Magic Square - von Wolfram MathWorld
Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen der verschiedenen positiven ganzen Zahlen aus 1, 2 so angeordnet, dass die Summe der Zahlen in irgendeiner horizontalen, vertikalen oder diagonalen Hauptleitung ist immer die gleiche Anzahl (Kraitchik 1942 S. 142. Andrews 1960, S. 1;. Gardner 1961, S. 130;. Madachy 1979, S. 84;. Benson und Jacoby 1981, S. 3;. Ball und Coxeter 1987, S. 193), wie die magische konstante bekannt.
Wenn jede Zahl in einem magischen Quadrat von subtrahiert wird, wird ein weiteres magisches Quadrat des komplementäre magische Quadrat genannt erhalten. Ein Quadrat von aufeinanderfolgenden Zahlen bestehend beginnend mit 1 wird manchmal als ein „normales“ magisches Quadrat bekannt.
Das einzigartige normale Quadrat der Ordnung drei in den alten Chinesen bekannt, die es die Lo Shu genannt. Eine Version des auftrag 4 magische Quadrats mit den Nummern 15 und 14 in benachbarten mittleren Spalten in der unteren Reihe wird als Dürer des magischen Quadrats. Magische Quadrate der Ordnung 3 bis 8 sind oben gezeigt.
Die magische Konstante für ein allgemeines ter Ordnung magisches Quadrat mit einer ganzen Zahl beginnt und mit Einträgen in einer wachsenden arithmetischen Reihe mit Differenz zwischen Begriffen ist
(Hunter und Madachy 1975).
Quadrate, die anstelle der Addition unter Multiplikation Magie sind, können als Multiplikation magischen Quadraten aufgebaut und bekannt sein. Darüber hinaus Quadrate, die können sowohl unter Addition und Multiplikation Magie sind konstruiert und sind als Zusatz-Multiplikation magische Quadrate (Hunter und Madachy 1975) bekannt.
Kraitchik (1942) gibt allgemeine Techniken der geraden und ungeraden Quadrate der Ordnung zu konstruieren. Für ungerade. eine sehr einfache Technik, die als die siamesischen Verfahren bekannt ist, verwendet werden kann, wie oben veranschaulicht (Kraitchik 1942 pp. 148-149). Es beginnt mit einem 1 in der Mitte Platz der oberen Reihe platziert, dann inkrementell folgende Zahlen in dem Platz einer Einheit oberhalb und rechts legen. Die Zählung wird umschlungen, so dass die obere Rückkehr auf dem Boden herunterfallen und die richtigen kehrt auf der linken Seite fallen. Wenn ein Quadrat angetroffen wird, der bereits voll ist, wird die nächste Nummer, statt unter dem vorherigen platziert, und das Verfahren nach wie vor weiter. Das Verfahren, auch genannt de la Loubere Methode, ist angeblich im Westen berichtet worden sein erst, wenn de la Loubere nach Frankreich zurückgekehrt, nachdem er als Botschafter in Siam diente.
Eine Verallgemeinerung dieser Methode verwendet einen „normalen Vektor“, die die Offset für jeden noncolliding bewegen und ein „break-Vektor“, die bei einer Kollision einzuführen gibt den Versatz gibt. Die Standard-siamesischen Verfahren haben daher gewöhnlichen Vektor (1, und brechen Vektor (0, 1). Damit dies ein magisches Quadrat zu erzeugen, jede Pause bewegt sich auf einer ungefüllte Zelle am Ende muss. Spezielle Klassen von magischen Quadraten kann konstruiert werden die absoluten Beträge unter Berücksichtigung, und. Rufen Sie den Satz dieser Zahlen die sumdiffs (Summen und Differenzen). Wenn alle sumdiffs relativ prim sind und der Platz ist ein magisches Quadrat, dann wird der Platz ist auch ein panmagic Platz. Diese Theorie stammt mit de la Vermietung. Die folgende Tabelle gibt die sumdiffs für bestimmte Entscheidungen der ordentlichen und Break-Vektoren.
Ein zweites Verfahren zum Erzeugen magische Quadrate ungerader Ordnung wird von H. J. Conway, unter dem Namen des „Rauten“ Verfahrens diskutiert. Wie oben dargestellt, in diesem Verfahren werden die ungeraden Zahlen entlang diagonalen Linien in der Form eines Diamanten in dem zentralen Teil des Platzes aufgebaut. Die geraden Zahlen, die verpasst wurden, werden dann der Reihe nach entlang der Fortsetzung der durch Umwickeln um den Platz erhalten diagonal versetzt, bis die diagonal gewickelt seinen Anfangspunkt erreicht. In den obigen quadratischen, wobei die ersten Diagonale füllt daher in 1, 3, 5, 2, 4, die zweiten diagonalen Füllungen in 7, 9, 6, 8, 10 und so weiter.
Eine elegante Methode zur Quadrat von doppelt gerader Ordnung Magie Konstruktion ist s durch jeden Teilquadrat zu ziehen und alle Plätze in der Reihenfolge zu füllen. Dann ersetzt jeden Eintrag auf einem gekreuzt-off diagonal von oder, in äquivalenter Weise in umgekehrter Reihenfolge der durchgestrichenen Einträge. So wird in dem obigen Beispiel für die durchgestrichenen Zahlen sind ursprünglich 1, 61 4, 64, so Eintrag 1 mit 64 ersetzt wird, 4 mit 61, usw.
Eine sehr elegante Methode, mit magischen Quadraten von einzeln sogar um den Bau (es gibt kein magisches Quadrat der Ordnung 2) ist aufgrund J. H. Conway, der es der „LUX“ Methode aufruft. Erstellen eines Arrays aus Reihen von s, 1 Reihe Us, und Reihen von s, die alle der Länge. Tauschen Sie die Mitte U mit dem L darüber. Nun erzeugen, um das magische Quadrat der Ordnung der siamesische Methode auf dem Array von Buchstaben unter Verwendung zentriert (in der Mitte Platz der oberen Reihe beginnend), aber jeden Satz von vier Quadraten füllen einen Brief nacheinanderen umgebenden entsprechend die Reihenfolge durch die Buchstaben vorgeschrieben. Diese Ordnung ist auf der linken Seite der obigen Figur dargestellt ist, und das ausgefüllte Quadrat ist rechts dargestellt. Die „Formen“ der Buchstaben L, U und X natürlich die Füllung, um vorschlagen, daher der Name des Algorithmus.
Variationen über magische Quadrate können auch Buchstaben, konstruiert werden (entweder den Platz oder als Einträge darin in der Definition), wie beispielsweise die alphamagic Quadrat und templar magisches Quadrat.
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