell wie der langsamste, etc. Es gibt noch unendlich viele Kreise, wenn Sie einen sich wiederholenden Pfad perfekt reproduzieren wollen, aber sie abzählbar unendliche jetzt sind. Wenn Sie die ersten zwanzig oder so nehmen und den Rest fallen, sollten Sie in der Nähe der gewünschten Antwort. Auf diese Weise können Sie die Fourier-Analyse verwenden, um Ihr eigenes epicycle Video von Ihrem Lieblings-Cartoon-Charakter zu erstellen.
Das ist, was Fourier-Analyse sagt. Die Fragen, die bleiben sollen, wie es zu tun ist, was es ist für, und warum es funktioniert. Ich denke, ich werde vor allem diejenigen in Ruhe lassen. Wie es zu tun - wie $ R finden (\ omega) $ gegeben $ z (t) $ in jeder einleitenden Behandlung gefunden wird, und ist recht intuitiv, wenn Sie Rechtwinkligkeit verstehen. Warum es funktioniert, ist eine ziemlich tiefe Frage. Es ist eine Folge des Spektralsatz.
Es dauerte eine ganze Weile, um zu verstehen, was genau gemeint ist durch Fourier-Transformation, da sie auf verschiedene Algorithmen, Operationen und Ergebnisse beziehen. Obwohl ich in diesem Thema ganz neu bin, werde ich versuchen, einen kurzen, aber hoffentlich intuitiven Überblick darüber zu geben, was ich kam mit (fühlen Sie sich frei, mich zu korrigieren):
Angenommen, Sie haben eine Funktion $ f (t) $, die $ t $ bis zu einem gewissen Wert $ f (t) $ einige Zeit Wert zuordnet.
Jetzt werden wir versuchen, $ f $ als die Summe der einfachen harmonischen Schwingungen, das heißt Sinuswellen bestimmter Frequenzen $ \ omega $ annähert. Natürlich gibt es einige Frequenzen, die gut zu $ f $ passen und einige, die es weniger gut annähern. Wir brauchen also einen Wert $ \ hat (\ omega) $, die uns sagt, wie viel von einer bestimmten Schwingung mit der Frequenz $ \ omega $ in der Annäherung von $ f $ vorhanden ist.
Nehmen Sie zum Beispiel die rote Funktion von hier
die definiert ist als
Die grüne Schwingung mit $ \ omega = $ 1 hat den größten Einfluss auf das Ergebnis, also lassen Sie uns sagen, $$ \ Hut (1) = 1 $$
Die blaue Sinuswelle ($ \ omega = $ 3) zumindest eine gewisse Wirkung, aber es ist Amplitude viel kleiner ist. So wir sagen $$ \ Hut (3) = 0,13 $$
Nun, wenn wir $ \ hat (\ omega) wusste $ nicht nur für einige, sondern alle möglichen Frequenzen $ \ omega $ konnten wir perfekt unsere Funktion $ f $ nähern. Und das ist, was die kontinuierliche Fourier-Transformation der Fall ist.
Es dauert eine gewisse Funktion $ f (t) $ von Zeit und gibt eine andere Funktion $ \ hat (\ omega) = \ mathcal (f) $, seine Fourier-Transformation. das beschreibt, wie viel von einer bestimmten Frequenz in $ f $ vorhanden ist. Es ist nur eine andere Darstellung von $ f $, der gleich Informationen, aber mit einem ganz anderen Bereich. Oft aber können Probleme viel leichter in dieser anderen Darstellung gelöst werden (die wie die Suche nach dem geeigneten Koordinatensystem).
Aber angesichts einer Fourier-Transformation, können wir alle Frequenzen integrieren über, zusammen die gewichteten Sinuswellen und unsere $ f $ wieder zu bekommen, was wir nennen inversen Fourier $ \ mathcal ^ $ verwandeln.
Nun, warum sollte man das tun wollen?
Am wichtigsten ist, hat die Fourier-Transformation viele nette mathematische Eigenschaften (das heißt Faltung ist nur Multiplikation). Es ist oft viel einfacher, mit der Fourier-Arbeit verwandelt, als mit der Funktion selbst. So verwandeln wir haben eine leichte Aufgabe mit Filterung, Transformation und Sinuswellen Manipulation und Transformation zurück, nachdem alle.
Lassen Sie uns sagen, dass wir eine gewisse Geräuschreduzierung auf einem digitalen Bild machen wollen. Anstatt eine Funktion $ \ Text zu manipulieren. \ Text \ text $ auf \, wir die ganze Sache verwandeln und mit $ \ mathcal (\ text) arbeiten. \ Text \ text $ auf \. Diejenigen Partei mit hoher Frequenz, die das Rauschen verursachen können einfach abgeschnitten werden - $ \ mathcal (\ text) (\ omega) = 0, \ omega>. Hz $. Wir verwandeln zurück et voilà.Beispiel 1: Polynommultiplikation
Dies ist die Verwendung des diskreten Fourier Ich bin am meisten vertraut verwandeln. Angenommen, Sie zwei Polynome vom Grad n multiplizieren wollen, gegeben durch ihre Koeffizienten (a0. ..., an) und (b 0. ..., bn). In ihrem Produkt ist der Koeffizient von X k ck = bk & sgr; ai-i. Dies ist eine Faltung, und es naiv tun würde O (n 2) Zeit.
Stattdessen nehmen wir die Polynome durch ihre Werte an 2n Punkte darstellen. Dann wird der Wert des Produkts Polynom (das, was wir wollen) an jedem Punkt ist einfach das Produkt der Werte unserer ursprünglichen zwei Polynome. So haben wir Faltung zu punktuellen Multiplikation reduziert. Die Fourier-Transformation und ihre Inverse zur Polynom-Interpolation Auswerte- und entsprechen jeweils für bestimmte gut gewählte Punkte (Einheitswurzeln). (N log n) -Zeit für die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein Weg, in O beides zu tun.
Beispiel 2: Convolution von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Doch statt, die die Zufallsvariablen durch ihre Dichten können wir vertreten sie auch durch ihre charakteristischen Funktionen & phi; X (t) = E [e itX] und & phi; y (t) = E [e Ity]. Dann wird die charakteristische Funktion von X + Y ist nur:
& phi; X + Y (t) = E [e it (X + Y)] = & phi; X (t) & phi; y (t), da sie unabhängig sind. Die charakteristische Funktion ist die kontinuierliche Fourier-Transformation der Dichtetransformationsfunktion; es ist eine Änderung der Darstellung, bei der Faltung punktweise Multiplikation wird.
Zitieren wieder die Antwort auf MO, wollen viele Wandlungen wir studieren (Übersetzung, Differentiation, Integration, ...) sind eigentlich Faltungen, so hilft die Fourier-Transformation in einer großen Anzahl von Fällen.
Denken Sie an das Licht von Sternen kommen.
Das Licht hat Farbe oder „Spektrum“, aber natürlich kommen die Daten in einem 1-D-Stream.
Die Fourier-Transformation das Spektrum der Zeitreihe gibt.
(Inverse Fourier Sie gerade von Spektrum nimmt wieder zu signalisieren. Also, was bedeutet es, dass $ \ mathcal ^ = \ mathcal $?)
Um in die Mathematik davon zu bekommen, denken Sie daran, dass $ \ cos $ und $ $ \ sin sind nur phasenverschobene Versionen voneinander. Mathematisch, fügen Sie zusammen unterschiedliche Mengen (Amplituden) der verschiedenen phasenverschobenen $ \ sin $ Wellen und es ist eine überraschende Tatsache, dass dies zu einer Funktion hinzufügen kann.
(Wie würden Sie eine gerade Linie wie $ y = x $ zum Beispiel bekommen?)
Hinweis: Die transformierte Serie nicht genau eine Zeitreihe sein muß. Sie könnten eine Menge Kurven von $ t $ parametrisieren. Zum Beispiel Handschrift oder den Umriss von Dinosaurier-Fußspuren.
Wie wird es in der Technik verwendet? Signalverarbeitung, Bildverarbeitung (PDF. Springe zur Seite 5) und Videoverarbeitung verwenden, um die Fourier-Basis Dinge darzustellen.
Hier ist mein Verständnis der Fourier-Transformation, wie es zu mir kam.
Stellen Sie sich ein Objekt, das ein Geräusch macht, wenn es aufgerüttelt wird (zum Beispiel ein Trinkglas, Stimmgabel, Becken, Gitarrensaite, you name it). Jeder Ton machte diese Art und Weise ist eine Zusammensetzung aus mehreren Frequenzen (es ist nur eine perfekte Halbkugel, die in einer echten harmonischen Welle schwingt). Ich möchte nun die Frequenzen in diesem Ton analysieren, und ich möchte es auf die altmodische Art und Weise zu tun.
Ich legte das irgendwo Objekt, wo es frei zu schwingen und Ton. Ich spiele nächstes an einen reinen Ton in einer gewissen Häufigkeit, um es, und messen, wie viel es unisono bewegt. Wenn es eine Menge gemeinsam bewegt, dann sollte es eine Menge dieser Frequenz in seinem natürlichen Klang sein. Dies ist, was die Fourier-Transformation der Fall ist, nur mit Funktionen.
Im Allgemeinen wird die Fourier-Transformation einer Funktion f $ $ durch $$ \ hat f (\ omega) = \ int _ ^ \ infty f (z) e ^ dz $$ Der exponentielle Term ist eine Kreisbewegung in der komplexen Ebene definiert wird, mit der Frequenz $ \ omega $. Es spielt die Rolle des reinen Ton wir für das Objekt gespielt. Der Grund, warum wir einen komplexen exponentiellen Ausdruck anstelle einem reinen trigonometrischen Begriff verwenden, ist, dass mit einem \ $ Begriff sin $ wir mit der Phase unglücklich sein könnten. So können wir unabhängig von der Phase, die ein Ergebnis mit dem gleichen Betrag erhalten, nur die Richtung von $ \ haben f (\ omega) $ variiert.
Wenn $ $ f viele $ \ omega $ -Frequenz Schwingung in ihm hat, dann ist die Zahl $ f (z) e ^ $ wird dazu neigen, in der gleichen allgemeinen Richtung, in der komplexen Ebene für verschiedene $ z $ aufreihen (genau in welche Richtung, die abhängig von der Phase ist, wie oben erwähnt). Wie Sie über $ z $, $ \ hat f (\ omega) $ integrieren relativ groß.
Auf der anderen Seite, wenn $ f $ nicht viel Schwingung $ \ omega $ -frequenz drin, dann der Integrand auf allen Seiten des Ursprungs am Ende wird für verschiedene $ z $, und wie Sie integrieren, das Ergebnis $ \ hat f (\ omega) $ klein sein wird.
Ich denke, die Ideen sind am deutlichsten im Fall der diskreten Fourier-Transformation, die sehr gut mit nichts verstanden werden kann, aber endlichdimensionale lineare Algebra.
Da verschiebungsinvarianten Operatoren in der Signalverarbeitung und numerische Analyse sehr wichtig sind, möchten wir sie so gut wie möglich zu verstehen. Und eine der besten Möglichkeiten, um einen linearen Operator zu verstehen, ist eine Basis von Eigenvektoren für sie zu finden. In der linearen Algebra, gibt es verschiedene „gleichzeitige Diagonalisierung“ Sätze, die Staat, der unter bestimmten Annahmen, lineare Operatoren, die pendeln können gleichzeitig auf Diagonal werden. Dies legt nahe, eine Strategie für die Diagonalisierung eine verschiebungsinvarianten $ $ Ein linearer Operator. Denn mit $ S $ $ pendelt A $, können wir zunächst eine Basis von Eigenvektoren für $ S $ finden. Dann können wir (hoffentlich) aufrufen, um eine gleichzeitige Diagonalisierung Satz zu zeigen, dass diese Basis von Eigenvektoren für $ S $ ist auch eine Basis von Eigenvektoren für $ A $.
Beachten Sie, dass $ S $ Normen bewahrt, so ist es einheitlich. Jeder unitären Operator ist normal. So gewährleistet der Spektralsatz dass $ S $ ein Orthonormalbasis von Eigenvektoren hat. Darüber hinaus könnte man leicht jetzt die Eigenvektoren von $ S $ von Hand finden. Nach einer kurzen (und Spaß) Berechnung, würden Sie feststellen, dass, wenn $ \ omega $ ein $ N $ te Einheitswurzel ist dann der Vektor $$ v_ \ omega = \ begin 1 \\ \ omega \\ \ omega ^ 2 \ \ \ vdots \\ \ omega ^ \ end $$ ist ein Eigenvektor von $ S $. Und was ist der Eigenwert? Gehen Sie voran und $ v_ \ omega $ jetzt verschieben, und Sie werden den Eigenwert sofort sehen. Es ist $ \ omega $, nicht wahr? Das hat Spaß gemacht!
Da es $ N $ deutlicher $ N $ ten Einheitswurzeln ist, haben wir $ N $ verschiedene Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren für $ S $ gefunden. Und in der Tat gibt es eine gleichzeitige Diagonalisierung Satz die besagt, dass, weil die Eigenwerte von $ S $ verschieden sind, jeder lineare Operator $ A $, die mit $ S $ pendelt wird von den gleichen Eigenvektoren diagonalisiert.
Wir haben nun entdeckt, wie jeden verschiebungsinvarianten linearen Operator diagonalisieren. Die Basis von Eigenvektoren wir entdeckt haben, ist die „diskrete Fourier-Basis“ bezeichnet. Die „diskrete Fourier-Transformation“ ist einfach die lineare Transformation, die Basis von der Standard-Basis zu der diskreten Fourier-Basis verändert.
Eine kompliziertere Antwort (noch geht es ungenau sein, weil ich dies in 15 Jahren nicht berührt haben.) Ist die folgende.
In einem 3-dimensionalen Raum (zum Beispiel) kann man einen Vektor v durch ihre Endpunktkoordinaten, x, y, z, auf eine sehr einfache Art und Weise darzustellen. Sie wählen drei Vektoren, die von Einheitslänge und orthogonal zueinander (einer Basis) sind, sage ich. j und k. und berechnen die Koordinaten als solche:
In multidimentional Raum, halten die Gleichungen noch. In einem diskreten unendlichen Raum, werden die Koordinaten und die Basisvektoren werden einer Sequenz. Das Skalarprodukt wird eine unendliche Summe.
In einem kontinuierlichen unendlichen Raum (wie der Raum der guten Funktionen) die Koordinaten und die Basen werden Funktionen und das Skalarprodukt eine unendliche integral.
Nun wird die Fourier-Transformation ist genau diese Art von Operation (basierend auf einem Satz von Basisfunktionen, die im Grunde eine Reihe von Sinus- und Cosinus). Mit anderen Worten, es ist eine andere Darstellung der gleichen Funktion in Bezug auf einen bestimmten Satz von Basisfunktionen.
Als Folge beispielsweise Funktionen der Zeit, dargestellt gegen Funktionen der Zeit und Raum (mit anderen Worten über die Zeit durch Funktionen von Raum und Zeit multipliziert integriert), Funktionen des Raumes werden, und so weiter.