Wie inverse Fourier-Transformation zu finden - Mathematik Stapelaustausch
Zwei häufig verwendete Definitionen der Fourier-Transformation von $ x (t) sind $ $$ \ beginnen X (\ omega) - = \ int_ ^ x (t) e ^ \ mathrm dt, -x (t) = \ frac \ int_ ^ x (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega \\ \ hat (f) - = \ int_ ^ x (t) e ^ \ mathrm dt, -x (t) = \ int_ ^ x (f) e ^ \ mathrm df. \ End $$ Die beiden Funktionen werden als $ \ hat (f) = X (2 \ pi f) und $ $ X (\ omega) = \ hat (f / 2 \ pi) $ bezogen.
Ich glaube, Ihre Frage im Wesentlichen ist: Wenn Sie eine Tabelle, die Ihnen die inverse Fourier-Transformation von $ X (\ omega) = \ delta (\ Omega- \ omega_0) $ ist \ frace $ ^, von denen $ es ist leicht, sagt abzuleiten dass die inverse Fourier von $ \ delta (\ omega-2) verwandelt $ ist $ \ frace ^ $, wie Sie daraus ableiten, dass die inversen Fourier von $ \ hat Transformation (f-f_0) = \ delta (f-f_0 ) $ ist im allgemeinen $ e ^ $, und dass die inversen Fourier \ $ Transformations delta (f-2) ist $ $ $ e ^? Wie williamdemeo Ihnen gezeigt, und Willie Wong hervorzuhebende Sie, nur um die Fourier Rechen integral $$ x (t) = \ int_ ^ \ hat (f) e ^ \ mathrm df = \ int_ ^ \ delta (f-2) e ^ \ mathrm df = e ^ = e ^ $$ ist viel einfacher als mit Tabellen Getue. Aber wenn Sie tot Satz sind nur Tabellen auf verwenden, dann beachten Sie, dass, wenn $$ x (t) = \ frac \ int_ ^ X (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega $$ sind Sie bekannt, dann, da es tut keine Rolle, was wir die Variable der Integration $$ x (t) = \ frac \ int_ ^ x (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega = \ frac \ int_ ^ x (f) e ^ \ mathrm df = nennen \ frac \ int_ ^ X (f) e ^ \ mathrm df $$ $ Sei y (t) $ der äußersten rechten integral bezeichnen. Dann haben wir, dass $ y (t) die inverse Fourier $ $ X of Transformation (f) bei t $ ausgewertet $ / 2 \ pi $, und es geschieht gleich $ 2 \ pi x (t) $. Damit,
da $$ x (t) = \ frac \ int_ ^ X (\ omega) e ^ \ mathrm d \ omega $$ ist die inverse Fourier von $ X (\ omega) $, die inverse Fourier-Transformation von $ X-Transformation ( f) $ ist $$ \ int_ ^ x (f) e ^ \ mathrm df = 2 \ pi \ cdot x (2 \ pi t). $$
Insbesondere gegeben, dass die inverse die inverse Fourier \ delta $ Transformation (\ omega-2) ist $ \ $ Frace ^ $, die inverse Fourier von $ \ delta-Transformation (f-2) ist $ \ Frace $ 2 \ pi ^ = e ^ $.