Alles andere als Quadrat von magischen Quadraten zu Sudoku
Was ist ein magisches Quadrat?
Nymphe des Lo-Flusses. eine Tinte auf einem Querrolle, Ming-Dynastie, 16. Jahrhundert zeichnen. Freer Gallery of Art
Die Lo Shu magisches Quadrat
mathematische Eigenschaften
Wenn die Mathematiker über magische Quadrate reden, sprechen sie oft über die Reihenfolge des Platzes. Dies ist nur die Anzahl der Zeilen oder Spalten, die das magische Quadrat hat. Zum Beispiel hat ein 3 x 3 magisches Quadrat drei Reihen und drei Spalten, so dass ihr Auftrag ist 3.
In einem typischen magischen Quadrat, beginnen Sie mit 1 und dann durch eine die ganze Zahlen eins gehen. Zum Beispiel 3 enthält ein magisches Quadrat der Ordnung alle Zahlen von 1 bis 9 und ein Quadrat der Ordnung 4 enthält die Zahlen 1 bis 16 ist nicht überraschend, magische Quadrate auf diese Weise hergestellt werden als normale magische Quadrate.
Im Lo Shu magischen Quadrat, die ein normales magisches Quadrat ist, wird alle Zeilen, wird alle Spalten und die beiden Diagonalen hinzufügen auf die gleiche Anzahl up, 15. Wir nennen diese Zahl der magischen Konstante. und es gibt eine einfache Formel, die Sie die magische Konstante zu arbeiten, für jedes normales magisches Quadrat verwenden können. Für ein magisches Quadrat der Ordnung n. die magische Konstante
Es stellt sich heraus, dass normale magische Quadrate für alle Bestellungen existieren, außer um 2. Es gibt nur ein magisches Quadrat der Ordnung 1 und es ist nicht besonders interessant: ein einzelnes Quadrat mit der Nummer 1 nach innen! Sie können für sich selbst arbeiten, warum das Quadrat der Ordnung 2 existiert nicht. Mathematikern normalerweise betrachtet zwei magische Quadrate als das gleiche ist, wenn Sie einen von dem anderen durch eine Drehung oder Reflexion erhalten. Gezählt auf diese Weise, ist es nur ein magisches Quadrat der Ordnung 3, die Lo Shu magische Quadrat oben gezeigt ist. Es gibt 880 verschiedene magische Quadrate der Ordnung 4 und 275.305.224 der Ordnung 5. Niemand weiß, wie viele verschiedene magische Quadrate existieren der Ordnung 6, aber es wird geschätzt, als eine Millionen Millionen Millionen mehr zu sein!
De La Loubere und die siamesischen Methode
Man könnte nun fragen sich, ob es eine einfache Möglichkeit ist eine Vermutung ohne Rückgriff ein magisches Quadrat zu machen. Zum Glück gibt es. De La Loubere war es, den Französisch-Botschafter in Siam (heute Thailand) am Ende des siebzehnten Jahrhunderts. Nach seiner Rückkehr nach Frankreich mitgebrachte ein Verfahren zum magischen Quadraten mit einer ungeraden Anzahl von Zeilen und Spalten der Konstruktion, die auch als Quadrate ungerader Ordnung bekannt.
Wenn alle Zellen gefüllt sind, die beiden Hauptdiagonalen und in jeder Zeile und Spalte sollen bis zu der gleichen Anzahl, wie von Zauberhand hinzufügen!
Während diese, wie die siamesischen Verfahren bekannt. wohl die bekannteste Methode ist magische Quadrate für die Herstellung, andere Methoden existieren. Der deutsche Schulmeister Johann Faulhaber veröffentlichte ein ähnliches Verfahren wie das Siamese Verfahren, bevor es von De Le Loubere entdeckt wurde. Ein anderer Weg ist die Rauten Methode von John Horton Conway. ein produktiver britischer Mathematiker. Der Beweis, dass diese Methoden Arbeit getan werden kann, Algebra, aber es ist nicht einfach!
Magische Quadrate gerader Ordnung
Obwohl die siamesischen Verfahren verwendet werden kann, ein magisches Quadrat für jede ungerade Zahl zu erzeugen, gibt es keine einfache Methode, die für alle magischen Quadrate gerader Ordnung funktioniert. Glücklicherweise gibt es eine schöne Methode, die wir, wenn die Reihenfolge des Platzes teilbar eine gerade Zahl von 4 ist verwenden können (Für diejenigen, die interessiert sind, wurde die LUX-Methode von JH Conway erfunden mit geraden Zahlen zu beschäftigen, die nicht teilbar sind durch 4).
Statt „Zahlen, die durch 4 teilbar sind“ zu sagen, Mathematiker sagen normalerweise „Zahlen der Form 4k“. Zum Beispiel ist 12 die Form 4k. weil Sie k mit 3. Mit der gleichen Idee ersetzen können, Zahlen, die einen Rest von 2 geben, wenn Sie sie teilen, indem er 4 4k + 2 genannten Zahlen der Form werden kann.
Wenn Sie das magische Quadrat umdrehen, ist es identisch mit dem von dem berühmten deutschen Künstler gezeichnet, Albrecht Dürer. Sie können es in der Ecke seines Stich Melencolia sehen.
Albrecht-Dürer-1514 Stich Melencolia.
Das magische Quadrat in Melencolia erscheint in Nahaufnahme gezeigt.
Hier ist ein Beispiel einer 8 mal 8 magischen Quadrat aufgebaut mit der gleichen Methode. Das Quadrat wurde in vier 4 × 4 Quadrate aufgeteilt, und die Diagonalen wurden gefärbt. Die Farbnummern, die auf 65 aufaddieren wurden geschaltet: 1 wurde mit 64 vertauscht wurde 4 mit 61 vertauscht, und so weiter.
Ritter aus Leidenschaft
Wie jeder Schachspieler weiß, hat ein Auftrag 8 magisches Quadrat die gleiche Anzahl von Zellen wie ein Schachbrett. Diese Ähnlichkeit bedeutet, dass wir eine besondere Art von magischem Quadrat auf der Basis der Bewegungen eines chess erstellen können.
Der Ritter ist ein interessantes Stück, weil im Gegensatz zu den anderen Stücken, es nicht vertikal bewegen, horizontal oder diagonal entlang einer geraden Linie. Stattdessen bewegt sich der Springer in einer L-Form, wie in dem Diagramm gezeigt. Aber ist es möglich, dass ein Ritter, der auf diese Weise bewegt sich genau einmal jedes Quadrat auf dem Schachbrett zu besuchen?
Einer der ersten Mathematiker des Ritters Tour zu untersuchen, wie das Problem bekannt geworden ist, war der große Schweizer Mathematiker Leonhard Euler. Seine Arbeit, die andere inspiriert, die Herausforderung anzunehmen.
Das Konzept der Tour Ritter Mit William Beverley verwalten ein magisches Quadrat zu erzeugen, wie unten gezeigt. Die Zellen werden in der Reihenfolge nummeriert, wie die Ritter sich besucht. Obwohl die Zeilen und Spalten alle auf 260 addieren, tun die Hauptdiagonalen nicht so streng genommen ist es ein semi-magisches Quadrat ist. In der Tat ist oft ein magisches Quadrat auf einer Ritter Tour basierte eine magische Tour genannt, so was Beverley 1848 produziert ist eine semi-magische Tour!
Auf dem ersten Blick scheint es, dass das folgende magische Quadrat von Feisthamel paßt die Rechnung. Die Zeilen, Spalten und Diagonalen alle Summe 260. Leider ist es nur eine Teil Tour des Ritters, wie ein Sprung von 32 bis 33 ist.
Latin Squares
Lateinische Quadrate sind die wahren Vorfahren von Sudoku. Sie können Beispiele für lateinische Quadrate in der arabischen Literatur über 700 Jahre alt finden. Sie wurden später von Euler einige Jahrhunderte entdeckt, der sich als eine neue Art von magischem Quadrat sah, und es ist ihm zu verdanken, dass wir sie lateinische Quadrate nennen.
Lateinische Quadrate sind Gitter gefüllt mit Zahlen, Buchstaben oder Symbolen, in der Weise, dass keine Nummer zweimal in der gleichen Zeile oder Spalte erscheint. Der Unterschied zwischen einem magischen Quadrat und einem lateinischen Quadrat ist die Anzahl der verwendeten Symbole. Zum Beispiel gibt es 16 verschiedene Zahlen in einem 4 x 4 magischen Quadrat, aber Sie müssen nur 4 verschiedene Zahlen oder Buchstaben, um ein 4 mal 4 lateinisches Quadrat zu machen.
Hier ist ein Beispiel für ein lateinisches Quadrat, mit den Nummern 1 bis 4 in jeder Zeile und Spalte. Wenn Sie in der ersten Reihe und der ersten Spalte sehen, werden Sie feststellen, dass die Zahlen in der Reihenfolge auftreten: 1, 2, 3, 4. Wenn dies geschieht, sagen wir, dass das lateinische Quadrat in Standardform oder normiert wird. Jeder kann lateinisches Quadrat in Standardform umgewandelt werden, indem Paare von Reihen und Spaltenpaare tauschen.
Es gibt nur eine normalisierte Lateinisches Quadrat der Ordnung 3, und es gibt nur 4 verschiedene diejenigen der Ordnung 4, sondern eine Staffelung 377.597.570.964.258.816 Ordnungs 9. 1979 JR Nechvatal eine komplizierte Formel, um die Anzahl der verschiedenen normierten lateinischen Quadrate beliebiger Reihenfolge geben arbeitet . Bis zum heutigen Tag hat niemand in der Lage gewesen, daraus abzuleiten, oder jede andere Formel, wie schnell diese Zahl wächst wie die Reihenfolge des Platzes groß wird.
Wenn wir die zwei lateinischen Quadrate unten kombinieren, erhalten wir einen neuen Platz mit Paaren von Buchstaben und Zahlen. Kein Paar wird wiederholt, aber das Gitter enthält jede einzelne Kombination. Wir nennen diesen neuen Platz ein Euler-Platz oder ein griechisch-lateinischen Platz. und die beiden Quadrate, die die Euler Quadrat gebildet sind zueinander orthogonal genannt.
Die Sechsunddreißig Officers Problem
Euler hat eine beträchtliche Menge an Arbeit auf lateinische Quadrate und kam auch für den Bau von ihnen mit einigen Methoden auf. Euler gefunden leicht Methoden für die Konstruktion von ungerader Ordnung griechisch-lateinischen Quadraten und Plätze, für die der Auftrag ein Vielfaches von 4 ist, aber er konnte nicht ein griechisch-lateinische Quadrat der Ordnung 6 herzustellen.
Er stellte auch ein berühmtes Problem, das nur durch Herstellung eines griechisch-lateinische Quadrat der Ordnung 6. Das Problem der 36 Offiziere geht so gelöst werden könnte: ist es möglich, sechs Regimenter zu arrangieren, die jeweils aus sechs Offizieren verschiedener Reihen, in so, daß keine Reihe oder Spalte enthält zwei oder mehr Beamten des gleiche Regiment oder mit dem gleichen Rang?
Euler gelöst nie dieses Problem. In der Tat, er glaubte, dass es unmöglich war, ein griechisch-lateinisches Quadrat zu machen, wenn der Auftrag von der Form 4k + 2.
Etwas mehr als vor hundert Jahren, Eulersche Vorhersage wurde zum Teil richtig erwiesen. Ein Französisch Mathematiker namens geprüft Gaston Tarry jede mögliche Kombination für einen 6 von 6 Euler Platz und zeigte, dass es keine gab.
Schließlich 1960, Bose, Shrikhande und Parker gelungen zu beweisen, dass Euler Quadrate für alle Bestellungen existieren außer 2 und 6. Aber wenn man bedenkt, dass sie Computer zur Verfügung hatten, denken Sie für Tarry, die alles tun musste, mit der Hand!
Wenn Sie mit dem Zug in London zu fangen, werden Sie viele Pendler mit einem Stift in der Hand, eine Zeitung auf dem Schoß und eine Sache im Kopf sehen - Sudoku.
Sudoku oder Su Doku ist eine besondere Art der lateinischen Quadrate. Sie sind in der Regel 9 von 9 Gitter, aufgeteilt in 9 kleinere 3 von 3 Boxen. Das Ziel des Spiels ist es, jede Zelle mit einem der Zahlen 1 bis 9, zu füllen, so daß jede Zahl in jeder Reihe, Spalte und 3 x 3-Box genau einmal vorkommt. Damit Sie das Puzzle vervollständigen, sind ein paar Zahlen bereits als Hinweise gegeben.
Es ist schwer zu sagen, wie viele verschiedene abgeschlossen Sudokus gibt es, aber die Mathematiker Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis verwendet eine erschöpfende Durchsuchung von Computern mit der Nummer zu kommen 6.670.903.752.021.072.936.960, die später von Ed Russell bestätigt wurde.
Sudoku zu lösen erfordert logisches Denken und eine systematische Vorgehensweise. Normalerweise werden ausreichend viele Zahlen als Hinweise in dem Anfang Raster gegeben - diejenige, die Sie das Puzzle mit Start -, um sicherzustellen, dass es nur eine Lösung. Je mehr Zahlen sind zunächst gefüllt ist, desto leichter das Puzzle wird natürlich. So real Sudoku Süchtigen wahrscheinlich eine kleine Anzahl von anfänglichen Hinweise bevorzugen. Aber was ist die minimale Anzahl von Hinweisen, die gegeben werden müssen, um sicherzustellen, dass es genau ein - und nicht mehr - Lösung? Dies ist eine gute Frage, und eine, die bisher Mathematiker nicht in der Lage gewesen, zu beantworten, obwohl es gute Gründe zu glauben, dass die Zahl 17.
Und was, wenn wir diese Frage umdrehen? Gegeben sind ein individuelles abgeschlossenes Gitter, wie viele minimalen Anfangsgitter gibt, die dieses Raster als Lösung? Hier meinen wir jene anfänglichen Gitter, von denen nicht mehr Zahl kann, ohne dass mehrere Lösungen möglich entfernt werden. Auch Mathematiker nicht wissen, die Antwort auf diese Frage.
Aber lassen Sie uns einen Blick an, wie etwa die Lösung eines Sudoku-Rätsel zu gehen. Hier ist ein Ich habe eine der grundlegenden Techniken zu veranschaulichen, wie Scannen bekannt.
Mit Blick auf den mittleren drei Boxen, haben wir ein 3 in der linken Box und eine in der Mitte Feld, aber wir müssen noch ein 3 in der rechten Box. Also, wo soll es gehen? Nun, es kann nicht in der oberen Reihe gehen, weil es bereits ein 3 in dieser Reihe. Aus dem gleichen Grund kann es nicht in der unteren Reihe gehen, die die mittlere Reihe verlässt. Es gibt nur eine freie Zelle in der mittleren Reihe, so dass die drei in ihm zu gehen hat.
Die mittleren drei Boxen
Nun, wenn wir an den unteren drei Boxen sehen, eine der Zeilen hat bereits sechs Zahlen. Ich habe die leeren Zellen A, B und C genannt (in der Reihenfolge von links nach rechts), und die Zahlen, die sind 3 fehlen, 7 und 8. Wenn Sie in Zelle C aussehen, die einzigen Zahl, die in ihm gehen können 7. das ist, weil die Spalte, die in C liegt bereits 3 und 8 enthält.
Finding A und B ist jetzt ziemlich einfach. Es gibt bereits eine 3 in der gleichen Spalte wie B, so B 8 sein, das bedeutet, A 3 sein muss, der Rest des Puzzles lösen ein bisschen schwieriger, aber die Mühe lohnt sich.
Die unteren zwei Reihen
Die Sudoku Begeisterung hat auf der ganzen Welt gefegt, und es zeigt keine Anzeichen einer Verlangsamung. Mehrere Variationen vom Grundthema entwickelt haben, wie zum Beispiel 16 x 16 Versionen und Multi-Grid-Kombinationen (können Sie einen Duplex-Unterschied Sudoku im Plus-Puzzle versuchen). Aber wie mit magischen Quadraten und lateinischen Quadraten, wird die Popularität von Sudoku davon abhängen, ob sie auch weiterhin neue Herausforderungen bieten.
Über den Autor
Hardeep Aiden ist ein Absolvent der Fakultät für Mathematik am Imperial College in London. Neben Mathematik, er interessiert sich für Sprachen und Linguistik, und lernt Japanisch, Französisch und britische Gebärdensprache.