Unterschied des Würfels - Math Zentral
Ein Unterschied von Würfeln ist natürlich ein perfekter Würfel minus ein perfekter Würfel.
Ich nehme an, Ihre Schüler bereits die Formel
a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2)
Wir können dies mit Polynomdivision beweisen.
Zuerst schauen wir auf die Wurzeln eines 3 - b 3 und sofort können wir, dass, wenn a = b sehen, dann ein 3 - b 3 = 0, so (a-b) ist ein Faktor.
Als nächstes es umschreiben: a 3 - b 3 ein 3 + 0a 2 b + = 0AB 2 - b 3 und synthetische (oder lang) Division mit dem anderen Faktor zu finden. Ich werde lange Teilung verwenden:
Sie könnten etwas sehr ähnliches für eine Summe von Kuben tun.
Allerdings gibt es einen geometrischen Weg, dies zu sehen, zumindest dann, wenn a und b ist positive und a> b:
Zum Beispiel, sagen a = 4 und b = 2. Hier 3. April - 3. Februar.
und hier ist 3. März - 3. Februar.
Lassen Sie uns auseinander nehmen 3. März - 2. MÄRZ zuerst. Das rote Objekt wird in den anderen Farben gebrochen:
So das rote Objekt besteht aus dem orangefarbenen Stück besteht, das 3 2 plus das gelbe Stück, das 3x2 und das Goldstück ist die 2 2. So ist der ursprüngliche 3. März - 1. März gleich die Komponenten 3 2 + 3x2 + 2 2. Jetzt da (3-2) = 1, können wir durch diese vermehren und nichts ändern, so haben wir gezeigt,
3 3 - 3 = 2 (3-2) (3 2 + 3x2 + 2 2)
Aber was ist zu versuchen, etwas härter, wie 3. MAI - 3. Februar?
Wir haben die gleiche Panne, aber es gibt drei Kopien von allem! Dies macht Sinn, da (5-2) 3 =.
So haben wir gezeigt, dass
5 3 - 2 3 = (5-2) (5 2 + 5x2 + 2 2)
ebenso wie die Formel vorhergesagt und unsere lange Teilung bewiesen algebraisch.
b 3 und zeigt, dass die Anzahl der Kopien ist immer (a-b) und damit den allgemeinen Fall beweisen - Wenn Sie sorgfältig im letzten Diagramm anschaut, kann man es als 3 betrachten.
Ich würde ermutigen Sie Ihre Schüler auf diese Weise die Summe des Würfels zu erkunden und sehen, ob sie mit einer ähnlichen algebraischen und geometrischen Lösung kommen können.
Prost,
Stephen La Rocque.